结构动力学-2单自由度体系的振动分析

2.单自由度体系的振动分析,2.1自由振动分析,自由振动-由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作用的振动。,分析自由振动的目的-确定体系的动力特性：频率、周期。,一.运动方程及其解,阻尼-耗散能量的作用。,m,令,二阶线性齐次常微分方程,2.1.1不计阻尼自由振动,其通解为,由初始条件,可得,令,其中,二.振动分析,单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动.,自振周期,自振周期,自振园频率(自振频率),三.自振频率和周期的计算,1.计算方法,(1)利用计算公式,(2)利用机械能守恒,=常数,(3)利用振动规律,位移与惯性力同频同步.,幅值方程,2.算例,例一.求图示体系的自振频率和周期.,解:,例二.求图示体系的自振频率和周期.,解:,例三.质点重W,求体系的频率和周期.,解:,例四.求图示体系的自振频率和周期.,解:,1.能量守恒,2.列幅值方程,A,阻尼:使振动衰减的作用.,阻尼产生原因：材料的内摩擦,接触面等处的外摩擦及介质阻力等.,阻尼力：,在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。,粘滞阻尼理论假定阻尼力大小与速度成正比,方向与速度相反。,c-阻尼系数(dampingcoefficient）,二、运动方程及其解,令,运动方程,设,特征方程,2.1.2粘滞阻尼自由振动,一、阻尼假定,根为,令,方程的通解为,小阻尼情况,由初始条件,临界阻尼情况,超阻尼情况,-临界阻尼系数,-阻尼比,大量结构实测结果表明，对于钢筋混凝土和砌体结构，钢结构。各种坝体的，拱坝，重力坝（大头坝），土坝、堆石坝。,周期延长,小阻尼情况,机械能不守恒,阻尼力耗散的能量为：,计算频率和周期可不计阻尼,三、运动的衰减,对数衰减率,四、自由振动试验,B-加速度幅值,例:对图示体系作自由振动试验.用钢丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用力16.4kN,将绳突然切断,开始作自由振动.经4周期,用时2秒,振幅降为1cm.求,1.阻尼比2.刚度系数3.无阻尼周期4.重量5.阻尼系数,6.若质量增加800kg体系的周期和阻尼比为多少,解:,1.阻尼比,2.刚度系数,3.无阻尼周期,4.重量,5.阻尼系数,6.,PROBLEMS：,3.Amassmisatrest,partiallysupportedbyaspringandpartiallybystops.Inthepositionshown,thespringforceismg/2.Attimet=0thestopsarerotated,suddenlyreleasingthemass.Determinethemotionofthemass.,PROBLEMS：,5.Amassm1hangsfromaspringkandisinstaticequilibrium.Asecondmassm2dropsthroughaheighthandstickstom1withoutrebound.Determinethesubsequentmotiony(t)measuredfromthestaticequilibriumpositionofm1andk.,PROBLEMS：,6.Forasystemwithdampingratio,determinethenumberoffreevibrationcyclesrequiredtoreducethedisplacementamplitudeto10%oftheinitialamplitude,theinitialvelocityiszero.,7.若系统作自由衰减振动，经过m个周期