专题探究课四 高考中立体几何问题的热点题型

热点突破,热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积,热点突破,热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积,微题型1简单几何体的三视图的识别,【例11】如图所示，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是(),解析结合三视图的画法规则可知B正确答案B,热点突破,热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积,微题型1简单几何体的三视图的识别,解答此类问题的关键是：一要掌握各种基本几何体的三视图，注意简单组合体的构成；二要熟悉三视图“长对正、高平齐、宽相等”的法则,热点突破,热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积,微题型2三视图还原几何体的识别,【例12】三视图如图所示的几何体是()A三棱锥B四棱锥C四棱台D三棱台,解析由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形答案B,热点突破,热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积,首先通过俯视图确定几何体底面的大致形状，然后利用正视图和侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，确定几何体的形状,微题型2三视图还原几何体的识别,热点突破,热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积,微题型3借助三视图研究几何体的表面积、体积,解析(1)由侧视图为半圆可知，该几何体与圆柱、圆锥、球有关，结合正视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆锥，将剖面放置在桌面上，如图，由条件知，半圆锥的母线长为2a，底面半径为a，,热点突破,热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积,微题型3借助三视图研究几何体的表面积、体积,(2)由三视图知，原几何体为两个四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面边长为1，斜高为1，,答案(1)A(2)D,热点突破,热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积,解决此类问题关键是通过三视图确定空间几何体中的几何量的关系，其中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度,微题型3借助三视图研究几何体的表面积、体积,热点突破,热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积,微题型3借助三视图研究几何体的表面积、体积,解析(1)该三棱锥的直观图如图所示，并且PB平面ABC，PB2，AB2，,【训练1】(1)(2014北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_,故PA最长,热点突破,热点一空间几何体的三视图及其表面积、体积,微题型3借助三视图研究几何体的表面积、体积,(2)由三视图“长对正、高平齐、宽相等”的原则可知，该三棱锥的俯视图是以2为底边长，1为高的直角三角形，,【训练1】(2)(2014广东东莞二模)一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示(均为直角三角形)，则该三棱锥的俯视图的面积为_,答案(1)2(2)1,热点突破,热点二空间几何体的体积,空间几何体的体积是高考考查立体几何的考点之一，求空间几何体的体积的常用方法主要有：公式法、转化法、割补法,热点突破,热点二空间几何体的体积,微题型1公式法求几何体的体积,解析依题意知正方体的体对角线长等于球的直径，,设正方体的棱长为a，,因此正方体的表面积为6a224.答案24,热点突破,对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式法进行求解,热点二空间几何体的体积,微题型1公式法求几何体的体积,热点突破,热点二空间几何体的体积,微题型2转化法求几何体的体积,解析三棱锥ADED1的体积等于三棱锥EDD1A的体积，即VADED1VEDD1A,热点突破,依据一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积,热点二空间几何体的体积,微题型2转化法求几何体的体积,热点突破,热点二空间几何体的体积,微题型3割补法求几何体的体积,解析法一设AD，BC的公垂线为EF，如图所示，因为ADBC，所以AD平面BEC，所以VDABCVABECVDBEC,热点突破,热点二空间几何体的体积,微题型3割补法求几何体的体积,法二以AB，BC为邻边补成平行四边形ABCE，以AD为侧棱补成平行六面体ABCEDGMF，如图所示，则三棱锥DABC的体积V1与平行六面体ABCEDGMF的体积V2之间有,易知平行六面体左右侧面之间的距离就是异面直线AD，BC之间的距离h，因为ADBC，所以四边形BCMG为矩形，,热点突破,运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补形，转化为可以计算体积的空间几何体，通过这个空间几何体的体积计算所求的空间几何体的体积,热点二空间几何体的体积,微题型3割补法求几何体的体积,热点突破,热点二空间几何体的体积,微题型3割补法求几何体的体积,解析法一如图所示，由于点G为PB的中点，故点P，B到平面GAC的距离相等，故三棱锥PGAC的体积等于三棱锥BAGC的体积，根据三棱锥的特点，所要解决的两个三棱锥的体积之比就等于三棱锥GACD与三棱锥GABC的体积之比，由于这两个三棱锥的高相等，体积之比等于其底面积之比，即ACD与ABC的面积之比，这个面积之比是21.,热点突破,热点二空间几何体的体积,微题型3割补法求几何体的体积,法二连接BD交AC于H，则点D，B到平面GAC的距离之比等于DHBH，因为AHDCHB，故DHBHADBC21，三棱锥DGAC与三棱锥BGAC底面积相等，故其体积之比等于其高的比，即所求比值是21.答案C,H,热点突破,热点三平行与垂直的综合问题,直线与平面的位置关系是立体几何的核心内容，高考始终把直线与平面的平行、垂直关系作为考查的重点，以多面体为载体的线面位置关系的论证是历年必考内容，其中既有单独考查直线和平面的位置关系的试题，也有以简单几何体体积的计算为载体考查直线和平面的位置关系的试题,热点突破,热点三平行与垂直的综合问题,微题型1平行与垂直关系的证明,证明(1)法一连接DG，CD，设CDGFM，连接MH.(1分)在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形则M为CD的中点，(3分)又H为BC的中点，所以HMBD，(4分)又HM平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.(6分),M,热点突破,热点三平行与垂直的综合问题,微题型1平行与垂直关系的证明,法二在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BEHF.(3分)在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB.(4分)又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.(5分)因为BD平面ABED，所以BD平面FGH.(6分),热点突破,热点三平行与垂直的综合问题,微题型1平行与垂直关系的证明,(2)连接HE，EG，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB.(7分)由ABBC，得GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CFHE.(9分),热点突破,热点三平行与垂直的综合问题,微题型1平行与垂直关系的证明,又CFBC，所以HEBC.(10分)又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.(11分)又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.(12分),热点突破,热点三平行与垂直的综合问题,微题型1平行与垂直关系的证明,(1)(方法一)作辅助线得1分，证明四边形DFCG为平行四边形得2分，再得到HMBD得1分，最后根据线面平行的判定定理得结论得2分(2)(方法二)证明四边形HBEF为平行四边形且BEHF得3分，再证明GHAB得1分，再推出平面FGH平面ABED得1分，最后得出BD平面FGH得1分(3)第(2)问中得到GFAB得1分，证明四边形EFCH是平行四边形且CHHE得2分，再得到BCHE得1分，再得到BC平面EGH得1分，最后证得结论得1分(4)第(1)问方法(一)中若漏写“HM平面FGH”，“BD平面FGH”各扣1分；在第(2)问最后漏写“BC平面BCD”扣1分,热点突破,热点三平行与垂直的综合问题,微题型1平行与垂直关系的证明,第一步,第二步,第三步,第四步,证明线面平行问题(一),找(作)出所证线面平行中的平面内的一条直线,证明线线平行,根据线面平行的判定定理证明线面平行,反思回顾检查关键点及答题规范,热点突破,热点三平行与垂直的综合问题,微题型1平行与垂直关系的证明,第一步,第二步,第三步,第四步,证明线面平行问题(二),在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面,利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；,证明所作平面与所证平面平行,转化为线面平行,第五步,反思回顾，检查答题规范,热点突破,热点三平行与垂直的综合问题,微题型1平行与垂直关系的证明,第一步,第二步,第三步,第四步,证明面面垂直问题,根据已知条件确定一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的一条直线,结合已知条件证明确定的这条直线垂直于另一平面内的两条相交直线,得出确定的这条直线垂直于另一平面,转化为面面垂直,第五步,反思回顾，检查答题规范,热点突破,线线、线面关系是立体几何的核心内容之一，它在空间线面位置关系的推理证明中起着承上启下的桥梁作用证明线面位置关系不仅要考虑线面位置关系的判定和性质，更要注意几何体中几何特征的灵活应用证明的依据是空间线面位置关系的判定定理和性质定理，根据线线、线面、面面的平行与垂直进行相互转化另外，根据几何体的数据，通过计算也可得到线线垂直的关系，所以要注意几何体中数据的正确利用,热点三平行与垂直的综合问题,微题型1平行与垂直关系的证明,热点突破,热点三平行与垂直的综合问题,微题型1平行与垂直关系的证明,证明(1)因为DE平面ABCD，AC平面ABCD，所以DEAC，因为ABCD是正方形，所以ACBD，又BDDED，从而AC平面BDE.,热点突破,热点三平行与垂直的综合问题,微题型1平行与垂直关系的证明,(2)延长EF、DA交于点G，连接GB，,G,又AM平面BEF，GB平面BEF，所以AM平面BEF.,热点突破,热点三平行与垂直的综合问题,微题型2探索性问题中的平行与垂直关系,(1)解由题设AB1，AC2，BAC60，,由PA平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高，又PA1.,热点突破,热点三平行与垂直的综合问题,微题型2探索性问题中的平行与垂直关系,(2)证明如图，在平面ABC内，过点B作BNAC，垂足为N，在平面PAC内，过点N作MNPA交PC于点M，连接BM.由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC.由于BNMNN，故AC平面MBN，又BM平面MBN，所以ACBM.,N,M,热点突破,(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件(2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设,热点三平行与垂直的综合问题,微题型2探索性问题中的平行与垂直关系,热点突破,热点三平行与垂直的综合问题,微题型2探索性问题中的平行与垂直关系,(1)证明AA1平面ABC，BC平面ABC，BCAA1.又BCAC，AA1ACA，BC平面AA1C1C，又AC1平面AA1C1C，BCAC1.,热点突破,热点三平行与垂直的综合问题,微题型2探索性问题中的平行与垂直关系,(2)解法一当AF3FC时，EF平面A1ABB1.证明如下：如图1，在平面A1B1C1内过点E作EGA1C1交A1B1于点G，连接AG.B1E3EC1，,G,AFEG且AFEG，四边形AFEG为平行四边形，EFAG，又EF平面A1ABB1，AG平面A1ABB1，EF平面A1ABB1.,F,热点突破,热点三平行与垂直的综合问题,微题型2探索性问题中的平行与垂直关系,法二当AF3FC时，FE平面A1ABB1.证明如下：如图2，在平面BCC1B1内过点E作EGBB1交BC于点G，连接FG.EGBB1,EG平面A1ABB1,BB1平面A1ABB1，EG平面A1ABB1.B1E3EC1，BG3GC，,G,F,热点突破,热点三平行与垂直的综合问题,微题型2探索性问题中的平行与垂直关系,FGAB，又AB平面A1ABB1，FG平面A1ABB1，FG平面A1ABB1.又EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，平面EFG平面A1ABB1.EF平面EFG，EF平面A1ABB1.,G,F,热点突破,热点三平行与垂直的综合问题,微题型3折叠问题中的平行与垂直关系,解题方法(1)线线垂直线面垂直；(2)等积转化法VADEFVDAEF.,G,F,热点突破,热点三平行与垂直的综合问题,(1)证明因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.BEBDB，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.,微题型3折叠问题中的平行与垂直关系,热点突破,热点三平行与垂直的综合问题,(2)解设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，,微题型3折叠问题中的平行与垂直关系,因为AEEC，,由BE平面ABCD.,热点突破,热点三平行与垂