0.9第九讲不定方程-答案

七年级竞赛辅导系列第九讲 不定方程答案一 引例 求方程的整数解.解：由，得， 又均为整数， 也是整数，因此也是整数， 和互质， 是的倍数，于是可设（为整数） 将代入原式可得， 原方程的整数解为（为整数）二 学习重点从引例不难看出是方程的一组解，我们称它为特殊解；则把（为整数）叫做不定方程的通解（全部整数解）；求二元一次不定方程（为整数，）的正整数解的一般步骤为： 确定方程有无整数解； 求出方程的一个特殊解：； 写出通解或（为整数）（全部的整数解） 通过解不等式组，确定的取值范围，进而求出全部正整数解常用技巧与方法 通过消元，将问题转化为解不定方程；把一个未知数当作常数，将其他未知数用这 个未知数的代数式表示；利用整体思想方法求解.三 课堂精讲【例1】求方程的全部整数解解：显然是的一组解，（也可以通过变形找） 所以原方程的全部整数解为（为整数）【例2】求方程的所有正整数解.解：由于较难观察出原方程的一组特殊解，则可以通过下面的方法去寻找： 由，得 因为为整数，故也是整数，显然满足； 当时， 所以是原方程的一组解， 因此原方程的整数解为 又，所以，解得，则 所以原方程的正整数解为，.【例3】对于非负整数，满足方程的非负整数的组数记为. 求（1）的值；（2）求的值.解：（1）当时，有，由于，所以 则或 当时，则，于是可为，有4组； 当时，则，于是可为，共有2组； 综上所述， （2）当时，则，则，共有1001个值 当时，于是可为，共有2组； 当时，于是共有4组；略； ；所以共有2+4+6+20022（1+2+3+1001）1003002组【例4】某中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个，总价值约为330元，这三种 球的价格分别是：足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有 个.解：设王老师捐赠足球个，篮球个，排球个，则 消去可得，显然是它的唯一一组自然数解，所以.【例5】某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆坐22人，就会余下1 人；如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车；若每辆车的容量不多 于32人. 问：原先租多少辆客车和学校师生共有多少人？解：设原来租用辆客车，后来每辆车坐人，则 则，显然只有或满足题意（23为质数）则或24，又，所以当时，人四 课堂精练1、若均为正整数，且，则的值为（ ） A.一切偶数 B.2或4或6或8 C.2或4或6 D.2或4解：因为均为正整数，且，；（或，则） 所以，则，所以，又因为偶数，所以选D2、方程的整数解有（ ） A.1组 B.2组 C.4组 D.无数组解：由题意可得，或，D3、若，则是（ ） A.正数 B.非正数 C.负数 D.非负数解：由，得，因为19互98互质，所以，则（为整数），则；选B4、若都是正整数，且，则.解：由，得 所以，满足为正整数，则.（）5、唐太宗传令点兵，若一千零一卒为一营，则剩余一人；若一千零二卒为一营，则剩余 四人，此次点兵至少有 人解：设每营1001人时，有营；每营1002时，有营；则 ，得（） 所以当时，有最小值，此时6、若正整数满足，则的最小值为 .解：由，得，因为为正整数，且668与5互质，所以，；则（为正整数），则的最小值为673.7、快慢两列火车的长分别是150米和200米，相向行驶在平行轨道上，若坐在慢车上的 人见快车驶过窗口的时间是6秒，那么坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是 秒.解：设快车速度为，慢车速度为则有 所以； 所以秒8、99名学生去划船，大船每只可乘坐12人，小船每只可乘坐5人，如果这些学生把租来 的船都坐满，那么大船应租 只，小船应租 只.（应改为解答题）解：设大船租只，小船租只，则有 所以，又，且为正整数 所以，则为1，2，7； 只有时，满足题意， 所以应租大船2只，小船15只；或租大船7只，小船3只.9、求方程的所有正整数解是 .解：显然是原方程的一组解，所以原方程的全部整数解为（为整数） 又；所以，解得，所以 则或.10、方程的正整数解的个数是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7解：由原方程得，显然是原方程的一组解， 所以原方程的全部整数解为（为整数），又， 所以，解得，所以；故选A.11、如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一速度限制标志，而且从10千 米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，刚好在19千米处同时设置这两种标志， 问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是（ ） A.32千米 B.37千米 C.55千米 D.90千米解：设相隔个4千米和相隔个9千米后，两种标志会重合； 则 则，又，所以 显然，当时，出现第二次相遇，此时； 341355千米，故选C.12、三元一次方程的非负整数解的个数有（ ） A.20001999 B.19992000 C.2001000 D.2001999解：显然，当时，此时只有一组解； 当时，此时有两组解；当时，此时有三组解；则非负整数解共有组解；故选C.13、有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件， 乙10件，丙1件，共需4.20元，现在购甲、乙、丙各1件共需 元.解：设甲货物每件元，乙货物每件元，丙货物每件件，则（以去思考） ，32，得14、有8个连续正整数，其和可以表示成7个连续正整数的和，但不能表示为3个连续的 正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 .解：设8个连续正整数的最小一个数为，7个连续正整数的最小一个数为，得 ，即 则，则（为正整数） 又因为其和不能表示为3连续整数，所以其和不为3的倍数，同理其和被7整除； 当时，其和为舍去；当时，其和为，所以这8个连续的正整数中最大数的最小值为15、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各多少本？解：设可买甲种书本，乙种书本，则则； 显然，是原方程的一组解，所以原方程全部的整数解为 由，得，则 则.16、三个不同质数满足，求的值.解：由，得，又是三个不同的质数，所以或5；当时，即，； 当时，即，不符合题