第15章 分式 全章导学案

15.1.1 从分数到分式学习目标：1、能正确说出分式的概念，会判断一个代数式是否为分式，会求分式的值。 2、能正确说出分式有意义、分式值为零的条件，并能应用上述两条件解题. 学习过程： 一、 自主学习： 问题:1、长方形的面积为 10cm ,长为 7cm,宽应为 cm; 长方形的面积为 S,长为 a,宽应为 cm, 把体积 为 V 的水倒入底面积为 S 的圆柱形容器中，水面高度为 . 观察：1. 、等是 ，分母中 字母 2. 式子 、等分母中 字母 归纳: 1.分式的定义： 2.分式有意义的条件： ，分式无意义的条件 3.分式值为零的条件： 二、合作探究1在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）5x-7 （2）3x2-1 （3） （4）（5）5 （6） （7） （8）例1: 填空：（1）当x 时，分式有意义（2）当x 时，分式有意义（3）当b 时，分式有意义（4）当x、y满足关系 时，分式有意义巩固练习：课本练习P128-129练习册，2，3题三、达标测评1下列各式中，（1）（2）（3）（4）（5）（6）0（7）（x+y）整式是 ，分式是 。2当x= 时，分式没有意义。3当x= 时，分式的值为0 .om四、课堂小结：谈谈本节课的收获？五、课后作业：小卷 15.1.2 分式的基本性质（一）学习目标：能说出分式的基本性质，并能灵活运用此性质将分式变形. 学习过程： 一、 自主学习： 1、分数的基本性质是 。2、阅读教材 P129-130 页内容，完成下列问题： 分式的基本性质： 分式的 与 都乘（或除以） 的整式，分式的值不变，这个性质叫做 。用式子表示是：= , = (C0) 其中 A, B, C 是整式 二、合作探究1自学课本 P129 例 2，尝试完成以下题目： 在下面的括号内填上适当的整式，使等式成立： （1） （2） （3） (b 0) （4） （x-） （5）2分式的符号法则: 填空: = _, = _, = _ . 3不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数. （1） （2）三、学以致用：1、在括号内填上适当的整式. （1）（2）（3）（4）四、能力提升1.在括号内注明下列各式成立时，x 的取值应满足的条件. （1） （ ） （2） （ ）（3） （ ）2.把分式中的字母 x、y 的值都扩大 10 倍，则分式的值（ ） A扩大 10 倍 B扩大 20 倍 C不变 D是原来的3.把分式 中的字母 x 的值扩大 2 倍 ，而 y 缩小到原来的一半，则分式的值 （ ） A不变 B扩大 2 倍 C.扩大 4 倍 D.是原来的一半五、课堂小结：谈谈本节课的收获？六、课后作业：小卷15.1.2 分式的基本性质（二）学习目标： 1、理解并掌握分式的基本性质； 2、能运用分式基本性质进行分式的约分. 学习过程： 一、自主学习: 1.分式的基本性质为： _ 用字母表示为：_ _ _ 2、预习看书 P130-131 页，并做好思考，观察和练习： （1）把下列分数化为最简分数： =_；=_；=_ （2）根据分数的约分，把下列分式化为最简分式： =_ _; =_。 1. 分式的约分定义： 最大公因式：所有相同因式的最 次幂的积最简分式： 二、合作探究1. 利用分式的基本性质，将下列各式化为更简单的形式。（1） （2） （3）例3：约分： 三、学以致用：（先独立思考，再合作讨论）1、分式、中是最简分式的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2、下列约分正确的是（ ） A、 B、 C 、 D、3、约分 四、能力提升：1、约分： （1） （2）2、化简求值：若 a= ，求的值五、课堂小结：谈谈本节课的收获？六、课后作业：小卷15.1.2 分式的基本性质（三）学习目标：1、经历用类比、观察、联想的方法探索分式通分的方法的过程，理解通分与最简公分母的意义. 2、能正确熟练地运用分式的基本性质将分式通分. 学习过程： 一、自主学习： 1、回顾：异分母分数、是如何化成同分母分数的？ 2、分式的通分定义： 最简公分母： 二、合作探究 例4.通分：与 与 巩固练习：课本练习P132 第2题三、达标测评：9.通分：与 与 五、课堂小结：谈谈本节课的收获？6、 课后作业：小卷15.2.1分式的乘除1学习目标：使学生理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题 学习过程：一、自主学习 1你能完成下列运算吗？= = = =2、请写出分数的乘除法法则 乘法法则：_ 除法法则：_ 3、类比上面的分数乘除法运算，猜一猜= = 与同伴交流。 类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？ 乘法法则：分式乘分式，用_作为积的分子，_作为积的分母 除法法则：分式除以分式，把_后，再与_相乘。 用式子表示为： _ 二、合作探究例1、计算：1 ； 例2、计算：1 ； .例3、计算：（1）三、达标测评：1、计算（1） （2） （3）2、计算：（1） （2）3、计算：（1） （2）.五、课堂小结：谈谈本节课的收获？六、课后作业：小卷15.2.1 分式的乘除2学习目标：掌握分式的乘方运算，熟练地进行分式乘除法的混合运算.学习过程：一、自主学习： 1如何进行分式乘除法运算？2计算： （1） （2）3、根据乘方的意义和分式乘法的法则，计算：= = = 猜想：= 归纳：分式乘方的运算法则： 二、合作探究例5：计算 三、达标测评1、计算： （1） （2）四、能力提升先化简再求值：，其中 a =, b = 五、课堂小结：谈谈本节课的收获？六、课后作业：小卷课题：15.2.2分式的加减学习目标：1、通过类比分数的加减法运算，猜想、归纳分式的加减法的运算方法，能利用分式的加减法法则熟练的进行运算。2、进一步了解通分的意义，培养加强计算能力。学习重点：分式的加减法的运算。学习难点：异分母分式的加减法的计算。学习过程：一、 自主学习：1、计算：= ；= ；= ；= 。2、根据1题的计算过程回忆分数的加减法法则：同分母分数相加减 。异分母分数相加减 。3、 模仿分数的加减计算：= ；= ； = ；= 。4、 计算：= ；= ；= ；= ；5、 归纳分式的加减法法则：同分母分式相加减 。异分母分式相加减 。二、合作探究：1、计算：（1）、 （2）、 （3）、2、计算：（1）、 （2）、 （3）、（4）、 小结：异分母的分式加减法的一般步骤： （1）通分，将异分母的分式化成同分母的分式； （2）写成“分母不变，分子相加减”的形式； （3）分子去括号，合并同类项； （4）分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式三、学以致用：1、计算：（1）、 （2）、（3） 、 （4） 注意：分式通分时，要注意几点：（1）如果各分母的系数都是整数时通分，常取它们的系数的最小公倍数，作为最简公分母的系数；（2）若分母的系数不是整数时，先用分式的基本性质将其化为整数，再求最小公倍数；（3）分母的系数若是负数时，应利用符号法则，把负号提取到分式前面；（4）若分母是多项式时，先按某一字母顺序排列，然后再进行因式分解，再确定最简公分母。四、能力提升1、计算（1）、 （2）、2、已知，求M的值。五、课堂小结确定最简公分母的一般步骤：（1）找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数。（2）找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取。（3）找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数最大的。这样取出的因式的积，就是最简公分母。课题：15.2.3整数指数幂学习目标：1知道负整数指数幂（a0，n 是正整数）2掌握整数指数幂的运算性质3.会用科学计数法表示小于 1 的数. 学习重点：掌握整数指数幂的运算性质. 学习难点：会用科学计数法表示小于 1 的数. 学习过程： 一、自主学习: 1. 回顾已学过的正整数指数幂的运算性质(m,n 都是正整数)： (1)同底数的幂的乘法: （2）幂的乘方：_ (3)积的乘方：_, （4）同底数的幂的除法：_, (5)商的乘方：_, (6)0 指数幂，即当 a0 时，_, (7) 1 纳米= 米即 1 纳米= 米二、合作学习： 1. 用两种方法计算: 方法 1. 利用分式的约分计算: =方法 2. 利用同底数幂的除法计算: = = 结论: = 归纳： 当 n 是正整数时， = _ （ ）即（a0）是的 2、观察 ：，即：，即：，即： 归纳：_ 3、用科学记数法表示下列各数: 30000= ; 696000= ; 0.00003= ; 0.0000257= 0.201= ; 0.002003= ; 0.08090= ;0.000000257= 三、学以致用 1、计算（1） （2）2、 下列等式是否正确？为什么？ （1） （2）四、能力提升1、填空 ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 2、用科学计数法表示下列各数：0.00004= ；-0.034= ；0.00000045= ；0.003009= ；五、课堂小结六、课后作业课题：15.3分式方程1学习目标：1使学生理解分式方程的意义2使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法 3了解解分式方程解的检验方法学习重点：(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法 (2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想学习难点：检验分式方程解的原因 学习过程： 一、自主学习：1.概念：分式方程：分母中含有 的方程叫分式方程。2.练习：判断下列各式哪个是分式方程 （1） （2） （3） （4）3. 看课本例题回答问题： 轮船顺流航行的速度为 千米/时；逆流航行的速度为 千米/时，顺流航行 100千米所用的时间为 小时，逆流航行 60 千米所用的时间为 小时。由两次航行所用时间相等，可列方程二、合作探究1、观察课本生解题过程，思考：方程和中V的取值范围相同吗？所以对上题中的解 v=5 必须检验。检验：将 v=5 代入原方程中，左边= 4，右边=4 ，左边 =右边，因此 v=5 是原方程的解。注意：分式方程必须检验2、解方程：小结：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此检验时常将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解，是原分式方程的增根三、学以致用1、解方程：（1） （2） （3） （4） （5） （6）四、能力提升：1、若关于 x 的分式方程有增根， 则m的取值是? 点拨：把分式方程进行转化，然后找到有可能的增根，代入。 五、课堂小结六、课后作业课题：153分式方程2学习目标：1会分析题意找出等量关系.2会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.学习重点：利用分式方程组解决实际问题.学习难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.学习过程：一、自主学习：1、工程问题：工作量=工作效率工作时间 工作效率= 工作时间= 例如：一项工程 , 甲单独做 5小时 完成, 乙单独做 6小时完成工作总量是_ 甲的工作效率_乙的工作效率_二、合作探究：1、两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这是增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快?分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”.等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1解：设_根据题意得2、某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？解：设_根据题意得三、学以致用：1、甲、乙两工程队各挖15千米水渠，甲队每天挖水渠是乙的1.2倍，甲队的完工时间比乙队少半天，问甲、乙两工程队每天各挖水渠多少千米？解：设_根据题意得2、甲做180个机器零件与乙做240个机器零件所用的时间相同，已知两人每小时共做70个机器零件，两人每小时各做多少个？ 解：设_根据题意得四、能力提升： 1、学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个. 解：设_根据题意得2. 一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天? 解：设_根据题意得5、 课堂小结六、课后作业课题：153分式方程3学习目标：1会分析题意找出等量关系.2会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.学习重点：利用分式方程组解决实际问题.学习难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.学习过程：一、 自主学习：1、行程问题：路程= _ 顺水速度= _+_ 逆水速度=_+_ 二、合作探究：1、从2005年5月起某列车平均提速 y千米/时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行使50千米，提速前列车的平均速度是多少？分析：是一道行程问题的应用题, 基本关系是：速度=.这题用字母表示已知数（量）.等量关系是：提速前所用的时间=提速后所用的时间解：设_根据题意得2：八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度。解：设_根据题意得三、学以致用：1、甲、乙两人分别从距目的地千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是：，结果甲比乙提前20分种到达目的地。求甲、乙的速度。解：设_根据题意得2两个小组同时开始攀登一座450米高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15分种互达顶峰，两个小组的攀登速度各是多少？解：设_根据题意得四、能力提升：1、一船在静水中每小时航行20千米，顺水航行72千米的时间恰好等于逆水航行48千米的时间，求水流速度2、供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度.3、一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？4. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.五、课堂小结六、课后作业课题：153分式方程4学习目标：1会分析题意找出等量关系.2会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.学习重点：利用分式方程组解决实际问题.学习难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.学习过程：一、 自主学习：1、盈亏问题：利润=_-_ 利润率=总价=_二、合作探究：1、某商店销售一种衬衫，四月份的营业额为5000元，为了扩大销售，在五月份将每件衬衫按原价的8折销售，销售量比四月增加了40件，营业额比四月份增加了600元，求四月份每件衬衫的售价。2、某农场 原有水田400公顷、旱田150公顷，为了提高单位面积产量 ，准备把旱田改为水田，改完后，要求旱田占水田的10%。纹银把多少公顷旱田改为水田？三、学以致用：1、某大商场家电部送货人员与销售人员人数之比为18.今年夏天由于家电购买量明显增多，家电部经理从销售人员中抽调了22人去送货.结果送货人员与销售人员人数之比为25.求这个商场家电部原来各有多少名送货人员和销售人员？2、对甲、乙两班学生进行体育达标测验，结果甲班有48人合格，乙班有45人合格，甲班的合格率比乙班高5%，并且甲班人数与乙班人数相等，求甲班人数四、能力提升1、一服装店在广州看到一种夏季衬衫，用8000元购进若干件，以每件58元的价格出售，很快售完；又用17600元购进同样的衬衫，数量是第一次的2倍，每件进价比第一次多4元，服装店仍按每件58元出售，全部售完，问该服装商店这笔生意盈利多少元/2一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时间t分，求两根水管各自的注水速度。五、课堂小结：设未知数、列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，正确地理解问题情境，分析其中的等量关系是设未知数、列方程的基础. 可以多角度思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系，解分式方程应用题必须双检验：（1）检验方程的解是否是原方程的解；（2）检验方程的解是否符合题意六、课后作业课题：15章 分式小结与复习学习目标：了解本章知识要点、巩固本章知识点的应用，并综合应用知识点解决问题。学习重点：分式的概念、运算及分式方程的应用。 学习难点 ：分式方程的应用。 学习过程 ： 一、知识点复习： 1. 分式的概念 （1）如果 A、B 表示两个整式，且 B 中含有字母，那么式子叫做分式。 （2）分式与整式的区别： 分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母。 2. 分式有意义的条件：分式的分母不能为 0，即 中， B 0 时，分式有意义。 3. 分式的值为0的条件：分子为0,且分母不为0，对于，即时，= 0 . 4. 分式（数）的基本性质: 分式(数)的分子、分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式(数),分式(数)的值不变。, （ M 为 0 的整式）5. 分式通分 （1）通分的依据是分式的基本性质; (2)通分的关键是确定最简公分母; （3）通分后的各分式的分母相同; （4）通分后的各分式分别与原来的分式相等. 6. 分式通分的步骤 （1）确定最简公分母 取各分母系数的最小公倍数。 凡出现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取。 相同字母（或含字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 当分母中有多项式时，要先将多项式分解因式。 （2）将各分式化成相同分母的分式。 7. 分式的约分 （1）约分的依据：分式的基本性质 （2）约分后不改变分式的值。 （3）约分的结果：使分子、分母中没有公因式，即化为最简分式。 8. 分子的变号规则 分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。用式子表示为：； 9. 分式的乘除法则 乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。= = 10. 分式的乘方分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即= 11. 分式的加减 （1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 （2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 = 12. 分式的混合运算原则 （1）先乘方，再乘除，再算加减，有括号，先算括号内的。 （2）同级运算，按运算顺序进行。 （3）运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配律。 （4）结果化为最简分式或整式。 13. 整数指数幂(m,n 为整数) (1) = （2）= （3）= ，（4）= （a ） （5）= (6)零指数幂的性质： = ( )，负指数幂的性质： = ( ) 引入