2021考研概率统计全考点习题册答案解析第二讲

2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 12 - 第二讲第二讲 随机变量及其分布随机变量及其分布 2.2.1 1 设有三个盒子，第一个盒子装有 4 个红球，1 个黑球；第二个盒子装有 3 个红 球，2 个黑球；第三个盒子装有 2 个红球，3 个黑球，现从三个盒子中任取一盒，然 后从中任取 3 个球，求所取到的红球数的分布律与分布函数. 【解析解析】设X表示所取到的红球个数，可能取值为. 3 , 2 , 1 , 0 () 30 1 C C 3 1 0 3 1 0 3 1 0 3 5 3 3 =+=XP， () 10 3 C CC 3 1 C CC 3 1 0 3 1 1 3 5 2 3 1 2 3 5 2 2 1 3 =+=XP， () 2 1 C CC 3 1 C CC 3 1 C CC 3 1 2 3 5 1 3 2 2 3 5 1 2 2 3 3 5 1 1 2 4 =+=XP， () 6 1 0 3 1 C C 3 1 C C 3 1 2 3 5 3 3 3 5 3 4 =+=XP. 即X的分布律为： X0123 P 30 1 10 3 2 1 6 1 X的分布函数为：( ) = 3, 1 32 , 6 5 21 , 3 1 10 , 30 1 0, 0 x x x x x xF. 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 13 - 2.2.2 2 设随机变量的分布函数为，求的值. 【解析解析】由，又在处右连 续，. . 2.3 2.3 一袋中装有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5,在袋中同时取 3 只，以表示取出的 3 只球中的最大号码，写出随机变量的分布律. 【解析解析】的所有可能取值为：3，4，5. ，, 故分布律为 3 4 5 P 2.4 2.4 设( )xF和( )xG均为随机变量的分布函数，则下列可以作为某随机变量的分布 函数的是（ ） （A）( )xF+( )xG （B）)( 3 2 )( 3 1 xGxF+ （C）)()(2xGxF （D）)( 2 xF 【答案答案】 （B） 【解析解析】)(xF作为分布函数的充要条件是： 单调不减； 1)(, 0)(=+=FF； 右连续. (B)正确，因为)( 3 2 )( 3 1 xGxF+满足分布函数的充要条件. 而(A)错误， 2)()(=+GF； (C)错误，)()(2xGxF可能为负； (D)错误，因为 )( 2 xF非单调不减. 2 0 (1)( ) 0 b ax xF x cx + += , ,a b c ()00Fc =()11Fa+ = =( )F x0 x = (00)(0)1FFabcb+=+= X X X 3 3 3 5 1 (3) 10 C P X C = 2 3 3 5 3 (4) 10 C P X C = 2 4 3 5 3 (5) 5 C P X C = X 1 10 3 10 3 5 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 14 - 2.2.5 5 设( )xf和( )xF分别为连续型随机变量X的概率密度和分布函数，则下列函数 中可作为某随机变量的概率密度的是_.(多选) (A)()xf 2 （B）()xf （C）( ) 2 2xxf （D）( ) 32 3xfx （E）( ) ( )xFxf 【答案答案】 （B） （D） 【解析解析】函数)(xf作为概率密度的充要条件是：0)(xf； + =1)(dxxf. 由于 11 (2 )=( )1 22 fx dxf u du + = ，故(A)错； 由于()=( )1,()0fx dxf u dufx + = ，故(B)对； 由于( ) 2 2xxf可能为负，故(C)错； 由于 233323 3()()=( )1, 3()0 x f x dxf x dxf u dux f x + = ，故(D)对. 由于1 2 1 )( 2 1 )()()()( 2 = + + + xFxdFxFdxxFxf，故(E)错. 应填(B)和(D). 2.2.6 6 设随机变量X的概率密度为( ) 2 2 e xx f xA + =，求常数A. 【解析解析】由概率密度的性质：( )1f x dx + = ，得 222 2(1)1(1) 1 xxxx AedxAedxAeedxAe + + = ，故 1 A e =. 2.7 2.7 设随机变量服从正态分布，且二次方程 无实根的概率为，则 . 【解析解析】，由对称性有，. 2.8 2.8 随机变量的分布律为 1 2 X)0)(,( 2 N 04 2 =+Xyy 2 1 = 1 016404 2 PPXP X =4= X X01 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 15 - 则的分布律为 . 【解析解析】 2.9 2.9 设随机变量的概率密度函数为， 求随机变量 的概率密度函数. 【解析解析】 , 于是. 2.10 2.10 设随机变量X服从参数为的指数分布，令 , | |1 ,| |1 XX Y X X = . 求 （1）0P XY+=； （2）Y的分布函数( ) Y Fy. 【解析】【解析】 （1）0111e.P XYP YXP XP X += = = （2）( ),01,1 Y FyP YyP YyXP Yy X=+ ,01,1 .P XyXP Xy X=+ 当1y 时，( )1e y Y FyP XyP Xy = = =； P 1111 3446 2 YX= 2 YX= 014 P 1 4 7 12 1 6 X )1 ( 1 )( 2 x xfX + = 3 1YX= )(yfY 33 ( )()1(1) Y FyP YyPXyP Xy= 3 332 (1)(1)(1) 11 ( )arctan (1) X yyy fx dxdxx x + = + 3 11 arctan(1) 2 y = 2 6 3(1) ( )( )() 1 (1) YY y fyFyy y = + + 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 16 - 当10y 时，( )1e Y FyP X =； 当01y时，( )0+11 ee y Y FyPXyP X = +； 当1y 时，( )01 +11 Y FyPXP X=. 于是：( ) e , 1 e, 10 1 e+e,01 1,1 y Y y y y Fy y y = . 2.11 2.11 设随机变量 2 ( ,)XN ，证明：X的线性函数()0YaXb a=+也服从正 态分布. 【解析解析】 （注：本题只给出分布函数法，也注：本题只给出分布函数法，也可以用公式法可以用公式法） ( )()()()byaXPybaXPyYPyFY=+= （1）当0a时，( )() = = a by F a by XPbyaXPyF XY ，于是 ( ) () () () . 2 exp 2 1 2 1 exp 2 11 2 2 2 2 + = = = a aby a a by aa by f a yf XY 故() 22 ,abaNY+. （2）当0a时，( )() = = a by F a by XPbyaXPyF XY 1，于是 ( ) () () () () . 2 exp 2 1 2 1 exp 2 11 2 2 2 2 + = = = a aby a a by aa by f a yf XY 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 17 - 故() 22 ,abaNY+. 综上，() () 22 0 ,YaXb aN ab a=+. 2.12.12 2 设随机变量YX,相互独立，X服从标准正态分布()1 , 0N，Y的分布律为 2 1 10=YPYP，令XYZ =，则Z的分布函数的间断点个数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案答案】 （B） 【解析解析】法一法一：分布函数是右连续的，所以找间断点只要找不是左连续的点即可， 而( )(0) ZZ P ZaF aF a=，故只要找0P Za=的点即可. 当0a =时， 1 0000 2 P ZP XYP Y=,故0z =是一个间断点. 当0a 时,1,1 0P ZaP XYaP YXaP YP Xa=， 故只有一个间断点0z =，故应选（B）. 法二法二：( )0,1, Z FzP XYzP YXYzP YXYz=+= 0,01,0 01 )P YzP YXzP YPzP YP Xz=+=+= 11 0( ) 22 Pzz=+. 若0z ，则 1 ( )( ) 2 Z Fzz=；若0z ，则 1 ( )1( ) 2 Z Fzz=+， ( ) Z F z在0z =处间断，在其它点都连续，应选（B）. 2.13 2.13 设连续型随机变量X的概率密度( ) cos ,0 2 0, xx f x else = ， 现对X独立地进 行三次观察，求至少有两次大于 6 的概率. 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 18 - 【解析解析】 令 2 1 cos)( 6 2 6 6 = + xdxdxxfXPp， 则至少有两次大于 6 的 概率为 223 3 1 (1) 2 C ppp+=. 2.12.14 4 设随机变量()7 , 1UX，则方程092 2 =+ Xxx有实根的概率为_. 【解析解析】092 2 =+ Xxx有实根的充要条件是3094)2( 2 =XX， 所求概率为 3 2 17 37 3= =XP. 2.12.15 5 设随机变量( )1 EY，a为常数且大于零，则_| 1=+aYaYP. 【解析解析】法一法一： 1 1 1, 1|1 a y a y a e dy P YaYa P YaYae P Ya e dy + + + += . 法二法二：由指数分布的无记忆性：|P Yst YsP Yt+=， 则 1 1|11|11 1P YaYaP YaYaP Ye+= += = . 2.12.16 6 设随机变量 () 2 ,XN ，0，记 2 pP X=+，则（ ） （A）p随着的增加而增加 （B）p随着的增加而增加 （C）p随着的增加而减少 （D）p随着的增加而减少 【答案答案】 （B） 【解析解析】 2 ( ) X pP XP =+= ， 随着的增加而增加， 故 应选(B). 2.12.17 7 设随机变量X服从( )E，令1 X Ye = ，求Y的概率密度. 【解析解析】法一法一： （分布函数法分布函数法）由0X 知01Y，于是 ( )11 XX Y F yP YyPeyP ey = ， 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 19 - 由于( )XE，其概率密度为 ,0 ( ) 0,0 x X ex fx x = ，于是 当0y 时，( )0 Y Fy =；当1y 时，( )1 Y Fy =； 当01y时， 11 ( )ln(1)ln(1) YX FyP XyFy = =，于是 1 ln(1) 111 ( )ln(1)1 (1)(1) y YX fyfye yy = ， 故 1,01 ( ) 0, Y y fy = 其它 . 法法二二：（公式法公式法）1 x ye = 的反函数为 1 ( )ln(1)xh yy = ，当0 x 时， 01y， 1 ln(1) 1 ( ) ( )( )1 (1) y YX fyfh yh ye y = ，所以Y的概率 密度为 ( )( ) ,011,01 ( ) 0,0, X Y fh yh yyy fy = 其它其它 . 2.12.18 8 设随机变量X的概率密度为( ) = 其他, 0 10 ,3 2 xx xf，对X进行独立重复的观 测， 直到第 2 个小于 2 1 的观察值出现时停止， 记Y表示观测次数. 求Y的概率分布. 【解析解析】记 1 2 2 0 11 3 28 pP Xx dx= ，则Y的分布律为： 2 12 1 (1)7 (1)(2,3,) 8 k k k k k P YkCpppk = =. 2 2.1.19 9 设随机变量X服从正态分布 () 2 ,N ，0，则随着的增大，概率 1PX（ ） （A）增大 （B）减小 （C）保持不变 （D）增减不定 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 20 - 【答案答案】 （B） 【解析解析】 11 12 () 1 X P XP = ，随的增大而减小，故 应选(B). 2.2.2020 设随机变量的概率分布为，求常数和 的概率分布. 【解析解析】由 11 1 32 k kk cc P Xk = = 得2c =. 易得Y的取值范围为 0,-1,1， 2 11 21 02 34 n nn P YP Xn = = ； 41 00 227 141 340 m mm P YP Xm + = =+= ； 3 1101 40 P YP YP Y= = =， 于是Y的分布律为 Y -1 0 1 P 3 40 1 4 27 40 2.2.2121 设随机变量