2.2.1 第2课时 分析法

第2课时分析法,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.其特点是:“由因导果”.,用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:,综合法是由一个个推理组成的,综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时候进展更难.会需要高超的技巧，深刻的解题指导思想.但开头难怎么办？如何找到开头呢？,1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法之一的分析法.（重点）2.了解分析法的思考过程、特点.（难点）,探究点分析法的定义,引例：证明不等式：,证法1:因为所以所以所以成立,证法1:因为所以所以所以成立,只需证,只需证,只需证,因为成立,所以成立,综合法,分析法,证法2:要证,思考：上述两种证法有什么异同？,都是直接证明,证法1从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止.综合法,相同,不同,证法2从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到一个明显使结论成立的条件.分析法,分析法,综合法,已知条件,结论,综合法和分析法的推证过程如下：,一般地，从要证明的出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法.其特点是：执果索因，即要证结果Q，只需证条件P.,分析法（逆推证法或执果索因法）,结论,充分条件,类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法.用Pi表示使所要证明结论成立的充分条件，Q表示所要证明的结论,则分析法的思路过程，特点用框图表示为:,注意：证明最后面的明显成立的条件可以是：,已知条件、定理、定义、公理等.,分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件.,在本例中，如果我们从“2125”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到从“2125”入手，所以用综合法比较困难.,【提升总结】,【变式练习】,求证：,证法一：为了证明,成立.,因为,所以只需证明,成立,展开得,即,因为,成立，,成立.,所以,证法二：,例2如图,SA平面ABC,ABBC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证AFSC.,分析：本例所给的已知条件中，垂直关系较多，我们不容易确定如何在证明中使用它们，因而综合法比较困难.这时，可以从结论出发，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件.,证明:证法一：要证AFSC,只需证SC平面AEF,只需证AESC,只需证AE平面SBC,只需证AEBC,只需证BC平面SAB,只需证BCSA,由SA平面ABC可知，上式成立.,所以AFSC成立,还有其他证明方法吗？,证法二:因为SA平面ABC,所以AEBC,又因为AESB,且BCSB=B,所以AE平面SBC,所以AESC,又因为EFSC,且AEEF=E,所以SC平面AEF,所以AFSC,所以BCSA,所以BC平面SAB,又因为ABBC,且ABSA=A,分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角,因此第一步工作可以从已知条件中消去.观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系（sin+cos)2-2sincos=1,于是，由(1)2-2(2)得4sin2-2sin2=1.,把4sin2-2sin2=1与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论；统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数.把结论转化为cos2-sin2=(cos2-sin2),再与4sin2-2sin2=1比较，发现只要把cos2-sin2=(cos2-sin2)中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的.,由于上式与（3）相同，于是问题得证.,【提升总结】,分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法.在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件.综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题.对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由因导果，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛.,1.在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法.,2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性.,3