几何图形的重心及面积的平分

几何图形的重心及面积的平分“凡是没有发自内心求知欲和兴趣的东西，是很容易从记忆中挥发掉的”。赞可夫这句话说明了发散思维能力的形成，需要以乐于求异的心理倾向作为一种重要的内驱力。教师妥善于选择具体题例，创设问题情境，精细地诱导学生的求异意识。对于学生在思维过程中时不时地出现的求异因素要及时予以肯定和热情表扬，使学生真切体验到自己求异成果的价值。对于学生欲寻异解而不能时，教师则要细心点拨，潜心诱导，帮助他们获得成功，使学生渐渐生成自觉的求异意识，并日渐发展为稳定的心理倾向，在面临具体问题时，就会能动地作出“还有另解吗？”“试试看，再从另一个角度分析一下！”的求异思考。事实证明，也只有在这种心理倾向驱使下，那些相关的基础知识、解题经验才会处于特别活跃的状态，也才可能对题中数量作出各种不同形式的重组，逐步形成发散思维能力。例如:初中八年级数学人教版课本中讲到了三角形和特殊四边形的重心问题，由于课本涉及的内容不多，并且涉及的图形过于特殊，很容易造成两个思维错误，一是认为过重心的直线必平分这个图形的面积，二是认为四边形的重心就是对角线的交点或对边中点连线的交点。现就这两个问题进行一些分析。一、 过一个图形的重心的直线不一定平分这个图形的面积。现分析一个特例：过ABC的重心F作AB的平行线 则有 GH ：AB = 2 ：3 SCGH ：SCAB = 4 ：9 SCGH ：S四边形GABH = 4 ：5 显然：SCGH与S四边形GABH的面积不相等。 也就是说，过重心F的直线GH没有把 这个三角形的面积平分。上例中，过重心的直线没有通过顶点，那么过顶点和重心的直线是不是一定平分面积呢，这将在后面讲到。实际上，只有在中心对称图形中，过重心的直线才平分这个图形的面积。如平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形等。要有新的突破 训练是以知识中最原始的基本概念为魂，以知识的内在联系为线，对学生已有的知识进行多方位、多角度 的再现。在知识再现的过程中，对学生要有更新、更高的要求，使他们对旧知识有新的认识和理解。这个“新 ”，蕴含着学生的一种新的学习能力。 怎么确定任意四边形（非凹四边形）的重心。八年级下册教参上有这么一道题 :一矩形ABCD中剪去一个角,如图所示:求作图形内的一点,使过这点的有无数条直线平分图形的面积。在平行四边形、矩形、菱形、正方形中我们是通过对角线的交点来确定重心的，但一般四边形对角线的交点不一定是重心。我们知道，几何中的重心概念是从科学（物理）中引入的，是把几何图形看作是一个质量均匀的物体，是用支撑时重力平衡来定义重心的。所以确定任意四边形的重心重点是平衡。显然上图中的 E 不能是重心。下面我们利用杠杆的力矩平衡原理来找四边形的重心。 方法一：作对角线BD，用中线法作出两三角形的重心M，N，连MN。由杠杆原理知道，重心就在MN上。设重心到N的长为L1，重心到M的长为L2，设ABD的面积为S1，BCD的面积为S2，由力矩平衡原理知道，L1 / L2 = S2mg/S1mg =S2/S1,由于两三角形同底，所以有面积的比等于高的比。 L1/L2 = CK/AL得用作图法可确定重心O的位置。如右图：方法二：如右下图，在上面作图的基础上连AC，作ACD的重心Z和ACB的重心F，连ZF，MN 与 ZF 的交点就是重心。仿此法也可以确定五边形的重心。前面提到过顶点和重心的直线是不是一定平分面积呢？下面根据上面作图确定了重心后，作过O点直线DH，此时DH将四边形分成了DAH和四边形DHBC，通过几何画板软件计算，它们的面积分别为17.7和19.3，也就是说通过顶点和重心的直线并不平分四边形的面积。三、 怎样作图形面积的平分线。在日常工作和生活中，有很多时候需要把一个图形的面积等分。在前面说过，在中心对称图形中，过重心的任意直线平分它们的面积，其它图形则不能采取这样的的方法。下面就过三角形与四边形的顶点和边上一点作面积的等分线分别作介绍。（过图形内或外一点作面积的等分线比较复杂，在这里不作介绍。）（1） 过三角形的顶点作面积的等分线； 作边上的中线即可。（2） 过三角形的边上的点P作面积的等分线；1. 作中线AE；2. 连结AP；3. 过E作EFPA交AC于F；4. 直线PF即为所求。 证明从略 （这种作图方法在解决面积问题时会经常用到）（3） 过四边的一顶点作面积的等分线；1. 作对角线 BD；2. 过C点作CFBD交AB的延长线于F；3. 取AF的中点 H；4. 直线DH即为所求。证明：由作图知：SGBF = SGCD SABF = S四边形ABCD SADH = SHDF SADH = S四边形DHBC（4） 过四边的一边上的点作面积的等分线；1、连 PA，PB；2、过C作CFPB交直线AB于F；3、过D作DHPA交直线AB于H；4、取HF的中点；5、连PQ；6、PQ即为所求。证明： 略事实证明，也只有在这种心理倾向驱使下，那些相关的基础知识、解题经验才会处于特别活跃的状态，也才可能对题中数量作出各种不同形式的重组，逐步形成发散思维能力。在诱导变通中，培养学生的发散思维能力。因此，在学生较好