机械动力学第3章两自由度系统VIP

1,机械系统动力学,第3章两自由度系统,2,第3章两自由度系统内容导航,3.1无阻尼自由振动3.2无阻尼强迫振动3.3无阻尼吸振器3.4有阻尼振动3.5有阻尼吸振器3.6位移方程,3,3两自由度系统,两自由度系统和单自由度系统相比，虽然只多了一个自由度，但却是最少的多自由度系统。它将具有多自由度系统的基本特征和规律，而这些特征和规律在单自由度系统中并不存在。通过对两自由度系统的讨论，我们将能用简练的分析，清晰地阐明多自由度系统的一些基本概念、原理、特征和规律，这不仅能对两自由度系统分析的方法有所了解，而且也能对多自由度系统的分析方法有所了解。因此，讨论两自由度系统的振动问题，不仅对两自由度系统，而且对多自由度系统的振动问题也是非常有益的。,4,3.1无阻尼自由振动,a.理论模型如图3.1-1所示,kc(x2-x1),5,3.1无阻尼自由振动,对于图示的系统，坐标x1和x2是两个独立的坐标，它们完全描述了系统在任何时刻的运动。不仅表示出质量m1和m2的运动，而且也描述了弹簧k1和k2的运动。因此，该系统是一个两自由度系统。运动是微幅的，系统是线性的。取静平衡位置为二坐标的原点，由牛顿第二定律得微分方程。b.微分方程,写成矩阵形式：,（3.1-1）,6,（3.1-2）,c.两自由度系统运动方程的一般形式,令,（3.1-3）,7,3.1无阻尼自由振动,（3.1-4）,则,质量矩阵,刚度矩阵,位移向量,力向量,d.两自由度系统自由振动方程,（3.1-6）,（3.1-5）,对角阵,三对角阵,8,3.1无阻尼自由振动,（3.1-）,e.两自由度系统自由振动的解我们关心的是，系统在受到初始扰动的作用后，是否和单自由度系统一样发生自由振动？两个坐标是否有相同的随时间变化规律？如果有，那么这一随时间变化的规律是什么，是否是简谐函数？,初始条件,9,3.1无阻尼自由振动,先假定有着相同的随时间变化规律f(t)，是实时间函数。那么，方程的解有,（3.1-9）,代入（3.1-）得,10,3.1无阻尼自由振动,（3.1-10）,讨论（3.1-11）的解，假定,（3.1-11）,（3.1-12）,则,代入（3.1-11）得,11,3.1无阻尼自由振动,（3.1-13）,（3.1-14）,（3.1-15）,（3.1-11）的通解,分析得为正实数，令,12,3.1无阻尼自由振动,（3.1-16）,（3.1-17）,把代入（3.1-12）得,要使上面两式有非零解则：,（3.1-18）,要使上面两式有非零解则：,13,上式称作系统的频率方程或特征方程，展开得,（3.1-19）,（3.1-20）,方程的根为：,14,3.1无阻尼自由振动,从而得到,且,对于实际的简谐运动,和,是没有意义的。,今后系统的固有频率一律取正值,15,和,同时发生的两种运动模式,即以,为频率的简谐运动。由方程(3.1-20)可以知道,只取决于构成系统的物理参数m、k，叫做系统的固有频率。两自由度系统有两个固有频率。,实际上,和,16,3.1无阻尼自由振动,（3.1-21）,确定和,描述了系统发生固有频率为,的自由振动时,的大小；,的自由振动时,描述了系统发生固有频率为,的大小。,比较r1和r2的大小？,17,它们分别反应了系统以某个固有频率作自由振动时的形状或振型，表示为,（3.1-22）,f.特征向量,18,3.1无阻尼自由振动,叫做特征向量,振型向量或模态向量,叫做振型比固有频率和振型向量构成系统的固有模态的基本参数(或简称模态参数),它们表明了系统自由振动的特性。两自由度系数有两个固有模态,即系统的固有模态等于系统的自由度数。,对于给定的系统,特征向量或振型向量的相对比值是确定的唯一的,和固有频率一样取决于系统的物理参数,是系统固有的,而振幅则不同。,19,3.1无阻尼自由振动,g.系统的两个固有模态振动的表达式,（3.1-22）,20,3.1无阻尼自由振动,（3.1-24）,h.系统自由振动的一般表达式，也是方程的通解,21,系统自由振动是系统两个固有模态振动的线性组合，不是作某一固有频率的自由振动，而是两个固有频率的简谐振动的合成运动。只有在某些特定的条件下，系统才会只做某个固有频率的自由振动。,22,3.1无阻尼自由振动,a.对于一个给定的两自由度系统，固有频率n1和n2、振型向量u1和u2是系统固有的。对于系统自由振动的一般表达式（3.1-24），振幅A1和A2，相角1和2是待定的，决定于施加给系统的初始条件。不同的初始条件使系统发生不同形式的自由振动，但固有频率和振型比是不变的。b.假定，施加与系统的初始条件为：,23,3.1无阻尼自由振动,c.代入方程得到,（3.1-43）,自己动手求解,24,3.1无阻尼自由振动,前面，我们对一个两自由度系统进行分析时，选取一组独立的坐标系x1和x2。我们要问：对于一个两自由度系统是否只有一组独立的坐标可用以描述其运动？系统运动方程的具体形式是否也只有一种？,25,3.1无阻尼自由振动,（1）,26,3.1无阻尼自由振动,取3.1-3（b）图所示的坐标系。垂直方向的力平衡方程为,力矩平衡方程为,27,3.1无阻尼自由振动,写成矩阵形式,有非零的非对角元素，二方程通过刚度项相互耦合，称为静耦合或弹性耦合。,28,3.1无阻尼自由振动,取如图所示的坐标系，满足,（2）,e,29,3.1无阻尼自由振动,写成矩阵形式,e偏心距,有非零的非对角元素，二方程通过惯性项相互耦合，称为动耦合或惯性耦合。,30,3.1无阻尼自由振动,（3）,A,31,有非零的非对角元素，既有静耦合又有动态耦合。,32,结论独立坐标数等于自由度数，便可选择的坐标并非唯一确定。不同坐标下的方程有所不同，M、K等的形式亦不相同。M、K若有非零的非对角元素，刚方程存在坐标耦合。方程存在坐标耦合，则方程不能单独求解。不同的方程不影响系统的固有特性。,33,将方程的解,代入原方程,方法一：,34,得,35,36,37,引入,得,38,方法二：,39,回顾例题：,40,3.1无阻尼自由振动,如图所示的系统,设,则,41,二质量作相同方向同振幅的振动，在此状态下系统中间弹簧没有形变，二质量好像刚性地连结在一起作上下运动，其固有频率为,42,二质量作反方向振动，振幅相等，在此状态下系统中间弹簧作相向压缩或相背拉伸，而弹簧的中点不动。因此二质量可看作是二个独立的运动，其固有频率,43,这二种振动方式称为系统的主振型(Principalmodes),也称为固有振型(Naturalmodes)。其中频率最低的那个振型叫做第一主振型，频率高的称为第二主振型，若有n个自由度，就有n个主振型。,若给系统造成一个初始位移符合某一主振型的条件，则系统在此初激励下的振动就会完全按照这一主振型振动。,44,45,通过上述过程将方程的耦合解除，使得每一个方程中只有一个坐标变量。这种能使系统运动方程不存在耦合，成为相互独立方程的坐标，叫做主坐标（固有坐标）。,46,3.1无阻尼自由振动,例确定图3.1-6系统，由初始条件x1(0)=1，x2(0)=r1和引起的自由振动。,解.把初始条件代入方程(3.1-43)得,在这一特定条件的初始条件下，系统只发生了对应于第一阶固有频率的自由振动。,47,3.2无阻尼强迫振动,a最简单的情况只在系统的一个坐标位置受到简谐外激励力的作用。,在x1处作用有简谐外激励力,即,b研究.系统同时受到两个频率为1和2简谐激励力，该两力分别作用于X1和X2处，则可表示为,48,3.2无阻尼强迫振动,c如果系统在坐标X1和X2分别受到两个周期为T1和T2的周期激励力，则可以表示为,为了求出两个周期激励力引起的系统稳态响应，可以先分别求出单个激励力引起的稳态响应。而周期激励力又可展开为Fourier级数。,49,3.2无阻尼强迫振动,把强迫振动方程写成简明的形式,用复指数法求解,式中M和K通常实对称阵，力向量F为实向量,（3.2-6）,（3.2-5）,为响应的复振幅，有,令方程的解为,（3.2-7）,（3.2-8）,50,3.2无阻尼强迫振动,把式（3.2-8）代入式（3.2-7），得到,方程（3.2-10）可重写为,定义,（3.2-10）,机械阻抗矩阵，或阻抗矩阵，动刚度矩阵。,定义,机械导纳矩阵，柔度矩阵，传递函数矩阵或者频响函数矩阵。,51,3.2无阻尼强迫振动,（3.2-15）,式中,为矩阵的行列式。而,（3.2-16）,52,3.2无阻尼强迫振动,从而有,53,式中和是频响函数第一列两个元素，另两个元素也可以从方程中求得。,54,3.2无阻尼强迫振动,因此，方程（3.2-7）解为,（3.2-18）,（3.2-19）,和决定于激励力的特性（F，）和系统的物理参数。和是稳态响应的振幅和是稳态响应滞后于激励力的相角,（3.2-20）,55,3.2无阻尼强迫振动,系统对简谐激励力的稳态应取式（3.2-20）的虚部，为,（3.2-21）,56,3.2无阻尼强迫振动,由于现在讨论的是无阻尼系统，和表达式的各元素都是实数。因此，与单自由度系统无阻尼强迫振动相同，对于不同的激励频率，和可以分别为0和。对于给定系统，我们也可以画出和幅频特性曲线和相频特性曲线。,和,随,变化的曲线。这些曲线分别叫做,57,3.2无阻尼强迫振动,例：3.1例1的系统，在坐标x1处受到简谐激励力的作用，画出系统稳态响应和随变化的曲线。,解：把3.1例1中的各参数代入方程(3.2-17)，简谐激励力为有,式中,58,3.2无阻尼强迫振动,解：因此有,59,3.3无阻尼吸振器,我们讨论了单自由度系统的隔振问题。无论主动隔振还是被动隔振都只能减小振源的影响，不能减小振源本身的振动强度、能不能减小振源本身的强度呢?从图3.2-1可以发现，质量m1在简谐激励力作用下，处于静止状态。这个频率叫做系统的零点。可否利用两自由度系统的这一特性?,60,3.3无阻尼吸振器,原系统m1和k1组成，称为主系统，在激励力作用下做强迫振动。为了减小振动设计一辅助系统吸振器（m2和k2）形成一两自由度系统，此时运动方程为：,解得：,61,3.3无阻尼吸振器,令,主系统的固有频率；,吸振器的固有频率；,主系统的等效静位移；,吸振器质量与主系统质量的比。,注意：这里的不是二自由度系统的固有频率,62,3.3无阻尼吸振器,当时，主系统质量的振幅将等于零。,则,（3.3-3）,63,3.3无阻尼吸振器,当时，,（3.3-4）,这时，吸振器质量的运动为,吸振器的运动通过弹簧给主系统质量,施加一作用力为,（3.3-6）,在任何时刻，吸振器施加于主系统的力精确的与,平衡。,作用于主系统的激励力,（3.3-5）,64,随变化的规律，阴影部分是吸震器的可工作频率范围。安装吸阵器的缺点是使一单一自由度系统，有两个共振频率，增加了系统共振的可能性。,3.3无阻尼吸振器,虽然，无阻尼吸振器是针对某个给定的工作频率设计的，不过在近旁的某个小范围内也能满足要求。这时，主系统质量的运动虽不是零，但振幅很小。图3.3-2表示,65,3.3无阻尼吸振器,使式（3.5-3）的分母多项式等于零,（3.3-7）,由主系统和吸振器组成的两自由度系统的特征方程。,（3.3-8）,对于不同的和从中解出二自由度系统的两个固有频率。,注意：和前面的相区分！,66,3.4有阻尼振动,模型,（3.4-1）,图3.4-1表示一个具有粘性阻尼的二自由度系统。,方程,67,3.4有阻尼振动,方程,（3.4-2）,在方程中有弹性耦合，还有通过速度项的粘性耦合。把方程（3.4-1）写成矩阵形式。,对于有阻尼系统，自由振动运动方程的一般形式,（3.4-3）,68,3.4有阻尼振动,与单自由度系统相同，假定方程（3.4-3）的解为,（3.4-5）,或,（3.4-6）,则,（3.4-7）,把(3.4-6)和(3.4-7)带入(3.4-3)，得,69,3.4有阻尼振动,（3.4-8）,由于不会恒等于零，要使式（3.4-8）成立，则,（3.4-9）,（3.4-10）,即,70,3.4有阻尼振动,要使和有非零解，方程系数矩阵的行列式必等于零。因此，得到系统的特征方程或频率方程,或,（3.4-11）,（3.4-12）,一元四次方程，可解出4个根,71,3.4有阻尼振动,解方程3.4-12得系统的特征值，代入方程3.4-10,系统的特征值、特征向量及其比值与无阻尼系统一样是系统所固有的，只决定于系统的物理参数。,i=1,2,3,4(3.4-13),3.4有阻尼振动,72,方程（3.4-3）的通解为,或,3.4有阻尼振动,(3.4-14),(3.4-15),73,3.4有阻尼振动,与有阻尼单自由度系统相同，由初始条件引起的系统的运动，将随时间不断减小（正阻尼情况）。这表明，系统的四个特征值将是负实根或具有负实部的复根。负实根表明系统的运动将是非周期的，运动将随时间以指数函数衰减，是过阻尼或临界阻尼情况。具有负实部的共轭复根将共轭成对出现，表明系统的运动将是振幅按指数函数衰减的简谐运动，是欠阻尼情况。因此，对于两自由度系统，其特征值将会出现三种可能的组合：所有四个特征值都是负实根四个特征值组成两对具有负实部的共轭复根二个特征值为二负实根，而另两个特征值组成一对具有负实部的共轭复根。,74,3.4有阻尼振动,当系统的四个特征值都为负实根时，方程（3.4-14）和（3.4-15）就是其位移的表达式。这时，待定常数,和,都是实数。,75,3.4有阻尼振动,当系统的四个特征值为两对共轭复根时，可表示为,（3.4-16）,76,3.4有阻尼振动,（3.4-17）,而方程（3.4-3）的通解为,这时,和,和,和,和,使正弦和余弦项前的系数为实数。,为共轭复数对，,77,3.4有阻尼振动,（3.4-18）,对于第三种可能，特征值为,78,3.4有阻尼振动,这时,和,和,和,和,为实数。,为共轭复数对,而方程（3.4-3）的通解为,（3.4-19）,待定常数由施加于系统的初始条件确定。,79,3.4有阻尼振动,两自由度有阻尼系统强迫振动运动方程的一般形式,(3.4-20),研究简谐激励力的情况，这时运动方程可表示为,(3.4-21),若有二个简谐激励力作用，可分别求解，然后线性叠加,80,复指数法求解,令,代入方程（3.4-21），得,3.4有阻尼振动,(3.4-23),81,3.4有阻尼振动,(3.4-24),或,(3.4-25),简写为,为机械阻抗矩阵，,i,j=1,2,定义,82,方程（3.4-25）的解为,(3.4-26),3.4有阻尼振动,83,3.4有阻尼振动,(3.4-27),和,是复振幅，给出了系统在激励,力作用下，系统稳态响应的振幅及响应滞后于激励力的相角。,84,系统在简谐激励力作用下的稳态响应是系统响应的虚部,系统响应,85,3.5有阻尼吸振器,图3.5-1中，由质量m1、弹簧k1组成的系统是主系统。为了在相当宽的工作速度范围内，使主系统的振动能够小到要求的强度，设计了质量m2、弹簧k2和粘性阻尼器c组成的系统，它叫做有阻尼吸振器。主系统和吸振器组成了一个新的两自由度系统。,86,3.5有阻尼吸振器,解得,(3.5-1),(3.5-2),(3.5-3),87,因而,式中,(3.5-4),3.5有阻尼吸振器,88,3.5有阻尼吸振器,令,式(3.5-4)转化为,(3.5-5),89,3.5有阻尼吸振器,(3.5-6),若,的表达式(3.3-2)。由式（3.5-5）就可以得到具有无阻尼吸振器的主系统振幅的无量纲表达式,，由式（3.5-2）可以得到无阻尼吸振器振幅,90,3.5有阻尼吸振器,对于的主系统响应曲线表示在图3.5-2。,91,3.5有阻尼吸振器,对于阻尼为无限大质量m1和m2将无相对运动，这时我们得到了一个由质量m1+m2和弹性k1组成的单自由度系统。该系统的稳态响应,其固有频率可由分母多项式等于零求得,（3.5-7）,（3.5-8）,92,3.5有阻尼吸振器,在图3.5-2中，所有响应曲线都交于S点和T点。这表明，在这两个点所对应的频率比，质量m1的稳态响应的振幅与吸振器的阻尼c无关。S点和T点的值，可由任两个不同的阻尼值的响应曲线求得，最方便的就是式子（3.5-6）和（3.5-7）相等.,对于响应曲线也表示在图3.5-2上。该响应曲线与单自由度系统的响应曲线相同。对于其它的阻尼值，响应曲线将介于之间。,93,3.5有阻尼吸振器,取正号，有这不是所期望的。因而取负号，得,可以求得S点和T点对应的频率比的表达式，代入任何响应方程可得,（3.5-9）,（3.5-10）,（3.5-11）,94,3.5有阻尼吸振器,对于工程问题，并不要求使主系统的振幅X1一定要等于零，只要小于允许的数值就可以了。因此，为了使主系统在相当宽的频率内工作，我们将这样设计吸振器，使；并使它们为某个响应曲线的最大值；合理选择和确定吸振器参数，把它们控制在要求的数值以内由，得,（3.5-12）,代入（3.5-10），得,（3.5-13）,得,（3.5-14）,95,3.5有阻尼吸振器,由主系统允许的最大振动，可通过（3.5-14）确定，从而确定吸振器质量，把（3.5-14）得到的值代入（3.5-12），可得，即确定了，即得到了吸振器弹簧的弹簧常数。最后，要确定吸振器阻尼器的阻尼系数。为使和为响应曲线的最大值，则应在响应曲线的S和T点有水平切线，从而可得相应的值。由于使响应曲线的最大值的值并不相等，故取平均值得,（3.5-15）,吸振器参数、和c确定以后，就与主系统构成了一个确定的两自由度系统，其响应方程和曲线都是确定的，在S和T点为最大值，且小于允许的数值。,96,3.5有阻尼吸振器,图3.5-3表示出在S和T点分别具有水平切线的两条响应曲线。可见，对于这两条切线，在S和T点以外的响应值相差很小。显然，在相当宽的频率范围内，主振幅有着小于允许振幅的振动，这就达到了允许减小主系统振动的目的。,97,3.6位移方程,在前面的讨论中，系统地运动方程表示为,或,在这些方程中，每一项都代表一种力或力矩：惯性力、弹性恢复力、阻尼力和外激励力。这种形式的方程是作用力方程。对于许多工程问题，建立起系统地作用力方程是比较方便的。但是，有些系统采用另一种形式的方程-位移方程，可以比作用力方程更为方便。,98,3.6位移方程,我们定义弹簧常数为k的弹簧的柔度系数为,因而图3.6-1中两个弹簧的柔度系数为：,假定作用在质量和上的力和静态加上去的，只使产生静位移。对于线性系统同时作用引起的静位移等于两者分别引起的静位移的总和。有,（3.6-1）,99,3.6位移方程,（3.6-2）,当F1单独作用时，则有,100,（3.6-2）,当F2单独作用时，则有,3.6位移方程,101,当同时作用时，则有,（3.6-3）,3.6位移方程,102,写成矩阵形式，则,（3.6-4）,或,叫做柔度矩阵,3.6位移方程,103,3.6位移方程,柔度矩阵的元叫做柔度影响系数，定义为,即只在j点作用一单位力时，在i点引起的位移的大小。利用柔度影响系数的定义，我们也可以确定系统的柔度矩阵。对于上图的系统，由于在（b）中，a令可得,（3.6-6）,104,在（c）中，令即可得,105,3.6位移方程,系统的柔度系数矩阵为,106,3.6位移方程,对于系统的刚度矩阵，其元素也叫刚度影响系数，定义为,（3.6-7）,它表明只在j点产生一单位位移，在i点需要施加的力的大小。利用这一定义可以确定系统的刚度矩阵。,107,3.6位移方程,由图3.6-2(a)和图3.6-2(b)可得,108,3.6位移方程,系统地刚度矩阵为,对于有阻尼系统，阻尼矩阵的元素阻尼影响系数也可以按其定义以类似的方法确定。,109,3.6位移方程,如果作用于图3.6-1（a）系统质量和上的为动力和，则惯性力也必须考虑，则方程（3.6