数学湖南卷·单独招生详细解析与

绝密湖南省2008年普通高等学校单独招生统一考试数学试卷时量150分钟，满分150分参考公式：如果事件A、B互斥，那么如果事件A、B相互独立，那么如果事件A在1次实验中发生的概率是P，那么n次独立重复实验中恰好发生k次的概率球的表面积公式，体积公式，其中R表示球的半径一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1函数的反函数为，则等于A3 B2 C0 D-2【答案】A【解析】反函数为，所以2设集合，则集合的子集个数最多有A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B【解析】由于，当时，；当时，惟一确定，只含有一个元素，则集合的子集个数最多有两个，即和3从双曲线虚轴的一个端点看两个顶点的视角为直角，则双曲线的离心率为A B2 C D【答案】D【解析】不妨设双曲线的方程为，由题设得，则，所以4过作圆的弦AB，若，则AB的方程是A B C D【答案】C【解析】由知点为AB的中点，所以，所以AB的方程为5在展开式中，的系数是A B C297 D207【答案】D【解析】（略解）6函数的单调递增区间是A BC D【答案】B【解析】，由于函数的单调递减区间为的单调递增区间，即7若，则的取值范围是A B C D【答案】C【解析】，即8设，则的最小值为A24B25C26D1【答案】【解析】（当且仅当，即时取“”），所以9如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则有多少种不同的涂色方法A24种 B72种 C84种 D120种【答案】C【解析】设四个直角三角形顺次为A、B、C、D。按顺序着色，下面分两种情况：（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2中颜色中任意取一色）：有种；（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的3中颜色中任意取一色）：有种。10平面的一条斜线与平面交于点P，Q是上一定点，过点Q的动直线与垂直，那么与平面交点的轨迹是 A直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线【答案】A【解析】满足过点Q与垂直的动直线的轨迹为过点Q与垂直的平面，显然两平面与的相交于一条直线 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）11 【答案】【解析】略12不等式的解集为 【答案】【解析】由于，所以，所以，所以13设M是椭圆上的动点，和分别是椭圆的左、右顶点，则的最小值等于 【答案】【解析】设，则，显然当时，取最小值为14设是定义在R上的奇函数，且，则 【答案】【解析】本题关键“寻规律，找周期”由得，；，显然的周期为，所以15将一个钢球置于由6根长度为m（应该是）的钢管焊接成的正四面体的钢架内，那么，这个钢球的最大体积为 【答案】【解析】设正四面体为，设点P在底面上的射影为、球心为O、正四面体的边长和高分别为。由于钢球体积最大时与四个面都相切。由题设点P在底面中的射影必是底面的中心。显然O将正四面体分割为四个体积相同的正四面体，所以有，容易求得，代入可求得。所以钢球的最大体积为。三解答题(本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16（本小题满分12分）已知的外接圆的半径为，内角的对边分别为，又向量，且（I）求角C；（II）求三角形ABC的面积S的最大值【答案】（）2分且，由正弦定理得：化简得： 4分由余弦定理： 5分 6分（）（当且仅当时取“”）9分11分所以，12分17（本小题满分12分）湖南省某单位从5名男职工和3名女职工中任意选派3人参加省总工会组织的“迎奥运，争奉献”演讲比赛（I）求该单位所派3名选手都是男职工的概率;（II）求该单位男职工、女职工都有选手参加比赛的概率；（III）如果参加演讲比赛的每一位选手获奖的概率均为，则该单位至少有一名选手获奖的概率是多少？【答案】（I）记事件A=“该单位所派的选手都是男职工” 1分则P（A）= 3分（II）记事件B=“该单位男职工、女职工选手参加比赛” 4分则P（B）=7分（III）设该单位至少有一名选手获奖的概率为P，则或12分18. （本小题满分12分）把边长为2的正三角形ABC沿BC上的高AD折成直二面角，设折叠后BC的中点为P（I）求异面直线AC，PD所成的角的余弦值；（II）求二面角CABD的大小；（III）在AB上是否存在一点S，使得？若存在，试确定S的位置，若不存在，试说明理由【答案】（解法一）：（I）取AB的中点为Q，连接PQ，则，所以，为AC与BD所成角2分 又CD=BD=1，而PQ=1，DQ=14分（II）过D作，连接CR，就是二面角的平面角6分在，8分二面角的大小为9分（解法二）：（I）如图，以D为坐标原点，DB、AD、DC所在直线分别为轴建立直角坐标系。则），2分所以，异面直线AC与BD所成角的余弦值为4分（II）面DAB的一个法向量为5分设面ABC的一个法向量，则,取，7分则8分二面角的大小为9分（III）不存在若存在S使得AC，则，与（I）矛盾故不存在12分19（本小题满分12分）设函数（I）证明：是函数在区间上递减的必要而不充分的条件；（II）若时，恒成立，且，求实数的取值范围【答案】（I）在区间上递减，其导函数1分4分故是函数在区间上递减的必要而不充分的条件5分（II） 6分当时，函数在（）上递增，在上递减，在上递增，故有9分当时，函数在上递增，只要令，则11分所以在上递增，又不能恒成立故所求的a的取值范围为12分20（本小题满分13分）已知曲线C上的动点M到轴的距离比到点的距离小1（I）求曲线C的方程；（II）过F作弦PQ、RS，设PQ、RS的中点分别为A、B，若，求最小时，弦PQ、RS所在直线的方程；（III）是否存在一定点T，使得？若存在，求出P的坐标，若不存在，试说明理由【答案】（I）由条件，M到的距离等于到直线的距离，所以，曲线C是以F为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为3分（II）设，代入得：5分由韦达定理，6分，只要将A点坐标中的换成，得7分（当且仅当时取“”）8分所以，最小时，弦PQ、RS所在直线的方程为，即或9分（III），即三点共线是否存在一定点T，使得，即探求直线AB是否过定点由（II）知，直线AB的方程为10分即，直线AB过定点12分故存在一定点，使得13分21（本小题满分14分）已知曲线C：，C上的两点的横坐标分别为2与，数列满足