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,球面上的距离宣城二中韩月红,一、球面上的距离,我们知道，在平面上，经过两点可以连一条直线，且只可连一条直线平面上两点之间的所有连线中，线段最短，这条线段的长度叫做两点之间的距离,球面上有没有某种曲线可以“扮演”平面上直线的角色呢？连结球面上任意两点有无数条曲线，而且它们的长短不一，其中是否存在一条最短的曲线？,B、A两点的距离是多少？,如下图，一架飞机从北京首都国际机场起飞，目的地是美国纽约肯尼迪国际机场，北京与纽约大致都在北纬40上，如果不考虑其他因素，飞机如何飞行才能使航程最短？,如图，我们用点B代表北京、点N代表纽约，点O表示球心用经过B点、N点、O点的平面去截球面，得到一个大圆（由于平面过球心），那么B点、N点就把这个大圆分成两段圆弧，长的一段叫优弧，短的一段叫劣弧,如果我们把图中的大圆弧和小圆弧画到同一个平面，如下图,劣弧的长度是球面上两点之间的最短路径，我们把它称为球面上两点之间的距离,因此过球面上两点一定可以连一条且只可以连一条大圆弧劣弧,再回到上图，很容易得到，飞机沿着大圆从北京向北经极地飞行到达纽约，航程最短，它比飞机向东沿北纬40的小圆，经旧金山到达纽约的航程要短,例1假设地球的半径为R，如图，在北纬45的纬线上有A，B两点，且所对的圆心角AOB=90，求球面上A，B两点间的距离,解：如图，连结OA，OB，AB，OO.由纬度的意义，可得同理，因为AOB=90所以又因为OA=OB=R，所以AOB=60，因此，球面上A，B两点间的距离等于,由于不在同一条直线上的三点唯一确定一个圆，因此过球面上两点必可连一条大圆弧劣弧这类似平面上经过两点可以连一条直线，且只可能连一条直线；平面上两点之间的最短路径是线段因此，球面上的大圆可以“扮演”平面上直线的角色,尽管球面上的大圆可以“扮演”平面上直线的角色，但是两者之间也有很大的不同平面上的两条直线可以相交：只有一个交点；也可以不相交（平行）：没有交点但是球面上任意两个大圆（类似平面上的两条直线）必定相交，且有两个交点,思考,为什么两个大圆必定相交，且有两个交点？,如上图，因为球面上的两个大圆所在的平面都经过球心O所以这两个大圆所在的平面有一个公共点，因此这两个平面必有一条过球心O的相交直线，这条相交直线显然是球面的直径所在的直线，两个大圆的交点是这条直径的两个端点A，A我们把球的直径的两个端点A，A称为对径点因此，两个大圆相交于对径点A，A,1.由在平面上的距离引
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