1.3两条直线的位置关系 (2).ppt

2.1.3两条直线的位置关系,【课标要求】新课程标准:能根据斜率判定两条直线平行或垂直.教学目标:1.掌握两条直线平行与垂直的条件,并运用条件判断两直线是否平行或垂直(重点),2.根据两条直线平行与垂直的条件,求参数的值(难点)3.会求过一点且与已知直线平行或垂直的直线方程(重点)4.通过代数方法判断两直线平行与垂直培养了数学运算的核心素养,【思维脉图】,【自主预习】两直线平行、垂直与斜率的关系两条不重合直线l1与l2的倾斜角分别为1,2,当斜率存在时,设直线方程为l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(b1b2),则,k1=k2,0,【思维辨析】(对的打“”,错误的打“”)(1)两条不重合的直线斜率相等,则它们互相平行.()(2)两条直线互相平行,则它们斜率相等.()(3)两条直线斜率乘积为-1,则它们互相垂直.()(4)两条直线互相垂直,则它们斜率乘积为-1.(),【提示】(1).(2).两条直线互相平行,它们斜率可能相等,也可能都不存在.(3).(4).两条直线互相垂直,它们斜率可能乘积为-1,也可能一条斜率为0,一条不存在斜率.,【自主总结】(1)l1l2k1=k2须具备的前提条件:两条直线的斜率都存在;两条直线不重合,即b1b2.,(2)两直线平行的判定:当不重合的两条直线的斜率都不存在时,由于它们的倾斜角都是90,故它们也互相平行;两条不重合的直线平行的判定的一般结论:l1l2k1=k2或l1与l2的斜率均不存在.,(3)注意直线垂直的特殊情形当运用斜率互为负倒数判定两条直线垂直时,会遗漏斜率为0和斜率不存在的情形,解题时不要漏解.,【自主检测】1.已知直线l1的倾斜角为45,直线l2过点A(1,2),B(-5,-4),则l1与l2的位置关系是()A.平行B.既不平行也不垂直C.垂直D.平行或重合,【解析】选D.因为所以所以l1与l2平行或重合.,2.设直线l1:x-y+6=0和直线l2:2x-2y+3=0,则直线l1与直线l2的位置关系为()A.平行B.重合C.垂直D.以上都不是,【解析】选A.由已知,l1与l2斜率都等于1,且不是同一条直线,所以位置关系是平行.,3.已知直线l1经过两点(-2,3),(-2,-1),直线l2经过两点(2,1),(a,-5),且l1l2,则a=()A.-2B.2C.4D.3,【解析】选B.由题意知直线l1的倾斜角为90,而l1l2,所以直线l2的倾斜角也为90,又直线l2经过两点(2,1),(a,-5),所以a=2.,4.若直线l1:x+y-2=0与l2:(a-3)x+y+2=0互相平行,则实数a的值是_.【解析】直线l1可化为:y=-x+2,直线l2可化为:y=(3-a)x-2.由l1l2得3-a=-1,解得a=4.答案:4,类型一两直线平行的判定及应用【典例】1.已知直线x+2ay-1=0与直线(a-2)x-ay+2=0平行,则a的值是()A.B.或0C.-D.-或02.若直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行,则a=_.,3.判断下列各对直线是否平行,并说明理由:(1)l1:y=2x+3,l2:2x-y+5=0.(2)l1:y=2x+1,l2:x-2y=0.(3)l1:x=3,l2:x=10.(4)l1:y=2x+1,l2:2x-y+1=0.,【思路导引】求出直线斜率,判定斜率关系:_或乘积为-1,得出结论.,相等,【解析】1.选A.因为直线x+2ay-1=0与直线(a-2)x-ay+2=0平行,所以1(-a)=2a(a-2),解得a=或a=0,经验证当a=0时两直线重合,应舍去.所以a=.2.因为l1l2,所以a2-2=-1,且2a2,解得a=-1,所以a=-1时两直线平行.答案:-1,3.(1)设两直线的斜率分别是k1,k2,在y轴上的截距分别是b1,b2,则k1=k2=2,b1=3,b2=5,b1b2,所以l1l2.(2)设两直线的斜率分别是k1,k2,则k1=2,k2=,k1k2,所以两直线不平行.,(3)由两直线方程可知,l1y轴,l2y轴,且两直线在x轴上截距不相等,所以l1l2.(4)设两直线的斜率分别是k1,k2,在y轴上的截距分别是b1,b2,则k1=k2=2,b1=b2=1,所以l1与l2重合.,【解题流程】判断两条不同直线是否平行的思路,【方法技巧】平行直线的求法技巧(1)求与直线y=kx+b平行的直线方程时,根据两直线平行的条件可巧设为y=kx+m(mb),然后通过待定系数法,求参数m的值.,(2)求与直线Ax+By+C=0平行的直线方程时,可设方程为Ax+By+m=0(mC),代入已知条件求出m即可.,【拓展延伸】通过一般式方程判断两直线平行直线l1:A1x+B1y+C1=0.直线l2:A2x+B2y+C2=0.(1)当B10,B20时,当l1l2时,且(否则,两直线重合),即A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C10.,(2)当B1=0,B2=0时,因为l1l2,所以即A1C2-A2C10.综上所述:l1l2A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C10(或A1C2-A2C10).提醒:已知两条直线平行,求字母的值时要注意考虑两直线是否重合.,【变式训练】(2018杭州高一检测)已知直线l1:(3+m)x+4y=5-3m与l2:2x+(5+m)y=8,若l1l2,则m的值为()A.-1B.-6C.-7D.-1或-7【解析】选C.l1l2等价于得m=-7.,类型二两条直线垂直的判定与应用【典例】(2018云南师大附中高一检测)已知直线l1的倾斜角为60,直线l2经过P(-2,),Q(m,0)两点,且直线l2与l1垂直,则实数m的值为()世纪金榜导学号13136057A.1B.-1C.5D.-5,【思路导引】已知l1的倾斜角,可求出l1的_,已知l2过两点,可求出l2的_,又两直线垂直,斜率_,列出方程求解.,斜率,斜率,乘积为-1,【解析】选A.因为所以m=1.,【方法技巧】1.判断两直线垂直的方法(1)若所给的直线方程都是一般式方程,则运用条件:l1l2A1A2+B1B2=0判断.(2)若所给的直线方程都是斜截式方程,则运用条件:l1l2k1k2=-1判断.,(3)若所给的直线方程不是以上两种情形,则把直线方程化为一般式再判断.,2.垂直直线的求法技巧(1)求与直线y=kx+b(k0)垂直的直线方程时,根据两直线垂直的条件可巧设为然后通过待定系数法,求参数m的值.(2)求与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)垂直的直线时,可巧设为Bx-Ay+m=0,然后用待定系数法求出m.,【变式训练】(2018哈尔滨高一检测)已知直线l1:(k-3)x+(3-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0垂直,则k的值是()A.2或3B.3C.2D.2或-3,【解析】选C.若k-3=0即k=3,l1方程为1=0,不符合题意,若k-30,则由已知,所以k=2.,【补偿训练】如图,在平行四边形OABC中,点A(3,0),点C(1,3).(1)求AB所在直线的方程.(2)过点C作CDAB于点D,求CD所在直线的方程.,【解题指南】已知四边形OABC是平行四边形,可以利用平行四边形的有关性质求AB的斜率,利用两条直线垂直的条件求CD的斜率,进而求相应直线的方程.,【解析】(1)因为点O(0,0),点C(1,3),所以OC所在直线的斜率为在平行四边形OABC中,ABOC,所以kAB=kOC=3,又点A(3,0),所以AB所在直线的方程为y=3(x-3),即3x-y-9=0.,(2)在平行四边形OABC中,ABOC,因为CDAB,所以CDOC.所以CD所在直线的斜率为所以CD所在直线的方程为即x+3y-10=0.,类型三两条直线平行与垂直的综合应用【典例】已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D的坐标.世纪金榜导学号13136058,平行,垂直,【解析】设第四个顶点D的坐标为(x,y),因为ADCD,ADBC,所以kADkCD=-1,且kAD=kBC.所以解得所以第四个顶点D的坐标为(2,3).,【解题流程】利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤,【方法技巧】判定几何图形形状的注意点(1)在顶点确定的前提下,判定几何图形的形状时,要先画图,猜测其形状,以明确证明的目标.(2)求出各边所在直线的方程,判断边所在直线的平行或垂直关系.,(3)确定几何图形的形状.由于只能根据边所在直线的平行或垂直关系进行判断,所以只能判定直角三角形、梯形、平行四边形、直角梯形、矩形等特殊几何图形的形状.,【素养专练】1.(同类练)若在本例中假设点D的坐标为(3,2),求点C的坐标.,【解析】设点C的坐标为(x,y),因为ADCD,ADBC,所以kADkCD=-1,且kAD=kBC.所以即解得故点C,2.(变式练)已知ABC三边的方程为:AB:3x-2y+6=0,AC:2x+3y-22=0,BC:3x+4y-m=0,判断三角形的形状.,【解析】直线AB的斜率为直线AC的斜率为所以kABkAC=-1,直线AB与AC互相垂直,因此ABC为直角三角形.,3.(拓展练)已知直线l1:x+3y-7=0,l2:y=kx+b与x轴、y轴正半轴所围成的四边形有外接圆,则k=_,b的取值范围是_.世纪金榜导学号13136059,【解析】由题意知l1l2,所以k=3,直线l1与坐标轴交于点A和B(7,0),所以直线l2与线段AB(不含端点)相交,画图易得b的取值范围是答案:3,【补偿训练】如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t0.试判断四边形OPQR的形状.,【解析】由斜率公式得所以kOP=kQR,kOR=kPQ,从而OPQR,ORPQ.所以四边形OPQR为平行四边形.又kOPkOR=-1,所以OPOR,故四边形OPQR为矩形.,【延伸探究】1.将本题中的四个点改为A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),顺次连接A,B,C,D四点,试判断四边形ABCD的形状.,【解析】由题意A,B,C,D四点在平面直角坐标系内的位置如图,由斜率公式可得,所以kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合,所以ABCD,由kADkBC,所以AD与BC不平行.,又因为所以ABAD,故四边形ABCD为直角梯形.,2.将本题改为“已知矩形OPQR中按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),试求顶点R的坐标.,【解析】因为OPQR为矩形,所以OQ的中点也是PR的中点,设R(x,y),则由中点坐标公式知解得所以R点的坐标是(-2t,2).,【核心素养培优区】规范答题案例利用平行或垂直判定参数值【典例】(12分)已知直线l1经过A(3,m),B(m-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,m+2).(1)若l1l2,求m的值.(2)若l1l2,求m的值.,【审题流程】,【规范解答】由题知直线l2的斜率存在且2分(1