专题07 方程根的存在性及个数

1 专题 七 方程根的存在性及个数 1.根的存在性： 方法 1：零点定理； 方法 2：罗尔定理； 2.根的个数： 方法 1：单调性； 方法 2：罗尔定理推论； 罗尔定理推论：若在区间I上0)( )( xf n ，则方程0)(=xf在I上最多n个实根。 【例 1】 试证方程0cos 2 =+xxx在) 1 , 0(内有且仅有一个实根. 【例 2】 证明方程 = 0 2cos1lndxx e x x在区间), 0( +内有且仅有两个 不同实根. 【解】 令dxx e x xxf += 0 2cos1ln)( ), 0( +x ex xf 11 )(=，令0)(= x f 得 ex =. 当), 0(ex时，0)( x f，)(xf单调增. 当),( + ex时，0)(=dxxef = + )(lim 0 xf x ，= + )(limxf x 则)(xf在), 0(e和),( +e内各有一个零点，故原方程有两个实根. 【例 3】已知函数dttdttxf x x += 2 1 1 2 11)(，求)(xf的零点个数. 【解】由dttdttxf x x += 2 1 1 2 11)(知 V研客，制胜考研 扫描右方二维码 关注微信公众号“V研客考研在线”即可领取免费大礼包 V研客官网： 2 222 1) 12(121)(xxxxxxf+=+= 令0)(= x f得， 2 1 =x 当) 2 1 ,(x是，, 0)( x f)(xf单调增，)(xf在该区间最多一个零点； 又 0121) 1( 1 0 2 1 1 2 +=+= dxxdttf dttdttf += 0 1 1 0 2 11)0( 0)11( 1 0 2 +=dxtt )1 , 0(,11( 2 +=x x x xf则 2 ln1 )( x x xf = 令, 0)(= x f得.ex=当ex单 调 增 ； 当xe时 ， )(, 0)(xfxf 无实根；(2) e a 1 = 唯一实根；(3) e a 1 0x 则 3 2 )( x kxf= （1） 若0k时，则0)(=x xx k， （分离参数） 令 )0( 11 )( 3 =x xx xf 4 2 42 331 )( x x xx xf =+= 令 0)(= x f得 3=x 当)3, 0(x时，0)( x f，)(xf单调增. V研客，制胜考研 扫描右方二维码 关注微信公众号“V研客考研在线”即可领取免费大礼包 V研客官网： 4 当), 3(+x时，0)(=x xx xf的图形如右图，则原方程有具仅有一个实根的几何意 义是直线ky =和曲线 3 11 )( xx xfy=有且仅有一个交点.由图可知3 9 2 =k，或 0k. 【例 7】 设)(xf在),+a上二阶可导，且. 0)(, 0)(afaf当ax 时，. 0)( x f证 明方程0)(=xf在),(+a有且仅有一个实根. 【证】 由0)( x f知)(x f 在),(+a上单调减，又0)( a f，则当),(+ ax时， 0)(使得, 0)(af， 由连续函数的零点定理知， 方程0)(=xf在 (+, a)内有根. 故0)(=xf在),(+a有且仅有一个实根. 【例 8】 设cba,为实数，求证方程cbacxbxax+=+234 23 在) 1 , 0(内至少有一个实 根. 【例 9】设函数)(xf可导，试证)(xf的两个零点之间必有)()(xfxf+的零点。 V研客，制胜考研 扫描右方二维码 关注微信公众号“V研客考研在线”即可领取免费大礼包 V研客官网： 5 【例 10】设函数)(xf在区间 1 , 0上具有 2 阶导数，且. 0 )( lim, 0) 1 ( 0 + x xf f x 证明： （）方程0)(=xf在区间) 1 , 0(内至少存在一个实根; （）方程0)()()( 2 =+ xfxfxf在区间) 1 , 0(内至少存在两个不同的实根. 思考题 1求证方程0cos=+xqp