20橙啦数学基础阶阶段测试高数线代概率解析-2019 7 51

20 橙啦数学基础阶测试（高数橙啦数学基础阶测试（高数+线代线代+概率概率） 解析解析 本试卷满分 150 分，考试时间 180 分钟，命题人：边一 （答案未必是最优解法，以直播讲授为准） 一一、选择题选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸 指定位置上. 1. 【答案】 （B） 【解析】显然. 1)0(f因为, 0) sin 1 2 (lim)(lim 1 1 00 x x e e xf x x xx , 112) sin 1 2 (lim)(lim 1 1 00 - x x e e xf x x xx 所 以),0()(lim - 0 fxf x ),0()(lim - 0 fxf x 即 )(xf在0x仅左连续. 2、 【答案【答案】 ： （D） 【解析【解析】 ：( )( )( )G xF x H x， 0 ( )( )( )( )( )()0G xF x H xF x H xG x， ， 00000 ( )( )( )2( )( )( )( )()2()()2 () ()0GxFx H xF x H xF x HxGxF x H xf x h x 3、 【答案【答案】 ： （C） 【解析【解析】 ：对 22 ( ,) x f x xx e两边同时求导，由链式法则可得 22 2 ( , )( , )22 xx xy y xy x fx yfx yxx ex e ，又因为 2 2 ( , )| x x y x fx yx e ，则 2 ( , )|x y y x fx ye 4（数一、三做（数一、三做） 、 【答案【答案】 ： (C) 【解析【解析】 ： 因为数列 2 1 tan() k nn 单调下降，且 2 1 limtan()0 n k nn ，故交错级数 1 2 1 1 ( 1)tan() n n k nn 收 敛 . 但 1 22 11 11 ( 1)tan()tan() n nn kk nnnn . 由 于 22 11 tan() limlim1 11 nn kk nnnn nn ，而级数 1 1 n n 发散，故级数 2 1 1 tan() n k nn 发散， 因此对任何常数k级数 1 2 1 1 ( 1)tan() n n k nn 条件收敛. 4（数二做（数二做） 、 【答案【答案】 ： (B) 【解析【解析】 ： 由二重积分 111 000 ( )( )( )(1) x D f x dxdyf x dy dxf xx dx 由 11 00 ( )( )f x dxxf x dx 知：( )0 D f x dxdy .可得选项 B 正确. 5、 【答案【答案】 ： （D） 【解析【解析】 ： 3211232113212 |, ()|,|,| 故 32112 |, ()|ABmn 6、 【答案答案】 （B） 【解析【解析】 ：由于为矩阵A属于特征值的特征向量，可知A. 则 22 AA AA ；221 2EAA .故肯定是 2 A与 2EA的特征向量. 对于 1 P AP 与 T A， 1 P AP 与 T A根据已知的条件无法计算，故不一定是它们的特 征向量，故选（B）. 7（数一、三做）（数一、三做）.【答案【答案】 ： （A） 【解析【解析】 ： 根据密度函数的性质， 0 12 0 3 1 24 ab f x dxafx dxbfx dx ， 因此234ab，故选（A）. 7（数（数二二做）做）.【答案【答案】 ： （C） 【解析【解析】 ： 当xe时， 0fx， 当0 xe时， 0fx， 在0,e和, e 内 f x 分别至多有一个零点，又 0 0, lim, lim x x f ekf xf x ，故 f x在 0 ，内有两个零点. 8（数一、三做（数一、三做） 【答案【答案】 ： （B） 【解析【解析】 ： 2 1 00,01,1 2 PP XYP XYP XY . 8（数（数二二做做） 【答案【答案】 ： （D） 【分析】【分析】: :先由通解可确定特征方程，从而求出对应齐次线性方程，再由特解找出右端函数 项即可. 【 解 析【 解 析 】 ： 由 题 设 ， 对 应 齐 次 线 性 方 程 的 通 解 为 12 xx yC eC e， 特 征 方 程 为 (1)(1)0，即 2 10 .可见，对应齐次方程为0yy. 设待求微分方程为( )yyf x，则将特解 11 cos2 210 yx 代入，得 2 111111 ( )cos2cos2cos2sin 21021022 f xxxxx 即所求方程为 2 sinyyx，故应选 D. 二二、填空题填空题：914 小题，每题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸答题纸 指定位置上. 9、 【答案【答案】 ：ab 【解析【解析】 ：( )yf x在原点处与sinyx相切，说明曲线( )yf x过0,0点，且 (0)1f。 则极限 000 limlimlim sinsinsin xxx f axf bxf axf bx xxx 00 (0)(0) limlim sinsin (0)(0) xx f axff bxfaxbx axxbxx afbfab 10、 【答案】 2 4 . 【解析】根据绕x轴旋转公式, 有 2 2 1 ln ee dx Vy dx xx 2 2 ln arctan ln 1 ln244 e e dx x x . 11、 【答案】 7 3 【解析】 如图, 22 0212 10 7 (1)(1)(1) 3 xx D xxDD dxxy dydxxy dyxy dxdydxdyS . 12、 【答案【答案】 ： 2 332 xxx eexe. 【解析【解析】 ：322 x yyye对应的齐次方程特征方程是 2 320，它的两个特征根 12 1,2. 因此对应齐次方程的通解为 2 12 xx Yc ec e 又因为1是特征方程的单根，所以，设非齐次方程的特解为 x yAxe 则 xx yAeAxe 2 xx yAeAxe 将上三式代入方程得2A . 因此， 2 12 2 xxx yc ec exe 把(0)0,(0)1yy代入上式解得 2 332 xxx yeexe . 1 13 3、 【答案【答案】 ：20kk 或 【解析【解析】 ：由于 T A的秩为 1，同时tr2 T A ，故矩阵A的特征值是2,0,0，从 而矩阵kEA的特征值是2,kkk. 那么 *1 ()()BkEAkEA kEA 的特征值是 2, (2),(2)kk kk k. 所以，B正定的充要条件是： 2 0,(2)0kk k，也即20kk 或. 14（数一、三做（数一、三做） 、 【答案【答案】 ： 4 7 【解析【解析】 ：本题是条件概率，靶已命中，可以理解为至少中一次. 设A表示“至少中一次” ，B表示“第一次就命中” ，则所求概率为： 1 4 2 1 71 1 8 P ABP B P B A P AP A . 14（数二做（数二做） 、 【答案】(7)1f 【解析】 2 2 2(1)0,2 ( )2 ( ) (0)00 ( )2 0,2 ( ) (7)(3)( 1)(1)(1 2)1 fxxx f xxxc f x fc f xxx x f x ffff 又是奇函数 的周期为4 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸答题纸 指定位置上.解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤. 15（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 【答案】1)1 ( 2 3 1 e 【解析】dxxxa n n n n n 1 2 3 1 0 1 =)1 (1 2 3 1 0 n n n n xdx n (第一类换元法) = 3 1 2 0 1 (1) n n n x n 3 2 11 1 1 n n nnn 可见 n n na lim= 3 2 lim11 1 n n n n = 3 2 1 (1) 1 lim1(1)1 1 n n n n n (凑重要极限形式) 3 1 2 (1)1e(重要极限) 16（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 【 证 明证 明 】 令 xx dttfdttfxF 0 3 2 0 )()()(,显 然F(0)=0.因 为 0)0(1)( 0fxf且, 所以当 x 0 时 f(x) 0. )()()(2)( 3 0 xfdttfxfxF x = )()(2)( 2 0 xfdttfxf x (1) 令)()(2)( 2 0 xfdttfx x , 显然(0) = 0. 0)( 1)(2)( )(2)(2)( xfxfxfxfxfx 所以当 x 0 时, (x) 0. 由(1)知0)( xF(x 0). 当 x 0 时 F(x) F(0) = 0. 所以 F(1) F(0) = 0. 立即得到 1 0 3 2 1 0 )()(dxxfdxxf 17（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 【答案】. 22 yx 【解析】由复合函数 ( , ),( , )zfx yx y的求导法则，得 22 1 () ()2 xy gfxyf xuxvx ff yx uv 22 1 () ()2 xy gfxyf yuyvx . ff xy uv 从而 22222 222 222 22 22 2 gfffff yyxxyx xuu vvu vv ffff yxyx uu vvv 22222 222 222 22 22 2 gfffff xxyyxy yuu vvu vv ffff xxyy uu vvv 所以 222222 222222 222222 ()()()() ggffff xyxyxy xyuvuv =. 22 yx 18（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 【答案】 33 3216 【解析】 2 2 3(1) 22 2 03 33 3216 x x D x dxdydxx dy 19（数一、三做，数一、三做，本小题满分本小题满分 10 分）分） 【答案】 1 1 0 11 ( )1 32 n n n n f xx (1)x 【解析】用分解法转化为求 1 1ax 的展开式，而这是已知的. 由于 2 11111 21)(2)3 12xxxxxx （ 1111 3 16 1 2 x x 00 11 ( 1) 362 n nn n nn x x (1)x 因此 1 1 0 11 ( )1 32 n n n n f xx (1)x . 19（数二做，数二做，本小题满分本小题满分 10 分）分） 【解析】可以利用函数的极值求解. 设B、C的横坐标分别为 1, x x,因为| 1AB ,所以 1 0,x 0 x .依题设 :2:1ABDC ,所以有 1 2 2 xx ee,两边同时取自然对数,得 1 ln22 ,xx 而 1 (ln22 )3ln2,(0)BCxxxxxx, 所以梯形ABCD的面积为 1 222 11 ()(3ln2)(2)(3ln2) 22 xxxx Seexeex 2 3 (3ln2) 2 x xe. 求函数 2 3 (3ln2) 2 x Sxe,(0 x )的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对x求导, 并令0S 有 2 3 (362ln2)0 2 x Sxe , 得驻点 11 ln2 23 x ,在此点 S 由正变负,所以 11 ln2 23 x 是极大值点. 又驻点唯一,故 11 ln20 23 x 是 2 3 (3ln2) 2 x Sxe最大值点. 此时 11 ln2 23 x , 1 1 ln2 1 3 x 时,梯形ABCD面积最大, 故B点的坐标为 1 ( ln2 1,0) 3 ,C点的坐标为 11 (ln2,0) 23 . 20（本（本小小题满分题满分 11 分）分） 【答案【答案】 （2）2,3ab .通解为： 12 224 315 010 001 xkk ，其中 12 ,k k为任意常数. 【解析【解析】系数矩阵 1111 4351 13 A ab 未知量的个数为4n ，且又AXb有三个线性无 关解， 设 123 , 是方程组的 3 个线性无关的解, 则 2131 , 是0AX 的两个线性 无关的解. 因为 2131 , 线性无关又是齐次方程的解，于是0AX 的基础解系中解 的个数不少于 2, 得4( )2r A, 从而( )2r A . 又因为A的行向量是两两线性无关的, 所以( )2r A . 所以( )2r A . (II)对方程组的增广矩阵作初等行变换: A b= 1111| 4351| a13b| 1 1 1 1111| 0115| 01a3aba| 1 3 1a 1111| 0115| 0042a4ab5| 1 3 42a , 由( )2r A , 得 420 450 a ab ， 即2,a 3b . 所以A b作初等行变换后化为； 1024| 2 0115| 3 0000| 0 ， 它的同解方程组 134 234 224 35 xxx xxx 中令 34 00 x,x求出AXb的一个特解(2, 3,0,0)T； 0AX 的同解方程组是 134 234 24 5 xxx xxx 取 34 10 x,x,代入得( 2,1,1,0)T；取 34 01x,x,代入得(4, 5,0,1)T. 所以 0AX 的基础解系为( 2,1,1,0)T，(4, 5,0,1)T 所以方程组AXb的通解为： 12 (2, 3,0,0)( 2,1,1,0)(4, 5,0,1) TTT cc， 12 ,c c为任意常数 21（本（本小小题满分题满分 11 分）分） 【答案答案】 （1）解得1,2ab. (2) 5 2 0 5 1 010 5 1 0 5 2 321 Q，Q为正交矩阵. 在正交变换XQY下，有 300 020 002 AQQ T ，且二次型的标准形为.322 2 3 2 2 2 1 yyyf 【解析】(1)二次型f的矩阵为. 20 020 0 b ba A设A的特征值为(1,2,3) i i ，由题设 得 123112233 2 ( 2) 1aaaa ， 2 123 0 |0204212. 02 ab Aab b 解得1,2ab (2) 求矩阵A的特征值，令 2 102 020(2) (3)0 202 EA ， 得矩阵A的特征值. 3, 2 321 对于,2 21 解齐次线性方程组0)2(xAE， 系数矩阵为 102 000 204 ， 得基础解 系 T ) 1 , 0 , 2( 1 ，.) 0 , 1 , 0 ( 2 T 对于3 3 ，解齐次线性方程组0)3(xAE，系数矩阵为 402 050 201 ，得基础 解系 .) 2, 0 , 1 ( 3 T 由于 321 , 已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将 321 , 单位化，由此 得 T ) 5 1 , 0 , 5 2 ( 1 ， T ) 0 , 1 , 0 ( 2 ，.) 5 2 , 0 , 5 1 ( 3 T 令矩阵 123 21 0 55 010 12 0 55 Q ， 则Q为正交矩阵 在正交变换XQY下，有 300 020 002 AQQT， 且二次型的标准形为.322 2 3 2 2 2 1 yyyf 22（数一、三做，数一、三做，本本小小题满分题满分 11 分）分） 【解析【解析】 ：(I)设Y的分布函数为 Y Fy，则 22 11 Y FyP YyP XyP Xy 若1y ，则 2 10 Y FyP XyP 若12y，则 11 10 1121 yy Y y FyPyXyx dxxdxy 若2y ，则 1 1 111 Y FyPyXyx dx Y的分布函数为 0,1 1, 12 1,2 Y y Fyyy y Y的概率密度函数为 1, 12 0, YY y fyFy 其它 (II) 33331 11011 0 22222 PYP YP YFF . 22（数二做，数二做，本本小小题满分题满分 11 分）分） 【答案】20 【解析】由直线 1 l过(0,0)和(2,4)两点知直线 1 l的斜率为 2. 由直线 1 l是曲线C在点(0,0)的 切线，由导数的几何意义知(0)2 f . 同理可得(3)2 f . 另外由点(3,2)是曲线C的一 个拐点知(3)0. f 由分部积分公式， 33 22 00 ()( )()( )xx fx dxxx dfx 3 3 2 0 0 ()( )( )(21)xx fxfxxdx 3 22 0 (33)(3)(00)(0)( )(21)fffxxdx =dxxfxfxxf dx 3 0 3 0 3 0 )(2)