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近世代数复习试题一 填空题 1是集合的子集，如果（1） ，（2） ，则称为的一个分类.2 设,则有_个A到B的映射,_个A到B的单射.3. 设是一个群,且,则_.4. 设是群,若，而且，则_.5. 在中，= .6. 模6的剩余类环的所有可逆元: .7. 模6的剩余类环的所有零因子: .8. 是一个有单位元交换环,则由生成的主理想 .9. 设群G的阶是45, a是群G中的一个元素,则a的阶只可能是_.10. 高斯整环的单位群的全部元素:_.二 解答、证明题1. 设是全体整数的集合，在中规定： 证明：是一个交换群.2. 证明:群G不能表示成两个真子群的并.3. 证明:r-循环为偶置换的充要条件是r为奇数.4.设p为素数,=，证明：G一定有一个p 阶子群.5.设是一个群，证明：.6. 设，证明：.7. 设，且，证明：8. 证明:每个素数阶的群都是循环群.9.设N是群G的子群，N的阶是r（1）证明也是G的一个子群.（2）若N是G的唯一的r阶子群，证明N是G的正规子群.10.设C(G)为G中心, 且G/C(G)为循环群,证明G为交换群.11.设G=是24阶循环群，试列举出G的8阶子群的所有生成元。12.设H，K都是群G的正规子群，且，则 13.设是群，是的中心，且，证明：（1）；（2）若是循环群，则G是交换群.14.设是有单位元1的环,在R上又定义 证明:也是一个有单位元的环.15. 设R是有单位元的环, (1) 若a, b ,a+b 都可逆, 证明也可逆. (2) 求16. 证明:除环的中心是一个域.17.设为正整数,证明: (1) 环中元素可逆,即与互素; (2) 若是素数,则是域;若不是素数,则不是整环.18.求出模6剩余类环的所有理想.19.求整数环上一元多项式的理想, 并证明不是主理想. 20. 在整数环中,若是的两个理想,则,其中是与的最大公因数,是与的最小公倍数.21. 设R是一个有单位元的有限交换整环,证明:R的每一个非零素理想都是R的极大理想.2
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