高考理数　基本不等式及不等式的应用

7.3基本不等式及不等式的应用,高考理数(课标专用),A组统一命题课标卷题组考点不等式的综合应用(2015课标,12,5分,0.317)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,则a.令g(x)=,则g(x)=.当x时,g(x)0,g(x)为增函数,要满足题意,则x0=2,此时需满足g(2)0,g(x)为增函数,当x(0,1)时,g(x)0,g(x)为减函数,要满足题意,则x0=0,此时需满足g(-1)ag(0),得a0,4ab+2=4当且仅当4ab=时“=”成立,故当且仅当时,的最小值为4.,规律方法利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须一致.,3.(2014福建,13,5分)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(单位:元).,答案160,解析设底面的相邻两边长分别为xm,ym,总造价为T元,则V=xy1=4xy=4.T=420+(2x+2y)110=80+20(x+y)80+202=80+204=160(当且仅当x=y时取等号).故该容器的最低总造价是160元.,4.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.,答案30,解析本题考查基本不等式及其应用.设总费用为y万元,则y=6+4x=4240.当且仅当x=,即x=30时,等号成立.,考点二不等式的综合应用(2017天津,8,5分)已知函数f(x)=设aR,若关于x的不等式f(x)在R上恒成立,则a的取值范围是()A.B.C.-2,2D.答案A本题考查分段函数的应用及不等式恒成立问题.当x1时,关于x的不等式f(x)在R上恒成立等价于-x2+x-3+ax2-x+3在R上恒成立,即有-x2+x-3ax2-x+3在R上恒成立.由y=-x2+x-3图象的对称轴为x=,可得在x=处取得最大值-;由y=x2-x+3图象的对称轴为x=,可得在x=处取得最小值,则-a.,当x1时,关于x的不等式f(x)在R上恒成立等价于-+ax+在R上恒成立,即有-a+在R上恒成立,由于x1,所以-2=-2,当且仅当x=时取得最大值-2;因为x1,所以x+2=2,当且仅当x=2时取得最小值2,则-2a2.由可得-a2,故选A.,思路分析讨论当x1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得-x2+x-3ax2-x+3,再由二次函数的最值求法,可得a的取值范围;讨论当x1时,同样可得-a+,再利用基本不等式可得最值,从而可得a的取值范围,求交集即可得到所求范围.,考点一基本不等式1.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时,+-的最大值为()A.0B.1C.D.3,C组教师专用题组,答案B由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2,又x、y、z为正实数,=1.当且仅当x=2y时取等号,此时z=2y2.+-=+-=-+=-+1,当=1,即y=1时,上式有最大值1,故选B.,2.(2014上海,5,4分)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为.,答案2,解析x2+2y22=2xy=2,当且仅当x=y时取“=”,x2+2y2的最小值为2.,3.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b0,则当a=时,+取得最小值.,答案-2,解析a+b=2,+=+=+=+2=+1.当且仅当=且a0,tanB+tanC0,tanBtanC1,tanAtanBtanC=tanBtanC=,令tanBtanC-1=t,则t0,tanAtanBtanC=22(2+2)=8,当且仅当t=,即tanBtanC=2时,取“=”.tanAtanBtanC的最小值为8.,考点二不等式的综合应用1.(2013课标,11,5分,0.561)已知函数f(x)=若|f(x)|ax,则a的取值范围是()A.(-,0B.(-,1C.-2,1D.-2,0,答案D由题意作出y=|f(x)|的图象:由图象易知,当a0时,y=ax与y=ln(x+1)的图象在x0时必有交点,所以a0.当x0时,|f(x)|ax显然成立;当x0时,要使|f(x)|=x2-2xax恒成立,则ax-2恒成立,又x-2C.a0,a恒成立,所以对x(0,+),a,而对x(0,+),=,当且仅当x=时等号成立,a.,2.(2018河南洛阳一模,13)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为.,答案2,解析依题意知a0,b0,则+2=,当且仅当=,即b=2a时,“=”成立.因为+=,所以,即ab2,所以ab的最小值为2.,3.(2018河南中原名校3月联考,14)已知直线ax-2by=2(a0,b0)过圆x2+y2-4x+2y+1=0的圆心,则+的最小值为.,答案,解析圆x2+y2-4x+2y+1=0的圆心坐标为(2,-1).由于直线ax-2by=2(a0,b0)过圆x2+y2-4x+2y+1=0的圆心,故有a+b=1.+=(a+2+b+1)=5+2=,当且仅当a=2b=时,取等号,故+的最小值为.,4.(2017河南百校联盟模拟,15)已知正实数a,b满足a+b=4,则+的最小值为.,答案,解析a+b=4,a+1+b+3=8,+=(a+1)+(b+3)=(2+2)=,当且仅当a+1=b+3,即a=3,b=1时取等号,+的最小值为.,考点二不等式的综合应用1.(2018湖北孝感模拟,12)设f(x)满足f(-x)=-f(x),且在-1,1上是增函数,且f(-1)=-1,若函数f(x)t2-2at+1对所有的x-1,1,当a-1,1时都成立,则t的取值范围是()A.-tB.t2或t=0或t-2C.t2或t-或t=0D.-2t2,答案B由已知易得f(x)在-1,1上的最大值是1,故由题意可知t2-2at+11对a-1,1恒成立,即2at-t20对a-1,1恒成立.设g(a)=2at-t2(-1a1),欲满足题意,则t2或t=0或t-2.,2.(2018山西太原一模,12)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),且当x0时,f(x)=若对任意的xm,m+1,不等式f(1-x)f(x+m)恒成立,则实数m的最大值是()A.-1B.-C.-D.,答案C由f(-x)=f(x),可得f(x)为偶函数.当x0时,f(x)=可得0x0有解,则m的取值范围为()A.m-4B.m-5D.m0在区间(1,2)上有解,需满足f(1)0或f(2)0,即m+50或2m+80,解得m-5.故选C.,1.(2017广东清远一中一模,10)若正数a,b满足:+=1,则+的最小值为()A.16B.9C.6D.1,B组20162018年高考模拟综合题组(时间:15分钟分值:25分)一、选择题(每题5分,共10分),答案C正数a,b满足+=1,a+b=ab,=1-0,=1-0,b1,a1,则+2=2=6当且仅当a=,b=4时等号成立,+的最小值为6,故选C.,2.(2017江西赣州十四县联考,12)若存在x01,使不等式(x0+1)lnx01,使不等式(x0+1)lnx01,使不等式lnx0-1),则g(1)=0,g(x)=-=.当a2时,x2+2(1-a)x+10(x1),从而g(x)0,得g(x)在(1,+)上为增函数,故g(x)g(1)=0,不合题意;当a2时,令g(x)=0,得x1=a-1-,x2=a-1+,由x21和x1x2=1得01,使不等式(x0+1)lnx0,b0,是8a与2b的等比中项,则+的最小值是.,答案5+2,解析实数a0,b0,是8a与2b的等比中项,8a2b=2,23a+b=2,则3a+b=1.则+=(3a+b)=5+5+2=