3.1生存模型与生命表.ppt

第三章生存模式和生命表。首先，在生存模型上，(1)一般来说，我们称人寿保险公司出售的合同为人寿保险单。根据寿险保单的规定，保险人(即保险公司)根据被保险人在规定时间内的生存或死亡来决定是否支付保险金。(2)这种仅在特定事件发生时支付的保险付款称为有条件付款。它的重要特征是发生的不确定性，一个人未来的生命时间是不确定的(事先不可预测)；(3)被保险人在未来一定时期内的生死是一个不确定的事件。对这一不确定事件的研究是寿险精算学的主要任务之一。他决定是否支付保险金。他的研究将数学与生存和死亡概率联系起来。从数学的角度来看，存在和死亡的状态是一个简单的过程，具有以下特征：(1)有两种状态：存在和死亡；(2)个人可以用他们的状态来描述：他们可以分为幸存者和死者。(3)生命个体可以从“生存状态”转变为“死亡状态”，但不能相反；(4)任何个体未来的生存时间都是未知的，所以我们只能从生存和死亡的概率来研究生存状态。(5)生存模型是在这一过程中建立的数学模型，用数学公式清楚地描述，从而部分地解释了死亡率问题。以下是生存模型可以回答的一些问题：(1)一个50岁的人明年死亡的概率是多少？(2)如果有1000名50岁的老人，明年会有多少人死亡？(3)如果一个50岁的人有10年的定期人寿保险，他应该收取多少费用？(即定价问题！(4)某些因素(如每天吸60支烟)如何影响50岁男性公民的未来生存时间？第二，新生儿的生存分布，T0:新生儿个体的寿命。生存分布的概念介绍如下。假设分布函数和密度函数为T0，生存函数(或生存分布)，定义：生命x的生存函数(或分布)是与分布函数的关系：与密度函数的关系：新生儿在m和n岁之间死亡的概率：注意：生存函数的性质，例如：(1)0岁的人在50岁以后死亡的概率是；(2)60岁之前的死亡概率可以表示为(3)50岁和60岁之间的死亡概率可以表示为3岁和60岁的个体的生存分布，新生个体的生存到x岁，此时记录的个体用符号(x)表示，假设x是整数。个体的未来生存时间(x)是一个随机变量，记录为。还要记住，整数部分是，小数部分是，tx的分布函数：生存函数(生存分布):密度函数：同时，Tx的分布函数、生存函数和密度函数分别表示为。(1)个体(x)在x 1岁时存活的概率；这叫做生存概率。请注意，从定义中可以看出，2)个人(x)在下一年死亡的概率；这叫做死亡概率。(1)来年存活和死亡的概率，1):个个体(x)存活x年的概率，即(x)至少再存活t年的概率；(x)未来t年的死亡概率；(3):个个体(x)在其年龄组(x u，x u t)死亡的概率，即(x)存活x u年但在随后t年死亡。特别是，注意从定义中可以看出：(2)任何未来时期的生存和死亡概率，定理1(1)生存概率(2)与生存和死亡概率有以下关系：(3)是，是，定理证明： (1)，(2)从定义和条件概率公式中，有，(3)是，例2已知生存函数计算和。王18岁，再活10年的概率为0.95，再活30年的概率为0.75，48岁以前死亡的概率为28岁。从解：可知，死亡力(或死亡力)的第二部分，即生命x的瞬时死亡率(或死亡力(度)被定义为活到x岁的个体恰好在这个年龄死亡的概率(概率)，当它是连续函数时。(2)满足的条件：死力、密度函数和生存函数之间的关系：定理和可用死力函数表示，即定理证明：从死力的定义，从这个微分方程的解可以看出，有一个常数C，所以x=0被满足，然后这个关系式被代入并得到，所以当x=0，C=0，因此，结论(1)(2)(3)， 死亡力与生存函数和密度函数之间的关系，证明：死亡概率、生存概率和死亡力之间的关系，结论：根据死亡力函数的定义，例5的生存分布给出如下形式，即服从指数分布(其中参数为)，并得到相应的死亡力。 据了解，当时，计算和。一些常见的死亡力量函数，练习：1。验证函数可作为生存函数，并给出相应的死亡力、密度函数和T0分布函数。2.第三组。设定4。计算并求和已知的生存函数。第3节预期寿命定义了(两个预期生存时间)，其中前者是(x)个人的预期寿命(完全预期寿命)，后者是(x)个人全年的预期寿命(简单预期寿命)，两者满足不平等。下面的讨论讨论了这两个期望的具体表达式：定理(1)与生存函数有如下关系：(2)和的二阶矩满足下列公式：非负随机变量和正整数n的补充定理，如果是，则有定理的证明：(1)由于上述补充定理是可用的，并且假定它是一个连续随机变量，所以单个点的概率等于0，即定理的证明(2)。在示例8中，密度函数被设置为并被计算。可直接编写，解：由生存函数，例9设定，计算。事实上，x岁个体的预期寿命可以看作是以下两个部分的总和：(1)该年龄范围内的预期寿命。因为当个体(x)存活到x 1岁时，它的整个存活年是1年，否则它是0。而个体(x)到x 1岁的存活概率是。因此，在这个区间内，个人全年的期望(x)是。(2)年龄范围内的预期寿命。因为当个体(x)超过x 1岁时，整年的期望值为，否则为0。而超过x 1岁的个体(x)的概率是。因此，个体(X)在该年龄范围内的预期寿命是。综上所述，将这两部分结合起来可以得到以下结果：一些练习，1。试着解释生存函数应该满足的条件是：事实上，从分布函数的性质和分布函数与生存函数之间的关系可以直接推导出来：一些练习，因为它们是单调递减和左连续函数，它们是单调递减和连续函数。(2)尝试描述死亡力函数应满足的条件。首先，它应该满足非消极性，也就是说，实际上，一些练习。其次，它应该满足：事实上，家庭作业。第四，在一个特定的人口群体中，所有年龄的死亡人数是0.025。计算：(1)10岁的人在12岁之前死亡的概率。(2)5岁的人在10至12岁之间死亡的概率。(3)新生儿完全期望寿命(4)新生儿简单期望