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7.2点估计的评价标准,对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题,(1)无偏性,(3)一致性,(2)有效性,7.2,定义设,是总体X的样本,是总体参数的估计量,无偏,是总体X的样本,证明:不论X服从什么分布,证,因而,由于,例1,特别地,是总体期望E(X)的,样本均值,无偏估计量,例2设总体X的期望与方差存在,X的,样本为(n1).,(1)不是D(X)的无偏估量;,(2)是D(X)的无偏估计量.,证,前已证,证明,例2,因而,故证毕.,XB(n,p)n1,求p2的无偏估计量.,解由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质,只要将未知参数表示成总体矩的线性函数,然后用样本矩作为总体矩的估计量,这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量.,令,例3,因此,p2的无偏估计量为,故,例4设总体X的密度函数为,为常数,为X的一个样本,证,故,是的无偏估计量.,例4,令,即,故nZ是的无偏估计量.,都是总体参数的无偏估计量,且,则称比更有效.,有效,是的无偏估计量,问哪个估计量更有效？,由例4可知,与都,为常数,例5设总体X的密度函数为,解，,例5,例6设总体X，且E(X)=,D(X)=2,为总体X的一个样本,证(1),例6,(1)设常数,(2),而,例如XN(,2),(X1,X2)是一样本.,都是的无偏估计量,罗克拉美（RaoCramer）不等式,其中p(x,)是总体X的概率分布或密度函数，称为方差的下界.,当时,称为达到方差下界的无偏估计量,此时称为最有效的估计量,简称有效估计量.,例7设总体X的密度函数为,为X的一个样本值.,求的极大似然估计量,并判断它是否达到方差下界的无偏估计量.,为常数,解由似然函数,例7,的极大似然估计量为,它是的无偏估计量.,而,故是达到方差下界的无偏估计量.,定义设是总体参数,的估计量.若对于任意的,当n时,依概率收敛于,即,一致性估计量仅在样本容量n足够大时,才显示其优越性.,一致,关于一致性的两个常用结论,1.样本k阶矩是总体k阶矩的一致性估计量.,是的一致估计量.,矩法得到的估计量一般为一致估计量,在一定条件下,极大似然估计具有一致性,2.设是的无偏估计量,且,则,例8,为常数,则是的无偏、有效、一致估计量.,证由例7知是的无偏、有效估计量.,所以是的一致估计量,证毕.,例8,习题,补充题设总体XN(,2),为X的一个样本,常数k取,何值可使,为的无偏估计量,17,某水产养殖场两年前在人工湖中混养了黑、白两种鱼.现在需要对黑白鱼数目的比例进行估计.,提示：分别用矩法与极大似然估计法,解
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