一数阵“迷宫”的破解

一数阵“迷宫”的破解之旅“重温旧时的精彩课堂”教学札记在与人教版配套的教辅资料中，学生问到我这样一个问题找数阵的规律.当初拿到问题一看，仔细“研究”了一番，但一时间还是难于找到较为有效的方法来破解数阵的规律. 说实话，根据题意，要找该数阵的规律，就目前给出的数据，确实有点难找. 但有了难题就得想方设法去解决. 于是，带着对数阵问题的兴趣及对数阵“迷宫”的破解，我把这个问题引入课堂，以期待师生共同探究、携手解决. 一、情景再现问题 下面是一个三角形数阵： 1 第1行-2 3 第2行 -4 5 -6 第3行 7 -8 9 -10 第4行 （1）根据该数阵的规律，第8行第2个数是多少？ （2）根据该数阵的规律，第50行第5个数是多少？ （3）根据该数阵的规律，问-2012在第几行的第几个数？ （4）在第2013行中，正数有多少个？负数有多少个？师：同学们，我们班上有很多钻研精神优秀的同学，他（她）们学习品质值得我们学习！我很佩服. 昨天，我们班的一位同学问我一个三角形数阵问题，解决这个问题的关键要找出数阵的规律. 我们俩研究了一番，觉得这个问题很有意思，很值得一探. 下面我们一起来帮助这位同学解决这个问题，希望充分发挥你们的聪明才智，大显身手！ （接着在黑板上出示上面的问题）师：为了更有效更快地解决问题，也可小组合作、交流、讨论，有效发挥集体力量，协同探究. 生：（学生合作探究. 大约过了5分钟，有个同学就很兴奋地站起来说. ）生1：老师，我们知道了，第8行第2个数是-30.师：很好！请你说说你是怎么推算出来的？另外你发现了这个数阵有些什么规律？生1：我们发现这个数阵每一行里数据的个数恰好等于行数. 我们把原数阵多列写出几行，当写到第9行时，（紧接着生1走上讲台，在黑板上写出了被他“拓展”了的数阵.） 1 第1行 -2 3 第2行 -4 5 -6 第3行 7 -8 9 -10 第4行 11 -12 13 -14 15 第5行 -16 17 -18 19 -20 21 第6行 -22 23 -24 25 -26 27 -28 第7行 29 -30 31 -32 33 -34 35 -36 第8行 37 -38 39 -40 41 -42 43 -44 45 第9行 生1：（指着数阵说）并且，我观察到在这个数阵中，所有奇数都是正数，所有偶数都是负数（负偶数）. 以此推算出第8行第2个数是-30.生：（同学们报以热烈的掌声！）师：很不错！许多问题给出的条件是有限的，为解决好问题就需要对条件进行适当的“拓展” ，但不能曲解题目条件，篡改问题条件. 师：列举法是一种重要的数学方法，用它来解决某些数学问题非常凑效. 但它也有局限性. 如果沿用刚才那位同学的方法，能解决好第（2）个问题吗？生2：能. 但是列写50行这样的数阵比较麻烦，又很费时，我想要解决第（2）个问题，肯定不是仅凭同学1找出的规律和方法，就能解决好的. 数阵中肯定还存在其它规律，但我暂时还没有找出来. 师：同学2说的是没错，如果所问行数更多，比如说问第100行、第200、300行的第几个数是多少，仅凭同学1找出的规律和方法，既费时又不现实. 那数阵中是否还存在其它什么规律呢？请大家再找找. 生：（学生进一步仔细观察，合作探究.）师：（大约过了6分钟后，问）同学们，有答案了吗？生3：老师，我们经过观察同学1列出的数阵还发现，如果去掉负偶数的负号，整个数阵里的数就可组成一个连续正整数的排列. 生4：老师，由同学1列出的数阵我们还发现，除第1行没有负数外，从第2行开始，每一偶数行里的正负数（奇偶数）个数同样多；而每一奇数行里有的负数多，有的正数多，有的负数 ，（奇数行似乎没有什么规律.）. 师：对呀，每一偶数行里的正负数（奇偶数）个数同样多，这是一个很有用的信息，但奇数行里的正负数（奇偶数）个数哪个多哪个少，无法确定. 师：（考虑到问题规律探索有一定的难度，师及时给予提示.）请同学们仔细观察每一行最后（最右边）一个数及其绝对值的排列规律，看看还有什么新发现. 生：（学生继续合作探究. 因问题有一定的难度，时间稍长一些.）生5：我们发现了每一行最后（最右边）一个数的绝对值的拆分规律： 1 =1 第1行3 =1+2 第2行-6 =1+2+3 第3行-10 =1+2+3+4 第4行 15 =1+2+3+4+5 第5行 21 =1+2+3+4+5+6 第6行-28 =1+2+3+4+5+6+7 第7行-36 =1+2+3+4+5+6+7+8 第8行45 =1+2+3+4+5+6+7+8+9 第9行 从绝对值表达式可以看出，每一行的最后一个数的绝对值可以写成连续的正整数的和，且和式中最后一个加数就是行数. 据此，每一行的最后一个数就都可以确定了.师：同学5发现的规律很好且很重要. 既然每一行的最后一个数的绝对值可以写成连续的正整数的和，那么请大家再想一想，怎样来求连续正整数的和？比如要求1+2+3+4+5+6+7+8+9+ +=？该怎样求？生：（很多学生联想数学家高斯读小学时所经历的数学故事：1+2+3+4+5+6+7+8+9+100=5050. 马上作出反应. ）生（众学生）：如果是第行则有个数，且第行最后一个数的绝对值是1+2+3+4+5+6+7+8+9+=. 有了这个公式，我们就可以求出任意一行最后一个数的绝对值. 由此，相应地它的下一行的开头的一个数也就可以知道了. 生7：由式子1+2+3+4+5+6+7+8+9+=，我们可以求出第7行最后一个数的绝对值是28，又因28是偶数，故第7行最后一个数是-28，则第8行前面的两个数是29，-30，所以第8行第2个数是-30. 师：用类似的方法，我们就可以解答好第（2）个问题了. 谁来说说？生8：由式子1+2+3+4+5+6+7+8+9+=，我们可以求出第49行最后一个数的绝对值是1225，又因1225是奇数，故第49行最后一个数是1225，则第50行前面的五个数是-1226，1227，-1228,1229，-1230，所以第50行的第5个数是-1230. 生9：观察数阵，第1行有1个数字，第2行有2个数字，第3行有3个数字，第4行有4个数字，各行数字恰好是连续的整数排列. 又由于1+2+3+4+5+6+7+8+9+62=1953，1+2+3+4+5+6+7+8+9+63=2016，所以，第2012个数肯定排列在第63行中. 而第63行共有63个数，它的最后一个数是，倒数第4个是-2012，也即是顺数第59个数. 师：很聪明！你们真有才！哪位同学来说说第（4）问怎样求？生10：由式子1+2+3+4+5+6+7+8+9+=，很容易求出第2012行最后一个数的绝对值是2025078，因2025078是偶数，故第2012行最后一个数是-2025078，则第2013行开头的一个数是2025079，是个奇数. 而第2013行最后一个数是2027091，它也是个奇数，按每一行数据奇偶性排列规律：奇偶、奇偶、奇偶、奇，则易知第2013行的2013个数中共有1007个奇数，1006个偶数，故在第2013行中有1007个正数，有1006个负数. 师：很好！同学们，今天的课上得很成功，很圆满！大家充分发挥了各自的聪明才智，并高度汇聚了我们集体的力量，把一个个看似很复杂的问题，灵活机智地解答出来了，我为你们的出色表现感到骄傲！下面我提议为我们大家今天精彩的表现鼓掌！（全班鼓掌）二、课后感悟小小的课堂变成了一场精彩的思维