工程力学电子教案第七章（全沅生周家泽主编）

重点：弯曲的概念梁的内力计算、强度、刚度计算作为本章的重点。第7章弯曲7.1弯曲概念工程中有许多元件可以承受弯曲。下图所示。弯曲：构件承受与轴垂直的外力时，或承受轴所在平面内作用的力时，其轴弯曲为曲线。在上图中，根据支撑分为简支梁、悬臂梁和挤出梁。也是静态梁。约束还必须考虑通过静态平衡方程变形的静态梁或静态梁。梁的负载包括分布力q、集中力f、集中力偶m等。焦点：平面弯曲、平面弯曲和倾斜弯曲(取决于载荷作用位置)。平面弯曲：梁的横截面具有对称轴，所有横截面的对称轴构成了垂直对称面，所有外力垂直于梁的轴，作用于同一对称面，梁弯曲后，该轴弯曲为平面曲线，并位于杆平面内。7.2梁的内力和内力7.2.1剪切力和弯矩也使用截面法研究梁的左截面。创建表达式：Fs=FM=Fx其中Fs-剪切力；M-弯矩。两者都是总的弯曲内力。焦点：7.2.2剪切，弯矩正符号规则当截面外部法线与剪切力顺时针旋转900度时，剪切力为正，相反为负。剪应力等于正值和负值。使元件向上凹进正数或负数。请参阅上面的两幅图。此规则非常重要，对梁的变形有特殊的机械意义。7.2.3根据截面剪切和弯矩确定剪切力和弯矩符号规则，使用截面方法指定截面剪切和弯矩的步骤如下：(1)在指定位置切割轮廓。(2)剪切中的剪切力、弯矩、集中：绘制正向未知的剪切Fs和弯矩m。(3)应用平衡方程 fy=0和 MC=0计算剪切和弯矩值。示例7-1图7-8中所示的简支梁寻找横截面1-1中的剪切力和弯矩。解决方案：计算约束反作用力。取图b并生成方程式。fy=0；fa-f FB=0ma=0；-Fl/2 FBl=0解决方案：FA=FB=F/2剪切1-1时的剪切和弯矩。简单的左侧部分作为对象导入。建立方程式：fy=0；fa-fs=0MC=0；-FAa M=0解决方案：Fs=F/2，M=Fa/2，中点：示例7-2使用图7-9所示的连续载荷q，集中力F=ql，无限接近支撑a的截面2-2，中间截面3解法：寻找支撑反作用力。 ma (f)=0，-q2ll Fl FB2l=0(错误)fy=0，fa f B- Q2-f=0 FB=QL/2；FA=5ql/2截面1-1上的内力fs1，M1，表达式：在dx KKfy=0，fa-QL-f-fs3=0 m (f)=0，-FAl ql.l/2 F.2l M3=0表示fs3=QL/2；M3=ql2/2，焦点：示例7-3图7-10所示的悬臂求出和比较a、b、c左右两侧的内力。解决方案：计算固定端点约束反作用力。如图b所示。建立方程式：fy=0，f-fc=0 MC=0，f.2l m-MC=0解决方案：Fc=F，Mc=3Fl计算a端面的内力。如图c所示。建立方程式：有关具体的故障排除步骤，请参阅教科书。中点：7.2.4任意截面的剪切力和弯矩表达式剪切方程，弯矩方程一般来说，梁内的剪切力和弯矩取决于截面的变化，并通过剪切方程和弯矩方程说明其变化。Fs=Fs(x)，M=M(x)表示整个梁，因此表示截面中的剪切力和弯矩。如上例所示，在集中力、分布力和力的作用下，左右剪切力、弯矩不相等，载荷起始侧和结束侧的截面称为控制面。范例7-4度7-11中展示的悬臂梁建立梁的剪切方程式、弯矩方程式。解决方案：确定分割区。只有AB端点，不需要线段。只有a，b的两个作用点。控制面，焦点：1-1，2-2。建立座标系统Ox。应用截面方法。在任意点x切割梁，并使用左侧线段作为研究目标，在截面中显示剪切力Fs(x)、弯矩M(x)的正向，如图b所示。建立方程式：fy=0，-f-fs (x)=0(错误)mxc=0，f.x m (x)=0解决方案：Fs(x)=-对于M(x)=-Fx，剪切方程式和弯矩方程式分别为Fs(x)=-F(误差)(0xl-)；m(x)=-Fx(0xl-)。可写：Fs(x)=-F(错误)(0xl)；m(x)=-Fx(0xl)。焦点：示例7-5简支梁应力创建集中力F=8kN、力偶M=10kN.m的梁的剪切方程、弯矩方程，如图7-12所示。解决方案：查找约束反作用力。以梁为研究对象。建立方程式：fy=0，fa f b-f=0 ma (f)=0，fb3-f1-m=0解决方案FA=4kN；FB=6kN段剪切表达式，创建弯矩表达式AC段：图b . 0x11mfy=0，fa-Fs(x1)=0M=0，-Fas fa-f-Fs(x3)=0-M=0，-fax 3f (x3-1)-m (x3)=0解释的Fs(x3)=-6kN，-fax 3f 建立此梁的剪切方程式、弯矩方程式。解决方案：查找约束反作用力。图b .创建表达式：fy=0，-fa f b-f=0 ma=0，-m fbl/2-fl=0，中点：FB=4F，FA=3F分段图a中有6个控制平面，实际上除以3个区段即可。CA段。图c，0x1l/2，建立方程式：fy=0，-Fs(x1)=0 m=0，-m (x1)=0解决方案Fs()图d，l/2x2l，创建表达式：fy=0，-fa-Fs(x2)=0M=0，-m fa (x2)图e，lx23l/2，建立方程式：fy=0，-fa f b-fs (x3)=0 m=0，-M fa(x3-x3)(2)坐标系左端作为原点；(3)根据载荷情况分段；(4)分别计算每个剖面的剪切方程式和弯矩方程式。即使梁更长、载荷更复杂，也可以使用右端的坐标进行对象研究。焦点：7.2.5剪切力和力矩表达式通过根据剪切力、力矩、力矩表达式在梁上绘制内力分布，可以直观地查看梁的力情况。示例7-7绘制了7-14所示的集中力作用的简支梁的剪切力、力矩图。解决方案：查找约束反作用力。图b，创建表达式。 ma=0，-fa FB (a b)=0 ma=0，Fb-FA(a b)=0解决方案FA=bF/(a b)，FB=aF/(a b)图c . Fs(x1)=fa；M(x1)=FAx1CB线段。图d . Fs(x2)=fa-f；M (x2)=剪切力，力矩图使用fax 2-f (x2-a)。根据计算结果，在梁上绘制剪切和弯矩(请参见图e、f)。示例7-8绘制了7-15所示的均布载荷简支梁的剪切力和力矩图。解决方案：计算约束反作用力。图b .创建可计算表达式：FA=FB=ql/2剪切表达式，弯矩表达式，图c . Fs(x)=FA-qx=QL/2-qxm(x)=fax-qxx中点：剪切力为0至最大。也就是说，x=l/2。Mmax=ql2/8示例以7-9度7-16所示的集中力对运行的简支梁。建立剪切力、力矩图表。解决方案：查找约束反作用力。图b .生成表达式：FA=FB=M/l剪切表达式，创建弯矩表达式。熟练后，可以直接写内力方程，不必再切断截面。fs(x1)=-fa=-m/l(0x1l/3)m(x1)=-fax 1=-mx1/l(0)图c，d .示例7-10如图7-17所示，拉伸梁，AB段为均布载荷q，拉伸终点c为集中力对，M=ql2。确定此梁的剪切力、力矩和 Fs max和 M max的值。解决方案：查找约束反作用力。图b .从方程式导出：FA=ql/2，FB=3ql/2建立剪切方程式，弯矩方程式：fs(x1)=-FA-qx1=-QL/2-qx1m(2弯矩最大值M max=ql2。7.3剪切、弯矩和载荷集之间的微分关系假定任意载荷m、f、q(x)作用于梁，取坐标系Axy，图a。在x中取微段dx时，假设q(x)连续。此段左侧和右侧的剪切力为Fs(x)、Fs(x) dFs(x)、弯矩为M(x)、M(x) dM(x)、方程式。fy=0，fs (x) q (x) dx-fs (x) DFS (x)=0，即：=q(x)，中点：-MMS=Fs(x)表示剪切方程的一阶导数等于载荷集度，弯矩方程的一阶导数等于剪切方程，二阶导数等于载荷集度。这是载荷的微分关系。示例7-11梁AB及其剪切力、力矩图如图7-19所示。在上例中，总结了载荷分叉处的内力特性，并使用弯矩、剪切力和线分布力集之间的微分关系验证了图c，d的准确性。解决方案：1，集中力的用处，剪切力想拥有突然的跳跃。重点是，突然的跳跃量等于其作用下的集中力值，力矩地图上有尖点，但连续但不光滑；2、在集中偶作用下，剪切力不受影响，力矩图中有突然的跳跃，突然的跳跃量等于这里的集中双力矩；3、均布载荷的起点和终点在剪切力上具有尖锐点，弯矩插图是直线和抛物线的平滑连接。7.4梁剪力和力矩图，复叠方法透过复叠每个个别负载的剪切力、弯矩图，更直观。示例7-12使用叠加方法绘制7-20所示的梁的力矩图。解法：您可以在梁上分别载入集中力和连续负载，绘制梁对集中力和连续负载的力矩图，然后执行正负复叠。图c是合成后的力矩图。焦点：7.5弯曲法向应力7.5.1弯曲法向应力公式梁的强度计算与拉伸压力，扭转一样，需要分析截面应力情况。根据该值确定强度。横向弯曲：剖面既有剪切力，也有弯矩。纯弯曲：仅截面，焦点：弯矩，无剪切力。本节重点介绍纯弯曲。图7-21中所示的矩形轮廓在变形时上部缩短，下部延长，截面线为中性轴z的中性层，应力必须是线性关系。=e。选择任意点dA距离中性轴y，y。负载m越大，正应力也越大。截面的Iz越大，正应力越小。Iz是截面轴惯性矩。弯曲法向应力公式为=my/iz (7-1)，仅适用于弹性范围内的弯曲。7.5.2惯性矩1，简单截面惯性矩1)，矩形截面宽度，高度分别为b，h。寻找剖面相对于z轴线的惯性矩。取微面元素dA=bdy。中点：Iz=相同y轴的惯性矩为Iy=2)圆形截面对称，Iy=Iz，微段da，2=y2z2，因此I A=Iy Iz，Iy其中D-空截面的外径；d型腔截面内径；-内部外径的比率，32;=D/D/D .惯性矩的尺寸为长度4。中点：2，复合剖面的惯性矩工程实际上，许多元件断面是称为复合剖面的简单图形的组合。I形梁、通道、角钢等。1，如果部件公式的一个截面中有多个简单图形，则惯性矩是各个图形惯性矩的总和。Iz=(7-2)2，平移轴公式相关参数如图7-24所示。惯性矩为Iz=，其中izc=；=0(zc表示质心轴)=A，中点：Iz=Izc a2A是平移轴定理，其中每个轴的截面惯性矩等于质心轴平行的惯性矩与附加项的总和，附加项等于截面与2轴距离的2次幂的乘积。从上面看，截面相对于中心轴的惯性矩最低。示例7-13图7-25中显示的t形截面。寻找剖面相对于中心轴线z的惯性矩Iz。解决方案：取“坐标系Oyz”并将截面分割为、两部分。单独计算：a1=6020mm 2=1200 m2 YC 1=20/2mm=10mm a2=4020mm 2=800mm 2 YC 2=(40/2)mm=40mm，中点根据组合公式，iz=iz (I) iz (ii)轴z不是两部分的中心轴，因此需要转换。iz(I)=60203/12(22-10)21200=21.28904mm 4 iz(ii)=20403/12(40-22)22示例7-14图7-26显示了字体部分。寻找中心轴线YC，ZC的剖面惯性矩Iyc，Izc和y，z轴线的惯性矩Iy，Iz。解决方案：找到Iyc。将截面分为、三部分。Yc轴是中心轴和三截面对称轴。例如，中点：iyc=iyc(I)iyc(ii)iyc(iii)=2=3hb 3/64 Izc。可以理解为大矩形减去两个小矩形。因此，寻找Izc=Izc(a1)-2izc(a2)=bh3/12-2=5 BH 3/64 Iy，iz。y和YC匹配，因此Iy=Iyc=3bh 3/64 A=BH-2b/4h/2=3bh/4(错误)为：iz=izc a2a=5b H3/64(h/2)23bh/4=17 BH 3/64，中点：7.5.3弯曲法向应力公式的应用示例7-15支架