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专业班级： 姓名： 学号： 密封线河南理工大学20092010 学年第 2 学期专业班级： 姓名： 学号： 密封线高等代数试卷总得分阅卷人复查人考试方式本试卷考试分数占学生总评成绩比例闭卷80%得分 一、填空：（每小题5分，共55分）1实二次型的规范形由 所唯一确定.2满足 时，二次型 是正定二次型.3复矩阵的全体特征值的和等于 ，全体特征值的积等于 .4已知阶矩阵的特征值为，则的特征值为 .5复数集合C看成复数域C上的线性空间，它的维数是 ，复数集合C看成实数域R上的线性空间，它的维数是 。6已知是一个正交矩阵，那么 ， .7已知是数域中的一个固定的数，而是的一个子空间，则 ，维() .8设，若A的初等因子为：则A的若当标准形为9设是线性空间V的一组基，则由基到基的过渡矩阵T ，10设线性空间的线性变换为：则在标准基下的矩阵为 . 11设，则 .= .得分 二、计算与证明：（共45分）1（5分）证明：如果都是阶正定矩阵，则也是正定矩阵.2（15分）已知二次型，求一个正交变换, 把二次型化为标准型.3（10分）设与分别是齐次方程组与的解空间，证明.4（15分）设是数域上的2级全体方阵所成的线性空间，定义的一个线性变换如下：（1） 求在基下的矩阵；（2） 求的值域.答案一、填空：（每小题4分，共56分）1）的秩和正惯性指数; 2）; 3）; 4）3，-5，-11; 5) 1, 2; 6) , ; 7) ; 8) ; 9) ; 10）; 11）,； 二、计算与证明：（共44分）1. （5分）证明：令 则 因为都是正定矩阵，所以对任意的，有 所以， 则二次型为正定二次型， 所以为正定矩阵。 2（15分）解二次型的矩阵为故的特征值为 当时, 解方程，由得基础解系. 取 当时，解方程，由得基础解系将正交化得再将单位化得 于是正交矩阵为 则正交变换为 则有 3. 证：的解空间是维，基为， 的解空间的基为 因为由构成的矩阵A满足 所以为的基，故 又因为 所以 4. 解 1) 类似有 设在基下的矩阵为B，则 2)
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