大学物理A第13章1-机械振动

机械振动,第七章,教学重点：,1、理解谐振动的动力学特征2、掌握振幅和初相位的确定及振动方程的建立方法3、旋转矢量法4、理解谐振动的能量特征,广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近周期性变化。对力学系统来讲，振动的形式就是机械振动。,机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。,复杂振动=简谐振动,第一节简谐振动一、简谐振动的动力学特征,简谐振动是最简单最基本的线性振动。从动力学观点看：简谐振动：质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。平衡位置：质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于0，则此位置称为平衡位置。,此为从动力学的观点定义的简谐振动。,线性回复力：若作用于质点的力总与质点相对于平衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则称此作用力为线性回复力。若以平衡位置为原点，以X表示质点相对于平衡位置的位移，则,一、弹簧振子模型,弹簧振子：弹簧物体系统,平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置,轻弹簧质量忽略不计，形变满足胡克定律,物体可看作质点,问：弹簧振子是否在做简谐振动？,简谐振动微分方程,简谐振动的另一种普遍定义：若质点的运动学方程可以归纳为：其中为决定于系统本身固有性质，则质点做简谐振动。,单摆,结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频率,振动的周期分别为：,当时,二、微振动的简谐近似,摆球对C点的力矩,复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体,结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。,当时,设：复摆对此固定轴的转动惯量为J,其通解为：,一、简谐振动的运动学方程,二简谐振动的运动学特征,简谐振动的微分方程,简谐振动的运动学方程,二、描述简谐振动的特征量,1、振幅A,简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。,如何由初始条件求振幅：,频率：单位时间内振动的次数。,2、周期、频率、圆频率,角频率,周期T：物体完成一次全振动所需时间。,固有周期、固有频率、固有角频率,对弹簧振子,都决定于质量、劲度系数、摆长、转动惯量等反映振动系统本身特征的一些物理量。,0是t=0时刻的位相初位相,3、相位和初相位,相位，决定谐振动物体的运动状态,三式中任选两式可以决定初相位。,若已知初始条件：,相位差两振动相位之差。,当=2k,k=0,1,2,两振动步调相同,称同相,当=(2k+1),k=0,1,2.两振动步调相反,称反相,2超前于1或1滞后于2,相位差反映了两个振动不同程度的参差错落,简谐振动的x,v,a三者之间的相位关系,总结：1、简谐振动是周期性运动2、简谐振动各瞬时的运动状态由决定。3、简谐振动的频率由振动系统本身固有的性质决定。而不仅决定于系统本身的性质，还决定于初始条件。,总结：,谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系,三、简谐振动的表示法,1、解析表示法利用余弦函数或正弦函数表示简谐振动。优缺点。2、复数表示法利用欧拉公式，取实部,3、简谐振动的旋转矢量表示法,0,t=0,矢量为一长度不变的矢量，以恒定的角速度逆时针转动。,分析：匀速旋转的矢量在坐标轴上的投影？1、表示一特定的简谐振动的位移。2、此简谐振动的振幅为A，固有圆频率为初相位为0,x,o,X,分析：匀速旋转的矢量的矢端速度在坐标轴上的投影？1、表示一特定的简谐振动的速度。2、振动质点位于上半圆时：位于下半圆时：,x,o,X,分析：匀速旋转的矢量的矢端法向加速度在坐标轴上的投影？1、表示一特定的简谐振动的加速度。2、振动质点位于右半圆时：位于左半圆时：,进一步理解：,将旋转矢量用于弹簧振子，具体说明4个特殊点在弹簧振子上的对应位置。,A,B,C,D,x,t+0,t=t,o,X,记住四个特殊位置的点,简谐振动的质点处于正向最大位移并向平衡位置运动（速度为0，加速度为负最大）,简谐振动的质点处于负向最大位移并向平衡位置运动（速度为0，加速度为正最大）,简谐振动的质点处于平衡位置并向正向最大位移运动（速度为正向最大，加速度为0）,简谐振动的质点处于平衡位置并向负向最大位移运动（速度为负向最大，加速度为0（因在x轴投影为0）,以弹簧振子为例,谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep,某一时刻，谐振子速度为v，位移为x,谐振动的动能和势能是时间的周期性函数,四.简谐振动的能量,动能,势能,情况同动能。,机械能,简谐振动系统机械能守恒,由起始能量求振幅,弹簧振子的总能量决定于刚度系数和振幅,一、同方向、同频率谐振动的合成:,同方向、同频率谐振动的合振动仍然是简谐振动,其频率仍为,与分振动相同.,质点同时参与同方向同频率的谐振动:,合振动:,五简谐振动的合成,如A1=A2,则A=0,两分振动相互加强,两分振动相互减弱,分析,合振动不是简谐振动,合振动可看作振幅缓变的简谐振动,二.同方向不同频率简谐振动的合成,分振动,合振动,当21时,拍:指振动方向相同,的两个简谐振动合成时合振幅周期变化(忽强忽弱)的现象,拍频:单位时间内振幅强弱变化的次数=|2-1|,x,t,x2,t,x1,t,*三、振动的频谱分析,振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振动。,谐振分析：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。,若周期振动的频率为:0,则各分振动的频率为:0、20、30,(基频,二次谐频,三次谐频,),按傅里叶级数展开,*四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成,合振动,分振动,合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线,质点离开平衡位置的位移,讨论,合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线,质点离开平衡位置的位移,合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆,质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。,合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆,质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。,*五、垂直方向不同频率,可看作两频率相等而2-1随t缓慢变化合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。,轨迹称为李萨如图形,简谐振动的合成,两分振动频率相差很小,两振动的频率成整数比,最简单最基本的线性振动。,简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移x（或角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化的振动。,用旋转矢量表示相位关系,同相,反相,由图可见：,例1:如图m=210-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8cmt=0时x0=-9.8cm,v0=0取开始振动时为计时零点，写出振动方程；（2）若取x0=0，v00为计时零点，写出振动方程,并计算振动频率。,解：,确定平衡位置mg=kl取为原点k=mg/l令向下有位移x,则f=mg-k(l+x)=-kx作谐振动设振动方程为,由初条件得,由x0=Acos0=-0.0980,sin00,取0=-/2,x