第2章 控制系统的数学模型

网学天地（网学天地（www.e-）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！ 自控学霸教程，助你成就学霸考霸！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！ 10 第二章 控制系统的数学模型 习题及答案 2-1 试建立图2-27所示各系统的微分方程。其中外力)(tF，位移)(tx和电压)(tur为 输入量；位移)(ty和电压)(tuc为输出量；k（弹性系数），f（阻尼系数），R（电阻） ，C（电容）和m（质量）均为常数。 解 （a）以平衡状态为基点，对质块m进行受力分析（不再考虑 重力影响），如图解2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出 2 2 )()( dt yd m dt dy ftkytF= 整理得 )( 1 )( )()( 2 2 tF m ty m k dt tdy m f dt tyd =+ （b）如图解2-1(b)所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有 )()( 1 11 dt dy dt dx fxxk= （1） 对B点有 yk dt dy dt dx f 2 1 )(= （2） 联立式（1）、（2）可得： dt dx kk k y kkf kk dt dy 21 1 21 21 )(+ = + + 网学天地（网学天地（www.e-）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！ 自控学霸教程，助你成就学霸考霸！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！ 11 (c) 应用复数阻抗概念可写出 )()( 1 1 )( 1 1 sUsI cs R cs R sU cr + + = （3） 2 )( )( R sUc sI= （4） 联立式（3）、（4），可解得： CsRRRR CsRR sU sU r c 2121 12 )1 ( )( )( + + = 微分方程为: r r c c u CRdt du u RCR RR dt du 121 21 1 += + + (d) 由图解2-1（d）可写出 CssIsIsIRsU cRRr 1 )()()()(+= （5） )()( 1 )(sRIsRI Cs sI cRc = （6） CssIsIRsIsU cRcc 1 )()()()(+= （7） 联立式（5）、（6）、（7），消去中间变量)(sIC和)(sIR， 可得： 222 222 ( )21 ( )31 c r UsR C sRCs UsR C sRCs + = + 微分方程为 r rr c cc u RCdt du CRdt du u RCdt du CRdt du 222 2 222 2 1213 +=+ 2-2 试证明图2-28中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式 的数学模型）。 解 (a) 取A、B两点分别进行受力分析，如图 解2-2(a)所示。对A点有 网学天地（网学天地（www.e-）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！ 自控学霸教程，助你成就学霸考霸！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！ 12 )()()( 1122 yyfyxfyxk?=+ (1) 对B点有 1111 )(ykyyf= ? ? (2) 对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量 1 y，整理后得 )( )( sX sY = 2 1212 1212 2 12122 12121 ()1 ()1 f fff ss k kkk f ffff ss k kkkk + + (b) 由图可写出 sC R sUc 2 2 1 )( + = sC R sC R sC R sUr 1 1 1 1 1 2 1 1 1 )( + + 整理得 )( )( sU sU r c = 1)( 1)( 212211 2 2121 2211 2 2121 + + sCRCRCRsCCRR sCRCRsCCRR 比较两系统的传递函数，如果设 11221122 1,1,Rk Rk Cf Cf=则两系统的传递函数 相同，所以两系统是相似的。 2-3 假设某容器的液位高度h与液体流入量 r Q满足方程 r Q S h Sdt dh1 =+ ， 式中S为液位容器的横截面积，为常数。若h与 r Q在其工作点),( 00 hQr附近做微量变 化，试导出h关于 r Q的线性化方程。 解 将h在 0 h处展开为泰勒级数并取一次近似 h h hh dt hd hh h +=+= 0 00 2 1 | 0 （1） 代入原方程可得 )( 1 ) 2 1 ( )( 0 0 0 0 rr QQ S h h h Sdt hhd +=+ + （2） 在平衡工作点处系统满足 网学天地（网学天地（www.e-）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！ 自控学霸教程，助你成就学霸考霸！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！ 13 00 0 r Qh dt dh =+ （3） 式（2），（3）相减可得h的线性化方程 r Qh hdt hd S=+ 0 2 2-4 试求图2-29所示各信号)(tx的象函数)(sX。 解 （a）)(2)( 0 tttx+= )(sX= st e ss 0 2 12 + （b）)()()()( 321 ttcttcbttabatx+= )(sX= )()( 1 321 ststst ceecbeaba s + （c）)(tx= )( 4 ) 2 ( 4 ) 2 ( 44 2222 Tt T T t T T t T t T + )21 ( 4 )( 2 22 Ts s T ee sT sX += 2-5 求下列各拉氏变换式的原函数。 (1) 1 )( = s e sX s (2) ) 3()2( 1 )( 3 + = sss sX (3) )22( 1 )( 2 + + = sss s sX 解 (1) 1 )( = t etx 网学天地（网学天地（www.e-）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！ 自控学霸教程，助你成就学霸考霸！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！ 14 (2) 原式 )3(3 1 24 1 )2(8 3 )2(4 1 )2(2 1 23 + + + + + + sssss x（t） 24 1 3 1 8 3 44 3222 2 + tttt eee t e t (3) 原式 1) 1( 1 2 1 1) 1( 1 2 1 2 1 22 2 1 2 1 222 + + + + = + ss s sss s s )(tx )cos(sin 2 1 2 1 tte t + 2-6 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 tt eetc += 2 21)(，试求系 统的传递函数和脉冲响应。 解 单位阶跃输入时，有 s sR 1 )(=，依题意 sss s sss sC 1 )2)(1( 23 1 1 2 21 )( + + = + + + = )2)(1( 23 )( )( )( + + = ss s sR sC sG tt ee ss LsGLtk = + + + = 211 4 2 4 1 1 )()( 2-7 已知系统传递函数 23 2 )( )( 2 + = sssR sC ，且初始条件为1)0(=c，0)0(=c?， 试求系统在输入)( 1)(ttr=作用下的输出)(tc。 解 系统的微分方程为 )(2)(2 )( 3 )( 2 2 trtc dt tdc dt tcd =+ （1） 考虑初始条件，对式（1）进行拉氏变换，得 s sCssCssCs 2 )(23)(3)( 2 =+ （2） 2 2 1 41 )23( 23 )( 2 2 + + + = + + = ssssss ss sC tt eetc 2 241)( += 2-8 求图2-30所示各有源网络的传递函数 )( )( sU sU r c 。 网学天地（网学天地（www.e-）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！ 自控学霸教程，助你成就学霸考霸！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！ 15 解 (a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出 1 2 )( )( R R sU sU r c = (b) 2 211 2211 1 1 1 1 2 2 )1)(1 ( 1 1 1 )( )( sCCR sCRsCR sC R sC R sC R sU sU r c + = + + = (c) )1 ( 1 1 )( )( 21 2 1 2 2 CsRR R R Cs R Cs R sU sU r c + = + = 2-9 某位置随动系统原理框图如图2-31所示，已知电位器最大工作角度 m Q330 0， 功率放大器放大系数为 3 k。 （1） 分别求出电位器的传递函数 0 k，第一级和第二级放大器的放大系数 1 k， 2 k； （2） 画出系统的结构图； （3） 求系统的闭环传递函数)()(sQsQ rc 。 网学天地（网学天地（www.e-）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！ 自控学霸教程，助你成就学霸考霸！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！ 16 解 (1) 电位器的传递函数 11 180 180 330 30 0 0 0 0 = = m Q E K 根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为 3 1010 1030 3 3 1 = =K， 2 1010 1020 3 3 2 = =K (2) 可画出系统结构如图解2-9所示： (3) ) 1(1 1 ) 1( )( )( 321032 3210 + + + + + = sTs KKKKK sT KKKK sTs KKKKK sQ sQ m m m tm m m r c 1 1 1 3210 322 3210 + + + = s KKKKK KKKK s KKKKK T m tm m m 2-10 飞机俯仰角控制系统结构图如图2-32所示，试求闭环传递函数)()(sQsQ rc 。 解 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数 68. 0)42. 018. 1 ()7 . 09 . 0( )6 . 0(7 . 0 )( )( 23 + + = sKsKs s sQ sQ r c 网学天地（网学天地（www.e-）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！ 自控学霸教程，助你成就学霸考霸！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！ 17 2-11 已知系统方程组如下： = = = = )()()( )()()()()( )()()()()( )()()()()()()( 34 3523 36122 87111 sXsGsC sGsGsCsXsX sXsGsXsGsX sCsGsGsGsRsGsX 试绘制系统结构图，并求闭环传递函数 )( )( sR sC 。 解 系统结构图如图解2-11所示。 利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为 8432174321543632 4321 1)( )( GGGGGGGGGGGGGGGG GGGG sR sC + = 2-12 试用结构图等效化简求图2-32所示各系统的传递函数 )( )( sR sC 。 网学天地（网学天地（www.e-）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！ 自控学霸教程，助你成就学霸考霸！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！ 18 解 （a） 所以： 4321324321 4321 1)( )( GGGGGGGGGG GGGG sR sC + = （b） 所以： HG GG sR sC 2 21 1)( )( = （c） 网学天地（网学天地（www.e-）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！ 自控学霸教程，助你成就学霸考霸！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！ 19 所以： 3213221 321 1)( )( GGGGGGG GGG sR sC + = （d） 所以： 2441321232121 41321 1)( )( HGGGGGGHGGHGG GGGGG sR sC + + = （e） 所以： 23212121 321 4 1)( )( HGGHGHGG GGG G sR sC + += 网学天地（网学天地（www.e-）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！ 自控学霸教程，助你成就学霸考霸！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！ 20 2-13 已知控制系统结构图如图2-34所示，求输入( )3 1( )r tt= 时系统的输出)(tc。 解 由图可得 ) 3)(1( 2 ) 1( 12 2 1 12 2 )( )( 2 2 + = + + + + = Ss s ss ss sR sC 又有 s sR 3 )(= 则 3 1 1 323 )3)(1( 2 )( + + + = + = ssssSs sC 即 tt ee sss Ltc 31 32 3 1 1 32 )( += + + + = 2-14 试绘制图2-36所示系统的信号流图。 解 2-15 试绘制图2-36所示信号流图对应的系统结构图。 网学天地（网学天地（www.e-）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！ 自控学霸教程，助你成就学霸考霸！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！ 21 解 2-16 试用梅逊增益公式求2-12题中各结构图对应的闭环传递函数。 解 （a）图中有1条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路 ， 211143211 1GGLGGGGP= ， 21321323432 )(1LLLLLGGLGGL+= 4321324321 432111 1)( )( GGGGGGGGGG GGGGP sR sC + = = （b）图中有2条前向通路，1个回路 ，HGLGPGP 21222111 11= 1 1L= HG GGPP sR sC 2 212211 1)( )( = + = （c）图中有1条前向通路，3个回路 ， 21113211 1GGLGGGP= ，)(1 3213213322 LLLGGGLGGL+= 3213221 32111 1)( )( GGGGGGG GGGP sR sC + = = （d）图中有2条前向通路，5个回路 网学天地（网学天地（www.e-）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！ 自控学霸教程，助你成就学霸考霸！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！ 22 ，11 241213211 =GGPGGGP ， 414321323221211 GGLGGGLHGGLHGGL= ，)(1 54321245 LLLLLHGL+= 2441321232121 413212211 1)( )( HGGGGGGHGGHGG GGGGGPP sR sC + + = + = （e）图中有2条前向通路，3个回路 ，= 24213211 1GPGGGP ，)(1 32123231221211 LLLHGGLHGLHGGL+= 23212121 321 4 11 2 211 1)( )( HGGHGHGG GGG G P P PP sR sC + += += + = 2-17 试用梅逊增益公式求图2-37中各系统的闭环传递函数。 解 （a）图中有1条前向通路，4个回路 1 143211 =，GGGGP 网学天地（网学天地（www.e-）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！ 自控学霸教程，助你成就学霸考霸！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！ 23 )(1 43212434 443213332121321 LLLLHGGL HGGGGLHGGGLHGGL += = ， ， 则有 243443213321132 432111 1)( )( HGGHGGGGHGGGHGG GGGGP sR sC + = = （b）图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路 ， 111243213211 111HGLGGPGGGP+= ， 3213213332111 HHHGGGLHGLHGL= ， 21321 )(1LLLLL+= 则有 33113213213311 11433212211 1 )1 ( )( )( HGHGHHHGGGHGHG HGGGGGGPP sR sC + + = + = （c）图中有4条前向通路，5个回路 ， 1242321211 GGPGPGGPGP= ， 2151242321211 GGLGGLGLGGLGL= ，)(11 43214321 LLLL+= 则有 + = 44332211 )( )(PPPP sR sC 2121 2121 21122211 122211 31 2 1GGGG GGGG GGGGGGGG GGGGGG + + = + + = （d）图中有2条前向通路，5个回路 ，11 2321211 =GPGGP ， 22135342132212121 HGHGLGLGGLHGGLHGL= ，)(1 54321 LLLLL+= 则有 + = 2211 )( )(PP sR sC 221332122112 321 1HGHGGGGHGGHG GGG + + = （e）图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路 网学天地（网学天地（www.e-）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！）整理提供，更多请见网学天地制作的自控学霸教程！ 自控学霸教程，助你成就学霸考霸！自控学霸教程，助你成就学霸考霸！ 24 ， 1234213211 11LGGPGGGP= ， 3232321211 HGLHGLHGGL= ， 21321 )(1LLLLL+= 则有 213213223121 121343212211 1 )1 ( )( )( HHGGGHGHGHGG HGGGGGGGPP sR sC + + = + = 2-18 已知系统的结构图如图2-38所示，图中)(sR为输入信号，)(sN为干扰信号，试 求传递函数 )( )( sR sC ， )( )( sN sC 。 解（a）令0)(=sN，求 )( )( sR sC 。图中有2条前向通路,3个回路，有1对互不接触回路。 ，HGLGGPGGP 2123121211 111+= ， 31321221 GGLGGLHGL= ， 31321 )(1LLLLL+= 则有 HGGGGGGGHG HGGGGGPP sR sC 32131212 231212211 1 )1 ( )( )( + + = + = 令0)(=sR，求 )(