20橙啦数学强化测试1解析1

2020 橙啦考橙啦考研数学研数学强化强化测试（测试（一一）解析解析 本试卷满分 150 分，考试时间 180 分钟，命题人：边一 （答案未必是最优解法，以直播讲授为准） 一一、选择题选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸 指定位置上. 1. 【答案】 （C） 【解析】所有的间断点1,0,1xxx ， 因为 ln 111 ln 000 ln 111 1ln 1 limlimlim (1)ln(1)ln(1)ln 1ln 1 limlimlim1 (1)lnlnln 1ln 111 limlimlim (1)ln2lnln2 x xx xxx x xx xxx x xx xxx xxx e x xxxxxx xxx e x xxxxxx xxx e x xxxx 所以有两个可去间断点. 2、 【答案】 （D） 【解析】 方法 1：如果对曲线在区间,ba上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断如果对 区间上任意两点 21 xx ,及常数10 ，恒有 )()()1 ()1 ( 2121 xfxfxxf，则曲线是凹的 显然此题中xxx ,10 21 ，则 )()()( 21 1xfxf )()()(xgxfxf 110，而 )()(xfxxf 21 1 ， 故当0)( x f时，曲线是凹的，即 )()()1 ()1 ( 2121 xfxfxxf ，也就是 )()(xgxf，应该选（D） 方法 2：如果对曲线在区间 1 , 0上凹凸的定义不熟悉的话，可令 xfxfxfxgxfxF)()()()()()(110 ，则010 )()(FF，且 )()(xfxF ，故当0)( x f时，曲线是凹的，从而0) 1 ()0()(FFxF，即 0)()()(xgxfxF，也就是)()(xgxf，应该选（D） 3、 【答案】D 【解析】 ( , )( , ) 0,0,( , ) f x yf x y f x y xy 是关于x的单调递增函数，是关于y的单调 递减函数， 所以有(0,1)(1,1)(1,0)fff，故答案选 D. 4（数一、三做（数一、三做） 、 【答案】 （B） 【解析】可以通过举反例及级数的性质来说明 4 个命题的正确性. 是错误的，如令 n n u) 1(，lim0 n n u ，所以 1n n u发散，而 212 1 ()1 11 1 nn n uu 收敛. 是正确的，因为级数 1 1000 n n u比级数 1n n u少了前 1000 项，改变、增加或减少级 数的有限项，不改变级数的敛散性，所以这两个级数同敛散. 是正确的，因为由1lim 1 n n nu u ，从而有 1 lim1 n n n u u ，于是正项级数 1 n n u 在项数 充分大之后，通项严格单调增加，故lim0 n n u ，从而lim0 n n u ，所以 1n n u发散. 是错误的，如令 n v n u nn 1 , 1 ，显然， 1n n u， 1n n v都发散， 而 1 1111 () nn n uv nnnn 收敛. 故选(B). 4（数二做（数二做） 、 【答案】 （A） 【解析】 在相同的积分区域上比较被积函数的大小， 利用二重积分性质可比较二重积分大小。 在区域1),( 22 yxyxD上，除原点 22 0 xy及边界 22 1xy外，有 22 xy 22 yx 22 2 ()xy 而在01u内，cosu是严格单调减函数，于是 22 cosxy 22 cos()xy 222 )cos(yx 因此 dyx D 22 cos dyx D )cos( 22 dyx D 222 )cos(，故应选(A). 5、 【答案】A 【解析】 选项 A,由()0 T E得()0 T Ex有非零解， 故0 T E。 即 T E不可逆。选项 B,由()1 T r得 T 的特征值为 n-1 个 0，1.故 T E的特 征值为 n-1 个 1，2.故可逆。其它选项类似理解。 6、 【答案【答案】 ： （D） 【解析【解析】 ：Axb有无穷多个解( )( )( )r Ar Bnr An0Ax 有非零解. 故选 项（D）是正确的. 当0Ax 的充要条件是 r An，此时不一定有 ,r Ar A b，也即线性方程组不一定 有 解 . 如 令 100 010 001 000 A ， 0 0 0 1 b ， 则 3r A ， 故0Ax 仅 有 零 解 ； 而 ,4r A br A，故Axb无解.故选项（A）错误. 与此类似地，0Ax 有非零解的充要条件是 r An，此时也不一定有 ,r Ar A b， 也即线性方程组不一定有解（反例请考生自行举出）.故选项（B）错误. 7（数一、三做）（数一、三做）.【答案【答案】 ： （B） 【解析【解析】 ：正态分布的概率密度函数为： 2 2 2 1 2 x f xe ， f x的驻点在x处， 且 1 2 f ，故1， 2 1 2 ，选（B）. 7（数（数二二做）做）.【答案【答案】 ： （D） 【解析【解析】 ： 00 ( )( ) s s t If tx dtxtxuf u du 8（数一、三做（数一、三做） 【答案【答案】 ： （A） 【解析【解析】 ：若X服从参数为的泊松分布，则期望EX，方差DX. 则 22 123232EXXE XXE XE X ，其中 2 22 E XD XE X ，代入得： 2 210 ，故1. 8（数（数二二做做） 【答案【答案】 ： （B） 【解析【解析】 ：由题设知1, 1,1r 为所求齐次线性微分方程对应特征方程的 3 个根，而 232 (1) (1)1rrrrr ，故应选（B） 二二、填空题填空题：914 小题，每题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸答题纸 指定位置上. 9、 【答案【答案】 ：0 【解析【解析】 ：方法一：方法一： cos2cos4 ( )sin sin3 sin5sin5 2 xx f xxxxx 11 cos2 sin5cos4 sin5sin3sin7sinsin9 24 xxxxxxxx 则 (4)(0) f 444 0 1 3 sin37 sin7sin9 sin90 4 x xxxx 方法二：方法二：利用奇偶性，( )f x为奇函数，所以 ( ) fx为偶函数， ( ) fx为奇函数， ( ) fx为 偶函数， (4)( ) fx为奇函数，则 (4)(0) 0f 10、 【答案【答案】 ： 【解析【解析】 ： dx x xx x x x xddx x xcossin2sin1 sin sin 2 2 2 2 dt t t xd x xsin )2( 2 2sin 11、 【答案【答案】 ： 2 4 2 e e 【解析【解析】 ：以课堂讲授为准！以课堂讲授为准！ 12、 【答案【答案】 ： 2 31xx 【解析【解析】 ：yyx 2 12 2 1是一阶齐次微分方程( )yp x y 0的解，代入得 ( )() x p xx x 2 2 22 10 1 ， 所以( ) x p x x 2 1 ， 根据解的性质得，y y 12 2 是 ( )( )yp x yf x 的解,所以有( )()q xxx 2 31. 1 13 3、 【答案【答案】 ： 222 123 yyy 【解析【解析】 ： 矩阵AB与合同， 说明二次型 TT x Axx Bx与有相同的正、 负惯性指数.由矩阵B的 特征多项式 2 10 |10(2)(1) 002 EB ， 得到矩阵B的特征值为1,2，-1.于是二次型 T x Bx的正惯性指数2p ，负惯性指数 1q .从而二次型 T x Ax的规范形应当是 222 123 yyy. 14（数一、三做（数一、三做） 、 【答案【答案】 ：5 【解析【解析】 ： 3 11 cos 3222 x P Xdx ， 由题意知Y服从二项分布 1 4, 2 B ，则 111 42,41 222 E YD Y， 则 2 2 ( )5E YD YE Y . 14（数二做（数二做） 、 【答案】2 【分析】无穷小量乘以有界函数的极限仍是无穷小量. 【详解】是参变量，x是函数( )f x的自变量 1 000 1 cos ( )(0)1 (0)limlimlimcos0 0 xxx x f xf x fx xxx ， 要使该式成立，必须 1 0 lim0 x x ，即1. 当(,0)(0,)x 时， 12 11 ( )cossinfxxx xx 要使( )0fx在0 x 处连续，由函数连续的定义应有 12 00 11 lim( )limcossin( )0 xx fxxxfx xx 由该式得出2. 所以( )fx在0 x 处右连续的充要条件是2 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸答题纸 指定位置上.解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤. 15（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 【解析【解析】 ：令 2 xtu ，dtdu ，令xtu， 1 dtdu x .于是有 22 2 00 1 0033 00 ()( ) limlim ()( ) xx x xx f xt dtf u du xf xt dtxf u du 22 002 00 2()2 () limlim 2( )( )2( )( ) xx xx xf xf x xf u dux f xf u duxf x 22 00 4()4() limlim ( )(0) 3 ( )( ) 3( ) xx xfxfx f xf f xxfx fx x 4(0) 1 3(0)(0) f ff 16（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 【答案】极小值(0, 1)1f 【解析】由题意可知： 2 ( , )(2) x x fx yyyc e ，可知( ,0)(1) xx x fxcexe ，所以 +1cx，代入可知 2 ( , )(21) x x fx yyyxe ，解得 2 1 ( , )(1) xxx f x yyexeeC. 因 为 2 (0, )2fyyy可 知 1 0C ， 故 2 ( , )(1) xxx f x yyexee.则 2 ( , )(2 )0 ( , )(22)0 xxx x x y fx yyy eexe fx yye 解得 0 1 x y (0, 1)1,(0, 1)0,(0, 1)2 xxxyyy AfBfAf，由于 2 0,0,ACBA所以 取得极小值(0, 1)1f 17（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 【解析】 （1）令( )( ),(0)(0)0,(1)(1) 10,F xf xx FfFf 则0,1 使得( )0,( )1Ff即 （2）令( )( ) 1), x G xefx则( )0,G 又由于( )f x为奇函数，故( )fx为偶函数，可知()0G, 则,1,1 使( )0,G 即( ) 1( )0efe f ，即( )( )1ff 18（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 【解析】如右图所示,区域D的极坐标表示为 x y O D 3 02(sincos ), 44 r . 3 2(sincos ) 4 0 4 2(sincos ) 3 3 4 0 4 3 3 4 4 3 3 4 4 3 4 4 4 ()( cossin ) 1 (cossin ) 3 8 (cossin )(sincos ) 3 8 (sincos )(sincos ) 3 818 (sincos ). 343 D r r xy dxdydrrrdr rd d d 19（数一、三做，数一、三做，本小题满分本小题满分 10 分）分） 【答案】 1 ( )ln(1), 1,1) x n n fxex x 【解析】由已知条件可见 1 ( )( ) nx nn fxfxxe ，这是以( ) n fx为未知函数的一阶线性非 齐次微分方程，其中 1 ( )1, ( ) nx p xq xxe ，代入通解公式 ( )( ) ( )( ) p x dxp x dx f xeq x edxC 得其通解为 1 ( ), n dxdx nxx n x fxexe edxCeC n 由条件(1), n e f n 又 1 (1) n feC n ，得0C ， 故( ), nx n x e fx n 111 ( ) nxn x n nnn x ex fxe nn 记 1 ( ), n n x S x n 则 1 n a n ， 1 1 1 limlim1 1 n nn n a n a n ， 则其收敛半径为 1 1R ， 收敛区间为( 1,1). 当( 1,1)x 时，根据幂级数的性质，可以逐项求导， 1 111 1 ( ) 1 nn n nnn xx S xx nnx ， 其中 2 1 1 1 n xxx x 故根据函数积分和求导的关系( )( )f x dxf xC ，得 0 0 ( )( )( )(0) x x S x dxS xS xS 又由于 2 1 000 (0)0 12 n n S n ，所以 00 1 ( )(0)( )0ln(1) 1 xx S xSS x dxdxx x ， 即有 1 ln(1),( 1,1) n n x x x n 当1x 时， 1 ( 1) ln2 n n n . 级数在此点处收敛，而右边函数连续，因此成立的 范围可扩大到1x 处，即 1 ln(1), 1,1) n n x x x n 于是 1 ( )ln(1), 1,1) x n n fxex x 19（数二做，数二做，本小题满分本小题满分 10 分）分） 【答案】 3 2 2 11 (tan1(1)1) 23 xxxx e arceeeC 【解析】 2 22 2 2 2 3 2 2 1 arctan1 2 11 (arctan1) 211 21 1 (arctan1) 2 21 1 =(arctan1) 2 21 11 =(arctan111) 23 xx x xxx x x x xx x x xxx x xxxx ede e eeedx e e e eedx e e eede e eeeeC 原式 20（本（本小小题满分题满分 11 分）分） 【证明【证明】 ：由 112233 ,2,3AAA，且 123 , 非零可知， 123 ,A 是的 不同特征值的特征向量.故 123 , 线性无关.又 2 123123 23,49AA， 若 2 123 0kk Ak A，即 112321233123 ()(23)(49)0kkk， 则 123112321233 ()(24)(39)0kkkkkkkkk 从 123 , 线性无关，得齐次线性方程组 123 123 123 0 240 390 kkk kkk kkk 因为系数行列式不为0，所以必有 123 0kkk，即 2 ,AA线性无关. 21（本（本小小题满分题满分 11 分）分） 【答案】 （I）略； （II）通解为 11 21 , 11 kkR 【解析】 （I）证明：由 312 2可得 123 20，即 123 , 线性相关， 因此， 123 0A ，即 A 的特征值必有 0。 又因为 A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有 1 个 0，另外两个非 0. 且由于 A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为 1 212 ,0 0 ( )( )2r Ar （II）由（1）( )2r A ，知3( )1r A，即0Ax 的基础解系只有 1 个解向量， 由 123 20可得 123 11 ,220 11 A ，则0Ax 的基础解系为 1 2 1 ， 又 123 ，即 123 11 ,11 11 A ，则Ax的一个特解为 1 1 1 ， 综上，Ax的通解为 11 21 , 11 kkR 22（数一、三做，数一、三做，本本小小题满分题满分 11 分）分） 【答案【答案】 （1） XY01 0 2 9 1 9 1 1 9 5 9 （2） 4 9 . 【解析】 （1） cov(, )1 2 XY X Y DXDY 得cov(, )X Y=EXEYXYE= 2 1 9 2 ，从而可知 EXY= 5 9 得（X,Y）的分布为 XY01 0 2 9 1 9 1 1 9 5 9 （2）1P XY=0,01,00,1P XYP XYP XY 4 9 22（数二做，数二做，本本小小题满分题满分 11 分）分） 【答案】当13q时，( )0S q；3q 时，( )0S q. 故根据极值判定的第一充分条 件知，3q 时，( )S q取唯一极大值，即最大值.从而最大值为 225 (3). 32 SS 【解析】方法方法1 1：依题意知，抛物线如图所示， 令 2 ()0ypxqxx pxq，求得它与x轴交点的横坐标为： 12 0,. q xx p 根据定积分的定义，面积S为 3 232 2 0 326 0 q p q pqq pSpxqx dxxx p (注： 1 1 1 nn x dxxC n ) 因直线5xy与抛物线 2 ypxqx相切，故它们有唯一公共点. 由方程组 2 5xy ypxqx 求其公共解，消去y，得 2 (1)50pxqx，因为其公共解唯一，则该一元二次方 程只有唯一解，故其判别式必为零，即 22 (1)4( 5)(1)200,qpqp 解得 2 1 (1) . 20 pq 将p代入S中，得 ( )S q 3 2 6 q p 3 2 2 1 6(1) 20 q q 3 4 200 . 3(1) q q 根据函数除法的求导公式， ( )S q 3443 4 2 (200)3(1) 3(1) (200) 3(1) qqqq q 2 5 200(3) 3(1) qq q 根据驻点的定义，令( )0S q，已知有0q ，得唯一驻点3q . 当13q时，( )0S q；3q 时，( )0S q. 故根据极值判定的第一充分条 件知，3q 时，( )S q取唯一极大值，即最大值. 从而最大值为 225 (3). 32 SS 方法方法2 2：设抛物线 2 ypxqx与直线5xy相切的切点坐标为 00 (,)x y，切点既在抛物 线上，也在直线上，于是满足方程有 2 000 ypxqx和 00 5xy. 抛物线与直线在切点处的切线斜率是相等的， 即一阶导数值相等. 在 2 ypxqx 左右两边关于x求导，得2ypxq ，在5xy左右两边关于x求导，得1y， 把切点坐标 00 (,)x y代入，得 0 0 21 x x ypxq 0 1 2 q x p 由 00 5xy 00 5yx，将两结果代入 2 000 ypxqx得 22 0000 111 55()()() 222 qqq yxpxqxpq ppp 整理得 2 1 (1) . 20 pq 将p代入S中，得 3 4 200 ( ). 3(1) q S q q 根据函数除法的求导公式， ( )S q 3443 4 2 (200)3(1) 3(1) (200) 3(1) qqqq q 2 5 200(3) 3(1) qq q 根据驻点(即使得一阶导数为零的点)的定义，令( )0S q，已知有0q ，得唯一 驻点3q .当13q时，( )0;S q3q 时，( )0;S q故根据极值判定的第一充 分条件知，3q 时，( )S q取唯一极大值，即最大值. 从而最大值为 225 (3). 32 SS 23（数一、三做，数一、三做，本本小小题满分