第三章--结构地震反应分析与抗震验算3—2--单自由度体系的弹性地震反应分析

32单自由度弹性体系的地震反应分析与抗震设计反应谱,本节内容,3.2.1结构的质量模型及节点运动自由度3.2.2单自由度弹性体系的地震反应分析理论解析法,3.2.3自由度弹性体系的地震反应分析数值时程分析法3.2.4水平与竖向地震动的反应谱3.2.5水平抗震设计反应谱3.2.6竖向抗震设计反应谱3.2.7单自由度弹性体系地震作用标准值的计算,引言,某些简单的建筑结构，例如等高单层厂房，因其质量绝大部分集中于屋盖，故在进行地震反应分析时，可将该结构中参与振动的所有质量按动能等效的原理全部折算至屋盖，而将柱视作一无重量的弹性直杆，这样就形成了一个单质点弹性体系。若忽略杆的轴向变形，当该体系只做水平单向振动时，质点只有单向水平位移，故为一个单自由度弹性体系。又如水塔，因其质量绝大部分集中于塔顶储水柜处，故亦可按单质点体系来分析其振动。,3.2.1结构的质量模型及节点运动自由度,进行结构地震反应分析的第一步，就是确定结构动力计算简图。,由于结构的惯性是结构质量引起的，因此结构动力计算简图的核心内容是结构质量的描述。,如采用连续化方法描述结构的质量，结构的运动方程将为偏微分方程的形式，而一般情况下偏微分方程的求解和实际应用不方便。,因此，工程上常采用集中化方法描述结构的质量，以此确定结构动力计算简图。,采用集中质量方法确定结构动力计算简图时，需先定出结构质量集中位置。可取结构各区域主要质量的质心为质量集中位置，将该区域主要质量集中在该点上，忽略其他次要质量或将次要质量合并到相邻主要质量的质点上去。,确定结构各质点运动的独立参量数为结构运动的体系自由度,几种典型结构的计算简图如下：,3.2.1结构的质量模型及节点运动自由度,3.2.1结构的质量模型及节点运动自由度,3.2.2单自由度弹性体系的地震反应分析理论解析法,质点位移,质点加速度,惯性力,弹性恢复力,阻尼力,运动方程,取质点作隔离体，由动力学可知，此时刻作用在它上面的力有三种，即惯性力、弹性恢复力及阻尼力。,3.2.2单自由度弹性体系的地震反应分析,一.单自由度体系的自由振动,（1）无阻尼时,（2）有阻尼时,3.2.2单自由度弹性体系的地震反应分析,时,自振周期只与体系的质量和刚度有关，质量越大，周期越长，而刚度越大，周期越短。自振周期是结构的一种固有属性，是结构本身的一个很重要的动力特征。,重要结论：,【例3-1】已知一水塔结构，可简化为单自由度体系见图3-1a）。m10000kg，1Ncm，求该结构的自震周期。,【解】直接由式（3-2-16），并采用国际单位可得,3.2.2单自由度弹性体系的地震反应分析,二、单自由度体系的受迫振动（地震作用下）,将荷载看成是连续作用的一系列冲量，求出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移。,（1）.瞬时冲量的反应,a.t=0时作用瞬时冲量,b.时刻作用瞬时冲量,(2).动荷载的位移反应,-杜哈美积分,计阻尼时,若t=0时体系有初位移、初速度,b.时刻作用瞬时冲量,三、单自由度体系地震作用分析,运动方程,或,其中,由Duhamel积分可得零初始条件下质点相对于地面的位移为,最大位移反应,质点相对于地面的速度为,质点相对于地面的最大速度反应为,质点的绝对加速度为,质点相对于地面的最大加速度反应为,最大相对速度,最大加速度,最大反应之间的关系,在阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是结构周期的函数。,单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应与体系自振周期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。,最大相对位移,3.2.4水平与竖向地震动的反应谱,位移反应谱,相对速度反应谱,绝对加速度反应谱,相对位移反应谱,绝对加速度反应谱,相对速度反应谱,地震反应谱的特点,1.阻尼比对反应谱影响很大,2.对于加速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期急剧增大，大于某个值时，快速下降。,3.对于速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期增大，随后趋于常数。,4.对于位移反应谱，幅值随周期增大。,不同场地条件对反应谱的影响,将多个地震反应谱平均后得平均加速度反应谱,地震反应谱是现阶段计算地震作用的基础，通过反应谱把随时程变化的地震作用转化为最大的等效侧向力。,结构的阻尼比和场地条件对反应谱有很大影响。,地面水平运动时，作用于单自由度体系质点上的惯性力F(t)为,上式为任意时刻作用于单自由度体系质点上的惯性力，也就是地震作用。,但是在结构抗震设计中，只需求出水平地震作用的最大绝对值，即质点质量m与最大绝对加速度的乘积。,3.2.4水平与竖向地震动的反应谱,为便于求地震作用，将单自由度体系的地震最大绝对加速度反应与其自振周期T的关系定义为地震加速度反应谱，或简称地震反应谱，记为Sa(T)。即,这样，地震作用就可表示为,3.2.4水平与竖向地震动的反应谱,Sa(T)的意义与影响因素地震加速度反应谱可理解为一个确定的地面运动，通过一组阻尼比相同但自振周期各不相同的单自由度体系，所引起的各体系最大加速度反应与相应体系自振周期间的关系曲线，如图3-7所示。影响地震反应谱的因素有两个：一是体系阻尼比，二是地震动。一般体系阻尼比越小，体系地震加速度反应越大，因此地震反应谱值越大，如图3-8所示。地震动记录不同，地震反应谱也将不同，即不同的地震动有不同的地震反应谱。而地震动特性有三要素：振幅、频谱和持续时间。振幅主要影响地震反应谱值的大小，频谱影响着反应谱“峰值”的位置，但持续时间则影响不大。,3.2.4水平与竖向地震动的反应谱,3.2.4水平与竖向地震动的反应谱,当进行结构抗震设计时，由于无法确知今后发生地震的地震动时程，因而无法确定相应的地震反应谱。因此，地震反应谱直接运用于结构的抗震设计有一定的困难，而需专门研究可供结构抗震设计用的反应谱，称之为设计反应谱。式=()不便直接应用。因此对于一般房屋结构的抗震设计，抗震规范提供了供设计使用的地震影响系数a，设=/，则,下面讨论a的确定：为此，引入表示地面振动强弱的地面运动最大加速度和重力加速度g，将上式改写为,式中G体系重量；k和（T）分别称为地震系数和动力系数，它们均具有一定的物理意义，反映了与地震影响系数有关的因素。,3.2.4水平与竖向地震动的反应谱,一般，地面运动加速度峰值越大，地震烈度越大，即地震系数与地震烈度之间有一定的对应关系。根据统计分析，烈度每增加一度，地震系数大致增加一倍。我国抗震规范规定的对应于各地震基本烈度的k值，如表31所示。从表中可以看出，地震系数反映某地区基本烈度的大小，当基本烈度确定后，地震系数为常数。,1、地震系数,3.2.4水平与竖向地震动的反应谱,2、动力系数,3.2.4水平与竖向地震动的反应谱,(T)与T构成一一对应的函数关系，如以(T)为纵坐标，T为横坐标，则可得到一条(T)与T的关系曲线，即-T曲线。对于不同的值，就可以得到不同的这种曲线。这类曲线称为动力系数反应谱曲线(或谱曲线)。谱曲线有如下特点：(1)谱曲线为多峰点的曲线，这是由于地面运动的不规则造成的。(2)当结构自振周期小时，随着周期的增大急剧增长，至峰值后，随着周期的增大逐渐衰减，而且渐趋平缓。,(3)阻尼比值对谱曲线影响很大，它不仅能降低的幅值，而且可以削平不少峰点，使谱曲线变得平缓。,3.2.4水平与竖向地震动的反应谱,因此，为了满足一般房屋结构抗震设计的需要，应从大量强震地面运动加速度记录算出对应于每一条记录的谱曲线，按照影响谱曲线形状的因素进行分类，然后按每种分类进行统计分析，求出最有代表性的平均曲线作为设计依据，这种曲线称为标准反应谱。如图3-11所示。,3、水平地震影响系数,单自由度体系水平地震作用,3.2.4水平与竖向地震动的反应谱,建筑结构地震影响系数曲线,抗震设计反应谱,曲线中各符号的含义如下：,3.2.5水平抗震设计反应谱,-地震影响系数；,-地震影响系数最大值；,括号数字分别对应于设计基本加速度0.15g和0.30g地区的地震影响系数,-结构周期；,取值如下表,-特征周期；取值如下,3.3.4抗震设计反应谱,-曲线下降段的衰减指数；,-直线下降段的斜率调整系数；,-阻尼调整系数，小于0.55时，应取0.55。,3.2.6竖向抗震设计反应谱,地震动是多分量的，其中包括两个水平分量和一个竖向分量。竖向地震作用下单自由度体系的地震反应分析与水平地震作用下的分析方法一样，只是结构参数和地震动输入有别。（1）竖向地震动加速度峰值()与水平峰值之比一般为1/21/3，抗震设计中统一取()=23()（2）取=2.25，竖向地震影响系数最大值为,3.2.6竖向抗震设计反应谱,3.2.7单自由度体系地震作用标准值计算,一、单自由度体系水平地震作用标准值,二、单自由度体系竖向地震作用标准值,式中，GE重力荷载代表值，确定方法如下：,进行结构抗震设计时，所考虑的重力荷载，称为重力荷载代表值。它包括恒载（自重）和活载（可变荷载）两种，其中，地震发生时，活载不一定达到标准值的水平，一般小于标准值，因此计算重力荷载标准值时可对活载进行折减。抗震规范规定按下式计算,3.2.7单自由度体系地震作用标准值计算,重力荷载代表值GE的确定,-第i个可变荷载标准值；,-第i个可变荷载的组合值系数；,表3-12荷载组合系数,（1）求结构体系的自振周期,（2）求水平地震影响系数,查表确定,【例3-2】：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，类场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚度=/=2.6104kN.m,阻尼比为0.05。试