第五章 样本与统计量

第五章样本与统计量,第一节样本与统计量第二节数据的简单处理第三节统计量的分布,“没有统计,其它科学可以存在,但是很渺小.”,“Statisticsisthescienceforlearningfromdata.”,统计是“关于收集和分析数据的科学与艺术/art”不列颠百科全书,数据有随机性(带偶然误差);应用时有人的判断和主动性(“艺术”).,关于统计的一些说法,统计研究的特点:,2.目的的总体性,手段的个体性,统计学是一门研究收集数据,表现数据,分析数据,解释数据,从而认识数量规律的方法论科学./collect/present/analyze/interprete/methodological,统计研究的特点,1.内容的数量性,目的是找出由大量个体组成的整体的总体特征,但常常从观察个体数量特征入手.,统计总是用数字来表述事实.,描述统计:对整体的调查和描述.常用表和图,计算特征量(如平均值)等.统计描述是“社会经济统计学”(属文科)的主要内容.推断统计:分析部分资料,推断出整体情况.中心问题是减少误差,降低出错的可能性.统计推断是“数理统计”(属理科)的主要内容.,统计的分类,/descriptivestatistics/inferentialstatistics,描述统计与推断统计的关系,反映客观现象的数据,总体的数量规律,推断统计运用概率论分析样本信息,对总体的数量特征进行估计和检验等.,概率论,描述统计(数据的搜集,整理,显示和分析等),总体数据,样本数据,统计学探索数量规律性的过程,引言概率论的问题中,随机变量的概率分布是已知的或假设是已知的,而一切计算与推理都是在这已知的基础上进行的.但实际中,一个随机变量所服从的分布可能是完全不知道的,或者知道其分布概型,但是其中的某些参数是未知的.例如,某公路上车辆的速度服从的分布是未知的;电视机的使用寿命服从的分布是未知的;产品是否合格服从两点分布,但参数合格率p是未知的.数理统计的任务是以概率论为基础,根据试验所得到的数据,对研究对象的客观统计规律做出推断.数理统计所包含的内容十分丰富,从第五章开始,我们学习数理统计的基础知识,介绍其中的参数估计,假设检验,方差分析,回归分析等内容.第五章主要介绍数理统计的一些基本术语,基本概念,重要的统计量及其分布,它们是后面各章的基础.,第五章样本与统计量,第一节样本与统计量第二节数据的简单处理第三节统计量的分布,在数理统计中,研究对象的全体称为总体或母体,而组成总体的每个单元称为个体.要了解总体的分布规律,往往从总体中抽取一部分个体进行观测,这个过程称为抽样.在抽样过程中,每抽取一个个体,就是对总体X进行一次随机试验,所抽取的n个个体(X1,X2,Xn)称为总体X的一个样本或子样,其中所含的个体数量n称为样本容量.样本(X1,X2,Xn)的观测数据(x1,x2,xn)称为样本值或子样观察值.,population/individual/sample/size/observedvalue,常用的抽样是简单随机抽样,它满足代表性:子样(X1,X2,Xn)的每个分量Xi与总体X具有相同的概率分布.独立性:各次抽样的结果互不影响.由简单随机抽样所得子样(X1,X2,Xn)称为简单随机子样,它是来自总体X,与总体X具有相同分布的n个相互独立的随机变量.,/statistic.,统计量是样本(X1,X2,Xn)的不含未知参数的连续函数f(X1,X2,Xn).,例1下列哪些是统计量?其中X1,X2,X3是来自总体N(m,s2)的一个样本,m为已知,2为未知.,几个常用的统计量,样本均值,设(X1,X2,Xn)是总体X的一个样本,样本方差,samplemean/samplevariance,样本均方差或标准差,它们的观测值用相应的小写字母表示.,第五章样本与统计量,第一节样本与统计量第二节数据的简单处理第三节统计量的分布,数据的简单处理抽样调查所得的原始数据往往杂乱无章,需要以一种直观明了方式对数据进行加工:数据整理;计算样本特征数.数据整理:将数据分组,计算各组频数;作频率分布表,作频率直方图.计算样本特征数:(1)反映趋势的特征数样本均值前述.中位数:数据按大小顺序排列后,位置居中的那个数或居中的两个数的平均数.众数:样本中出现最多的那个数.,(2)反映分散程度的特征数:样本方差,样本标准差极差,四分位数,四分位差数.极差样本数据中最大值与最小值之差:R=Mm.四分位数将样本数据依概率分为四等份的3个数椐,依次称为第一,第二,第三四分位数.第一四分位数Q1:PXQ1=0.25,第二四分位数Q2:PX8788111917370929810594999198DATA1109897839083928886941029989104DATA94949296879492861028875909080DATA84918294991029196949485888083DATA8169958097929610991808094102DATA80869190838491879576909177103DATA8988859592104929583868186918983DATA96867592DATAendMTBdescribec1,显示:NMEANMEDIANTRMEANSTDEVC110090.30091.00090.3228.288SEMEANMINMAXQ1Q3C10.82969.000111.00085.25095.000,中位数,第1四分位数,第3四分位数,MTBCODE(67.5:72.49)70(72.5:77.49)75(77.5:82.49)80(82.5:87.49)85(87.5:92.49)90(92.5:97.49)95(97.5:102.49)100(102.5:107.49)105(107.5:112.49)110C1C2MTBTALLYC2;SUBCALL.,将C1数据列重新编码,并保存到C2数据列,显示各列数据的频数,累计频数,频率,累计频率,C2COUNTSCUMCNTSPERCENTSCUMPCENTS(频数)(累计频数)(频率)(累计频率)70120.020.0275570.050.078010170.100.178518350.180.359030650.300.659518830.180.8310010930.100.931054970.040.9711031000.031.00,显示结果,第五章样本与统计量,第一节样本与统计量第二节数据的简单处理第三节统计量的分布,统计量f(X1,X2,Xn)是样本(X1,X2,Xn)的不含未知参数的函数,它本身是一个随机变量,其分布称为抽样分布.正态总体是最常见的总体,以下主要讨论正态总体下的抽样分布.常识若X1,X2,Xn相互独立且XiN(mi,si2),则它们的线性组合仍服从正态分布且:例如,X1X2N(m1m2,s12+s22).,U分布正态总体样本均值的分布设总体XN(,2),则样本均值服从正态分布,标准化,概率分布的分位数对总体X和给定的(045时,如无详细表格可查,可以用标准正态分布代替t分布查t(n)的值,即t(n)u,n45.一般的t分布临界值表中,详列至n=30,当n30就用标准正态分布N(0,1)来近似.,定义5.5设X2(n1),Y2(n2)且相互独立,则称服从第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布,记为FF(n1,n2).显然,若XF(n1,n2),则1/XF(n2,n1).概率密度函数,其中,其图形见图5-9.(P108),(5.13),F分布的上分位数或上侧临界值F(n1,n2),(5.14),F(n1,n2)的值可由F分布表查得.附表5,6,7,8,9(P262P276)分=0.1,0.05,0.025,0.01,0.005给出了F分布的上分位数.,例如,例如,查表(p271)得F0.01(2,18)=6.01.附表中所列的值都比较小,当较大时,可用公式,F分布的双侧分位数,分别是上1/2分位数和上/2分位数.,定理5.4设n1,S12为正态总体N(1,12)的样本容量和样本方差;n2,S22为正态总体N(2,22)的样本容量和样本方差;且两个样本相互独立,则统计量,证明由定理5.1,且相互独立,故由F分布的定义有,小结几种常用分布的定义,正态总体样本均值的分布,设总体XN(,2),(X1,X2,Xn)是X的一个样本,则样本均值服从正态分布,2分布,设总体XN(0,1),(X1,X2,Xn)是X的一个样本,则统计量2=X12+X22+Xn2服从自由度为n的2分布:22(n).即,标准正态总体的样本的分量的平方和服从自由度为样本容量的2分布.,t分布,设XN(0,1),Y2(n),且X与Y相互独立,则服从自由度为n的t分布:Tt(n).t-分布的密度函数的图形相似于标准正态分布的密度函数.当n较大时,t分布近似于标准正态分布.,F分布,服从自由度为(n1,n2)的F分布:FF(n1,n2).,设X2(n1),Y2(n2),且X,Y相互独立,则,定理5.1设(X1,Xn)为来自正态总体XN(,2)的样本,则(1)样本均值X与样本方差S2相互独立;,(2),(5.8),定理5.2设(X1,Xn)为来自正态总体XN(,2)的样本,则统计量,定理5.3设(X1,X2,Xn1)和(Y1,Y2,Yn2)分别是来自正态总体N(1,2)和N(2,2)的样本,且它们相互独立,则统计量,其中,两总体的样本方差.,而S12,S22分别为,定理5.4设n1,S12为正态总体N(1,12)的样本容量和样本方差;n2,S22为正态总体N(2,22)的样本容量和样本方差;且两个样本相互独立,则统计量,例1设总体XN(0,1),X1,X2,Xn为简单随机样本,试问下列统计量各服从什么分布？,解,(1),因为XiN(0,1),i=1,2,n.,所以,X1-X2N(0,2),故,t(2).,例1设总体XN(0,1),X1,X2,Xn为简单随机样本,试问下列统计量各服从什么分布？,续解,(2),因为X1N(0,1),故,t(n-1).,例1设总体XN(0,1),X1,X2,Xn为简单随机样本,试问下列统计量各服从什么分布？,续解,(3),因为,所以,F(3,n-3).,例2若Tt(n),问T2服从什么分布？,解,