2020年考研数学二真题及解析

Born to winBorn to win 第 1 页 2020 全国硕士研究生入学统一考试数学二试题详解全国硕士研究生入学统一考试数学二试题详解 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. （1）当0 x 时，下列无穷小量中最高阶是（ ） （A） 2 0 1 x t edt （B） 2 0 ln 1 x tdt （C） sin 2 0 sin x t dt （D） 1 cos 2 0 sin x t dt 【答案】（D） 【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。 （A） 22 2 0 11 x tx edtex （B） 22 0 ln 1ln 1 x tdtxx （C） sin 222 0 sinsin sin x t dtxx （D） 1 cos 223 0 1 sinsin(1 cos ) sin 2 x t dtxxx 经比较，选（D） （2）函数 1 1ln 1 ( ) (1)(2) x x ex f x ex 的第二类间断点的个数为 （ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【答案】（C） 【解析】由题设，函数的可能间断点有1,0,1,2x ，由此 1 1 1 2 1 111 ln 1 lim( )limlim ln 1 (1)(2)3(1) x x xxx exe f xx exe ； 1 11 000 ln 1ln(1)1 lim( )limlim (1)(2)22 x x xxx exex f x exxe ； Born to winBorn to win 第 2 页 1 1 1 1 111 1 1 1 1 11 ln 1ln2 lim( )limlim0; (1)(2)1 ln 1ln2 limlim; (1)(2)1 x x x xxx x x x xx ex f xe exe ex e exe ； 1 1 2 222 ln 1ln31 lim( )limlim (1)(2)(1)2 x x xxx exe f x exex 故函数的第二类间断点（无穷间断点）有 3 个，故选项（C）正确。 （3） 1 0 arcsin 1 x dx xx （ ） （A） 2 4 （B） 2 8 （C） 4 （D） 8 【答案】（A） 【解析】令sinxt，则 2 sinxt，2sin cosdxttdt 2 1 2 22 000 arcsin 2sin cos22 sin cos4 1 0 xt dxttdttdtt tt xx （4） 2 ln 1,3f xxxn时， 0 n f （A） ! 2 n n （B） ! 2 n n （C） 2 !n n （D） 2 !n n 【答案】(A) 【解析】由泰勒展开式， 1 ln(1) n n x x n ，则 2 2 13 ln(1) 2 nn nn xx xx nn ， 故 ( ) ! (0). 2 n n f n （5）关于函数 ,0 ,0 ,0 xy xy fx yxy yx 给出以下结论 0,0 1 f x 0,0 1 f x y ,0,0 lim( , )0 x y f x y 00 limlim( , )0 yx f x y Born to winBorn to win 第 3 页 正确的个数是 （A）4 （B）3 （C）2 （D）1 【答案】（B） 【解析】 0,0 00 ,00,00 limlim1 0 xx f xffx xxx ，正确 0,0 00 1 0,0,00, limlim, 0 yy fff yyxxx f x yyy 而 0, f yx 000 ,0,1 limlimlim 0 xxx f x yfyxyyx y xxx 不存在，所以错误； 0,0,0,xyx yxxyy从而,0,0 x y 时， ,0,0 lim( , )0 x y f x y ， 正确。 0 0,00 lim, ,0 x xyy f x y yx 或 从而 00 limlim( , )0 yx f x y ，正确 （6）设函数( )f x在区间 2,2上可导，且( )( )0fxf x.则 (A) ( 2) 1 ( 1) f f (B) (0) ( 1) f e f (C) 2 (1) ( 1) f e f (D) 3 (2) ( 1) f e f 【答案】(B) 【解析】构造辅助函数 ( ) ( ) x f x F x e ，由 2 ( )( )( )( ) ( ) xx xx fx ef x efxf x F x ee ，由题 意可知，( )0F x ，从而 ( ) ( ) x f x F x e 单调递增.故(0)( 1)FF，也即 01 (0)( 1)ff ee ， 又有( )0f x ，从而 (0) ( 1) f e f .故选(B). （7） 设 4 阶矩阵 ij Aa不可逆， 12 a的代数余子式 12 0A , 1234 , 为矩阵A的列向 量组， * A为A的伴随矩阵，则 * 0A x 的通解为（ ） （A） 112233 xkkk，其中 123 ,k k k为任意常数 （B） 112234 xkkk，其中 123 ,k k k为任意常数 Born to winBorn to win 第 4 页 （C） 112334 xkkk，其中 123 ,k k k为任意常数 （D） 122334 xkkk，其中 123 ,k k k为任意常数 【答案】（C） 【解析】A由于不可逆， 4r A 故，0A .由由 * 12 014 13Ar Ar A ， 则 3r A ， * 1r A，故，故 * 0A x 的基础解系中有413 个无关解向量。 此外， * 0A AA E，则A的列向量为 * 0A x 的解。则由 12 0A ，可知，可知 134 , 线性 无关（向量组无关，则其延伸组无关），故 * 0A x 的通解为 112334 xkkk，即选 项（C）正确。 （8）设A为 3 阶矩阵， 12 , 为A的属于特征值 1 的线性无关的特征向量， 3 为A的属 于特征值1的特征向量，则 1 100 010 001 P AP 的可逆矩阵P为（ ） （A） 1323 , （B） 1223 , （C） 1332 , （D） 1232 , 【答案】（D） 【解析】设 123 (,)P ，若 1 100 010 001 P AP ，则 13 , 应为 A 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量， 2 应为 A 的属于特征值1的线性无关的特征向量。 这里根据题设， 12 , 为A的属于特征值为 1 的线性无关的特征向量，则 12 也为 A的属于特征值为 1 的线性无关的特征向量。 又因 3 为A的属于1的特征向量， 则 3 也 为A的属于特征值1的特征向量。且 1232123 12321231232 100100 (,)(,) 101101 010010 (,)(,)3, , rr 由于可逆， 故即线性无关 Born to winBorn to win 第 5 页 综上，若 1231232 ()(,),P ，则 1 100 010 001 P AP . 因此选项（D）正确。 二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. （9）设 2 2 1 ln1 xt ytt ，则 2 2 1 d y td x 【答案】2 【解析】 2 2 2 1 11 1 1 t dy dyt tdt dx dxtt tt dt 2 2 d y d x 22 23 1 111 d dydtttt dxdtdxttt 2 2 2 1 d y td x (10) 11 3 0 1 y dyxdx 【答案】 2 2 21 9 【解析】交换积分次序，原式 2 11 323 000 3 1 333 2 0 11 1 11 22 1112 21 033 39 x dxxdyxxdx xd xx (11)设arctansinzxyxy ，则0, dz 【答案】1 dxdy 【解析】 22 coscos , 1sin1sin yxyxxyzz xy xyxyxyxy Born to winBorn to win 第 6 页 将0,带入得1,1 zz xy 因此 0, dz 1 dxdy (12)斜边长为2a的等腰直角三角形平板，铅直的沉没在水中，且斜边与水面相齐，记重力 加速度为g，水的密度为，则该平板一侧所受的水压力为_. 【答案】 3 1 3 ga 【解析】以水面向右为x轴，以垂直于三角板斜边向上为y轴建立直角坐标系，则此时，三 角板右斜边所在的直线方程为yxa，取微元dy，则此时 22()dFy x gdygy ya dy ， 则一侧的压力 0 3203 21 2()(). 33 a a Fgy ya dygyayga （13）设 yy x满足 20yyy，且 00,01yy，则 0 y x dx 【答案】1 【解析】由方程可得特征方程为 2 210, 则特征方程的根为 12 1,1, 则微分方程的通解为 12 xx yc ec xe ，由 00,01yy可得 12 0,1cc，则 x y xxe，则 00 1 x y x dxxe dx （14）行列式 011 011 110 110 a a a a 【答案】 42 4aa 【解析】 2 32 42 011 1000 011 111 110 1011 110 01 222 112 4 a aa a aaaa a aa a aa aaaaaa aa aa Born to winBorn to win 第 7 页 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分） 求曲线 1 0 1 x x x yx x 的斜渐近线 【答案】 11 2 yx ee 【解析】由 11 limlimlim 1 (1) (1) x x xxx x yx k xxe x 1 lnln1 1 11 111 2 00 111 lim()lim()lim()lim(1) (1) 1 ln 111 1 lim( ln1)limlim. 12(1)2 xxx xx xx x xxxx x tt x byxxx eex e exee t x t ex xt ee xxtte 洛 故斜渐近线方程为： 11 2 yx ee . （16）（本题满分 10 分） 已知函数 f x连续且 0 lim1 x fx x ， 1 0 g xfxt dt， 求 gx并证明 gx在0 x 处连续. 【答案】 2 0 1 0 2 ( )1 0 x x gx f x f u dux xx 【解析】因为 0 lim1 x fx x ，并且( )f x连续，可得 (0)0,(0)1ff. 1 00 1 x g xf xt dtxtuf u du x ，当0 x 时，(0)0g.故 0 00 1 0 x x g x f u du x x ， 又 Born to winBorn to win 第 8 页 0 00 0 2 00 1 0 0 0limlim 00 ( )1 limlim 22 x xx x xx f u du g xg x g xx f u du f x xx 导数定义 则 2 0 1 0 2 ( )1 0 x x gx f x f u dux xx ，又因为 2 000 2 000 ( )1 limlim ( )1 limlim 11 10 22 x xx x xx f x gxf u du xx f x f u du xx g 所以 gx在0 x 处连续 （17）（本题满分 10 分） 求 33 ,8f x yxyxy极值 【答案】 111 ( ,) 6 12216 f 极小 【解析】令 2 2 ( , )30 ( , )240 x y fx yxy fx yyx 得 1 0 6 01 12 x x y y 或. 当驻点为(0,0)时， (0,0)0 (0,0)1 (0,0)0 xx xy yy Af Bf Cf ，则 2 0ACB，故(0,0)不是极值点. 当驻点为 11 ( ,) 6 12 时， 11 ( ,)1 6 12 11 ( ,)1 6 12 11 ( ,)4 6 12 xx xy yy Af Bf Cf ，则 2 0,10ACBA ，故 11 ( ,) 6 12 为极 Born to winBorn to win 第 9 页 小值点. 111 ( ,) 6 12216 f 为极小值. （18）设函数( )f x的定义域为(0,)且满足 2 2 2 12 2 ( )( ) 1 xx f xx f x x .求( )f x，并求 曲线 13 ( ), 22 yf xyy及y轴所围图形绕x轴旋转所成旋转体的体积. 【答案】 2 ( ) 1 x f x x ， 2 6 【解析】 2 2 2 2 2 12 2 ( )( ) 1 1 2 11 2 ( )( ) 1 xx f xx f x x x ff x xx x 得 2 ( ) 1 x f x x . 3322 2233 11 2 2266 2 3 6 sin1 cos2 22sin2cos2 cos2 1 1 (sin ). 26 x ytt Vyxdydyyttdtdt t y tt （19）（本题满分 10 分） 平面 D 由直线1,2,xxyx与x轴围成，计算 22 D xy dxdy x 【答案】 33 2ln21 24 【解析】 22 2sec 2 44 0sec0 3 44 00 11 3sec coscos2 3333 secsectan2ln21 2224 D xyr dxdydrdrd xr dd （20）（本题满分 11 分） 设函数 2 1 x t f xe dt (I) 证明：存在 2 1,2 ,2fe (II) 证明：存在 2 1,2 ,2ln2fe Born to winBorn to win 第 10 页 【解析】(I) 法 1：令 2 1 ( )(2) ( )(2) x t F xxf xxe dt . 由题意可知，(2)(1)0FF，且)(xF可导，由罗尔中值定理知，(1,2) ，使 ( )0F，又 22 1 ( )(2) x tx F xe dtxe ，即 2 2fe.得证. 法 2：令 2 ( )(2) x F xf xxe，则 22 1 (1)0,(2)0 t FeFe dt ，由零点定理知， 存在(1,2)，使得( )0F，即 2 2fe. (II)令( )lng xx，则 1 ( )0.g x x 由柯西中值定理知，存在(1,2)，使得 (2)(1)( ) (2)(1)( ) fff ggg ， 即 2 (2) 1 ln2 fe ，故 2 2ln2.fe （21）（本题满分 11 分） 设函数 f x可导，且 0fx，曲线 0yf xx经过坐标原点，其上任意一点M 处的切线与x轴交于T,又MP垂直x轴于点P，已知曲线 yf x，直线MPx以及轴围 成图形的面积与MTP面积比恒为为 3:2，求满足上述条件的曲线方程。 【答案】 3 0yCxC 【解析】设切点,M x y，则过M点的切线方程为 YyyXx. 令0Y ，则 y Xx y ，故T ,0 y x y . 曲线 yf x，直线MPx以及轴围成图形的面积 1 0 x Sy t dt， MTP的面积 2 2 1 22 yy Sy xx yy 因 1 2 3 2 S S ，则 0 2 3 2 2 x y t dt y y ，即 0 x y t dt 2 3 4 y y ， Born to winBorn to win 第 11 页 方程两边同时求导，得： 2 2 2 2 3 4 y yy y y y ，整理得： 2 32yyy， 令 yp，则 dp yp dy ，代入，得 2 32 dp ypp dy ，解得 2 3 1 pC y，即 2 3 1 dy C y dx 从而解得 1 3 12 3yC xC. 因曲线过原点，即(0)0f，则 2 0C ，故 3 yCx. 又因为 0fx，所以 yf x单调递增，所以0C 即曲线为 3 0yCxC （22）（本题满分 11 分） 设二次型 222 123123121323 ( ,)222f x x xxxxax xax xax x经过可逆线性变换 11 22 33 xy xP y xy 化为二次型 222 12312312 (,)42g y yyyyyy y. (I)求a的值； (II)求可逆矩阵.P 【答案】（1） 1 2 a ；（2） 2 12 3 4 01 3 010 P 【解析】 （1）根据题设， 123 ( ,) T f x xxX AX， 1 1 1 aa Aaa aa ，二次型 123 ( ,)f x x x经 可逆变换得到 123 (,)g y yy，故它们的正负惯性指数相同。由于 22222 12312312123 (,)42()4g y yyyyyy yyyy 的正负惯性指数分别为2,0pq，故 123 ( ,)f x x x的也分别为2,0pq. Born to winBorn to win 第 12 页 故矩阵 A 有特征值为 0，即 1 01 2 Aa 或。 当1a 时， 2 222 123123121323123 ( ,)222=f x x xxxxx xx xx xxxx，其正负惯 性指数分别为1,0pq，与题设矛盾，故1a 舍。因此 1 2 a 符合