上海市格致中学2015-2016学年高二（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）VIP

2015-2016学年上海市格致中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）一、填空题（本题11小题，每小题4分，共44分）1已知，若与平行，则k=2双曲线C：3x24y2=12的焦点坐标为3等差数列an中，a4+a5+a6+a7+a8=150，则S11=4向量经矩阵变换后得到矩阵，则xy=5过点A（4，3），且与原点距离最大的直线方程是（用一般式表示）6以椭圆的左焦点F1为圆心，过此椭圆右顶点A的圆截直线3x+4y21=0所得的弦长为7已知A（2，1），B（2，1），O为坐标原点，动点P（x，y）满足=m+n，其中m、nR，且m2+n2=，则动点P的轨迹方程是8已知O为ABC的外心，且，则的值为9已知双曲线（a0，b0）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为10数列an的前m项为，若对任意正整数n，有an+m=anq（其中q为常数，q0且q1），则称数列an是以m为周期，以q为周期公比的似周期性等比数列，已知似周期性等比数列bn的前4项为1，1，1，2，周期为4，周期公比为3，则数列bn前4t+2项的和等于（t为正整数）11已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y22x2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为二、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）12“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m2）x+（m+2）y3=0相互垂直”的（）A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件13若ab0，则直线与椭圆在同一坐标系中的位置只可能是（）ABCD14已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，点P是它们的一个交点，则F1PF2面积的大小是（）ABC1D215设数列an的前n项和是Sn，令，称Tn为数列a1，a2，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a502的“理想数”为2015，则数列6，a1，a2，a502的理想数为（）A2014B2015C2016D2017三、解答题（本题共4小题，满分40分）16椭圆的中心在原点，焦点在x上，焦距为，且经过点（1）求满足条件的椭圆方程；（2）求椭圆的长轴长和焦点坐标17设数列an满足a1=1，an+1=3an（1）求an的通项公式及前n项和Sn；（2）已知bn是等差数列，Tn为前n项和，且b1=a2，b2=a1+a2+a3，求T3818（2008上海）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），An（n，an），简记为An、若由构成的数列bn满足bn+1bn，n=1，2，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称An为T点列，（1）判断，是否为T点列，并说明理由；（2）若An为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点Ak、Ak+1、Ak+2，判断AkAk+1Ak+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若An为T点列，正整数1mnpq满足m+q=n+p，求证：19已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：相切（1）求圆的标准方程；（2）设点A为圆上一动点，ANx轴于N，若动点Q满足：，（其中m为非零常数），试求动点Q的轨迹方程C2；（3）在（2）的结论下，当时，得到曲线C，与l1垂直的直线l与曲线C交于B、D两点，求OBD面积的最大值2015-2016学年上海市格致中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本题11小题，每小题4分，共44分）1已知，若与平行，则k=【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算【专题】计算题；规律型；平面向量及应用【分析】利用向量共线的充要条件列出方程求解即可【解答】解：，若与平行，可得2k=3，解得k=故答案为：【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，是基础题2双曲线C：3x24y2=12的焦点坐标为（，0）【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；规律型；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线方程求出双曲线的几何量，即可得到结果【解答】解：双曲线C：3x24y2=12，可得a=2，b=，c=双曲线的焦点坐标：（，0），故答案为：（，0）【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力3等差数列an中，a4+a5+a6+a7+a8=150，则S11=330【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】由等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等且等于项数之和一半的项，把已知条件化简后，即可求出a5的值，然后再由等差数列前n项和公式求出前11项的和S11【解答】等差数列 an中，a4+a5+a6+a7+a8=150，所以5a6=150，所以a6=30，所以S11=11a6=330则前11项的和S11=330故答案为：330【点评】题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，同时考查等差数列的前n项和公式，是一道中档题4向量经矩阵变换后得到矩阵，则xy=1【考点】几种特殊的矩阵变换【专题】矩阵和变换【分析】由已知得=，由此能求出xy=1【解答】解：向量经矩阵变换后得到矩阵，=，x=3，y=2，xy=1故答案为：1【点评】本题考查代数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意几种特殊变换的合理运用5过点A（4，3），且与原点距离最大的直线方程是4x3y25=0（用一般式表示）【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程【专题】计算题；转化思想；直线与圆【分析】过A（4，3）且与原点O（0，0）距离最大的直线的方程为过点A且与直线OA垂直的直线【解答】解：过A（4，3）且与原点O（0，0）距离最大的直线的方程为：过点A且与直线OA垂直的直线，kOA=，所求直线方程的斜率k=，所求直线方程为：y+3=（x4，整理，得4x3y25=0，故满足条件的直线方程为：4x3y25=0，故答案为：4x3y25=0【点评】本题考查直线方程的求法，是基题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离最高值的合理理解6以椭圆的左焦点F1为圆心，过此椭圆右顶点A的圆截直线3x+4y21=0所得的弦长为【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出椭圆的左焦点，求出圆的半径，利用圆的圆心到直线的距离与圆的半径与半弦长的关系，求解直线被圆截直线3x+4y21=0所得的弦长【解答】解：椭圆，可得a=5，b=4，c=3，椭圆的左焦点F1为（3，0），圆的半径为：a+c=8，圆的圆心（3，0）到直线3x+4y21=0的距离d=6，圆的圆心到直线的距离与圆的半径与半弦长满足勾股定理，可得弦长为：2=故答案为：【点评】本题考查椭圆的简单性质，直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力7已知A（2，1），B（2，1），O为坐标原点，动点P（x，y）满足=m+n，其中m、nR，且m2+n2=，则动点P的轨迹方程是【考点】轨迹方程【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设动点P（x，y），根据向量间的关系得到x=2m+2n，y=mn，代入m2+n2=化简可得动点P的轨迹方程【解答】解：设动点P（x，y ），则点P满足=m+n，其中m、nR，（x，y ）=（2m+2n，mn），x=2m+2n，y=mn，m=，n=，m2+n2=，（）2+（）2=，即故答案为：【点评】本题考查了轨迹方程的求法，考查两个向量坐标形式的运算，训练了利用代入法求曲线的方程，是中档题，建立动点P（x，y ）与m、n的关系是解题的关键8已知O为ABC的外心，且，则的值为12【考点】平面向量数量积的运算【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】过O分别作OEAB，OFAC，垂足分别为E，F利用垂经定理及数量积的运算性质可得=2， =2再利用向量的三角形法则、数量积的运算性质即可得出【解答】解：如图所示，过O分别作OEAB，OFAC，垂足分别为E，F=2， =2=（）=22=（5272）=12故答案为：12【点评】本题考查了三角形的外心性质、垂径定理、向量的三角形法则及数量积的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9已知双曲线（a0，b0）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为【考点】双曲线的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用行列式求出a，b的关系，利用双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，求出双曲线的右焦点，从而可求双曲线的标准方程【解答】解：由，可得，双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，c=，c2=a2+b2，a=1，b=，双曲线的方程为故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程，考查抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，求出几何量是关键10数列an的前m项为，若对任意正整数n，有an+m=anq（其中q为常数，q0且q1），则称数列an是以m为周期，以q为周期公比的似周期性等比数列，已知似周期性等比数列bn的前4项为1，1，1，2，周期为4，周期公比为3，则数列bn前4t+2项的和等于（t为正整数）【考点】数列的求和【专题】新定义；整体思想；分析法；等差数列与等比数列【分析】bn的每4项求和的数列设为Cn，求bn前4t项之和就是求Cn前t项之和由于bn是周期为4的似周期性等比数列，则=3，所以=3由等比数列求和公式，即可得到所求和【解答】解：把bn的每4项求和的数列设为Cn，也就是说 C1=B1+B2+B4，Ct=B4t3+B4t2+B4t，因此，求bn前4t项之和就是求Cn前t项之和由于bn是周期为4的似周期性等比数列，则=3，所以=3由等比数列求和公式，可得为c1+c2+c3+ct=（3t1）这就是数列bn前4t项之和，最后就是加上b4t+1，b4t+2这两项，由于b4t+1=b13t=3tb4t+2=b13t=3t因此，数列bn前4t+2项和就是（3t1）+3t+3t=故答案为：【点评】本题主要考查数列与函数的综合、等比数列求和公式、新定义型问题的解决方法，考查运算求解能力、化归与转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力和意识11已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y22x2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为【考点】直线和圆的方程的应用【专题】计算题；压轴题；转化思想【分析】由圆的方程为求得圆心C（1，1）、半径r为：1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解【解答】解：圆的方程为：x2+y22x2y+1=0圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3|PA|=|PB|=故答案为：【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想二、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）12“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m2）x+（m+2）y3=0相互垂直”的（）A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】两条直线垂直的判定【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑【分析】判断充分性只要将“m=”代入各直线方程，看是否满足（m+2）（m2）+3m（m+2）=0，判断必要性看（m+2）（m2）+3m（m+2）=0的根是否只有【解答】解：当m=时，直线（m+2）x+3my+1=0的斜率是，直线（m2）x+（m+2）y3=0的斜率是，满足k1k2=1，“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m2）x+（m+2）y3=0相互垂直”的充分条件，而当（m+2）（m2）+3m（m+2）=0得：m=或m=2“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m2）x+（m+2）y3=0相互垂直”充分而不必要条件故选：B【点评】本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定13若ab0，则直线与椭圆在同一坐标系中的位置只可能是（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；数形结合；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用ab0，推出直线的斜率，在y轴上的截距，椭圆的焦点坐标的位置，即可判断图形【解答】解：ab0，可知直线的斜率大于0，在y轴上的截距为正，椭圆的焦点坐标在x轴上，故选：D【点评】本题考查椭圆的简单性质与直线的位置的判断，是基础题14已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，点P是它们的一个交点，则F1PF2面积的大小是（）ABC1D2【考点】双曲线的简单性质；椭圆的应用【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式，即可得出三角形的面积【解答】解：如图所示，不妨设两曲线的交点P位于双曲线的右支上，设|PF1|=s，|PF2|=t由双曲线和椭圆的定义可得，解得在PF1F2中，cosF1PF2=m1=n+1，mn=2，cosF1PF2=0，F1PF2=90F1PF2面积为=1故选C【点评】本题考查椭圆与双曲线方程及其几何性质及代数运算能力熟练掌握双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式是解题的关键15设数列an的前n项和是Sn，令，称Tn为数列a1，a2，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a502的“理想数”为2015，则数列6，a1，a2，a502的理想数为（）A2014B2015C2016D2017【考点】数列的求和【专题】新定义；整体思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法【分析】根据题意，数列a1，a2，a402的“理想数”为2015，有=2015；可得S1+S2+S402=2015402；则数列6，a1，a2，a402的“理想数”为，整理可得答案【解答】解：由题意知，数列a1，a2，a402的“理想数”为2015，则有=2015；所以S1+S2+S402=2015402；所以，数列6，a1，a2，a402的“理想数”为：=6+=6+5402=2016故选：C【点评】本题考查了新定义的理解和运用，考查数列前n项和的公式，即Sn=a1+a2+an的灵活应用，解题时要弄清题意，灵活运用所学知识，考查运算能力，属于中档题三、解答题（本题共4小题，满分40分）16椭圆的中心在原点，焦点在x上，焦距为，且经过点（1）求满足条件的椭圆方程；（2）求椭圆的长轴长和焦点坐标【考点】椭圆的简单性质【专题】常规题型；规律型；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用椭圆的焦距以及椭圆经过的点，求出a，b即可得到椭圆方程（2）利用椭圆的方程求出结果即可【解答】解：（1）依题意，得：，所以，解得：，所以，椭圆方程为：（2）长轴长为4，焦点坐标为（，0），（，0），【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查计算能力17设数列an满足a1=1，an+1=3an（1）求an的通项公式及前n项和Sn；（2）已知bn是等差数列，Tn为前n项和，且b1=a2，b2=a1+a2+a3，求T38【考点】数列的求和【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（1）由题意可判数列an是以1为首项，3为公比的等比数列，可得通项公式和前n项和；（2）由（1）可得b1=3，b2=13，可得公差d=10，代入求和公式计算可得【解答】解：（1）数列an满足a1=1，an+1=3an， =3，数列an是以1为首项，3为公比的等比数列，an的通项公式an=13n1=3n1，前n项和Sn=（3n1）；（2）由（1）可得b1=3，b2=1+3+9=13，公差d=10，T38=383+10=7144【点评】本题考查数列求和，涉及等差数列和等比数列的求和公式，属中档题18（2008上海）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），An（n，an），简记为An、若由构成的数列bn满足bn+1bn，n=1，2，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称An为T点列，（1）判断，是否为T点列，并说明理由；（2）若An为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点Ak、Ak+1、Ak+2，判断AkAk+1Ak+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若An为T点列，正整数1mnpq满足m+q=n+p，求证：【考点】单位向量；数列的概念及简单表示法；平面向量数量积的运算；不等式的证明【专题】综合题；压轴题；规律型【分析】（1）根据所给的n个点的坐标，看出数列an的通项，把数列an的通项代入新定义的数列bn，验证数列bn满足bn+1bn，得到An是T点列的结论（2）用所给的三个点构造三个向量，写出三个向量的坐标，问题转化为向量夹角的大小问题，判断出两个向量的数量积小于零，得到两个向量所成的角是钝角，得到结果（3）本题是要求判断两组向量的数量积的大小，根据两个数列各自的项之间的大小关系，得到向量的数量积之间的关系，本题不用做具体的数字运算，只是一个推理过程【解答】解：（1）由题意可知，显然有bn+1bn，An是T点列（2）在AkAk+1Ak+2中，点A2在点A1的右上方，b1=a2a10，An为T点列，bnb10，（ak+2ak+1）（akak+1）=bk+1bk0，则AkAk+1Ak+2为钝角，AkAk+1Ak+2为钝角三角形、（3）1mnpq，m+q=n+p，qp=nm0aqap=aqaq1+aq1aq2+ap+1ap=bq1+bq2+bp（qp）bp同理anam=bn1+bn2+bm（nm）bn1、由于An为T点列，于是bpbn1，由、可推得aqapanam，aqanapam，即【点评】本题表面上是对数列的考查，实际上考查了两个向量数量积，数量积贯穿始终，但是这步工作做完以