向量值函数的导数与积分

第九章向量值函数的导数与积分,9.1向量值函数及其极限与连续,9.2向量值函数的导数与微分,9.3向量值函数的不定积分与定积分,9.2向量值函数的导数与微分,9.2.1向量值函数的导数与微分,内容小结与作业,9.2.2空间曲线的切线及法平面方程,1向量值函数导数与微分的概念,义，如果极限,存在，,则称向量值函数r(t)在t处可导，,并称极限值为,向量值函数r(t)在t处的导数，,记为,或者,数r(t)在t处可导，则r(t)在t处连续.,9.2.1向量值函数的导数与微分,与一元数量函数类似，可以进一步定义向量值函数的,高阶导数，如r(t)的二阶导数定义为,的导数,即:,向量值函数的导数的几何解释,（a）二维向量值函数的情形,（b）三维向量值函数的情形,如果点P和Q的位置向量为r(t)与r(t+t),那么,这个向量可以看作是割线向量,趋于曲线在点P处的切线向量,线这样,曲线r(t)在点P处的切向量为,向量值函数的导数的物理意义:,r(t)表示在平面上与空间中运动的质点在t时刻的位置,对应的几何曲线为质点的运动轨迹,是质点在时间段t,t+t上的位移,是质点在这段时间内的平均速度，,是质点在时刻t的瞬时速度v(t)，即,速度的方向或质点运动的方向是运动轨迹的切线方向,是质点在时刻t的瞬时加速度a(t).,向量值函数的导数可通过计算其分量函数的导数得到.,其中各分量函数在点t处可导,则r(t)在点t处可导,且,定理9.2.2设三维向量值函数,同样，对于可导的二维向量值函数有类似的结论.,例1计算下列向量值函数的一阶及二阶导数：,解,这里,(1)中的二维向量值函数对应的图形是二维平面上的椭圆曲线;(2)中的三维向量值函数对应的图形是三维空间上的螺旋曲线,且在区间I内,光滑的,例如，例1中的椭圆曲线与螺旋曲线都是光滑的,一条曲线如果由多个光滑的片段组成，那么就称这条曲线为分段光滑曲线,解因为,光滑的曲线在点(1,0)(对应t=0)突然改变了方向，,在曲线上出现了尖点的特征,所以，该曲线不是,解质点的速度为,质点的速率为,质点的加速度为,质点的速度、加速度与速率,可导的向量值函数r=r(t)的微分定义为,对于可导的二维向量值函数,对于可导的三维向量值函数,对于二维向量值函数与三维向量值函数，dr是一个与,当dt0时,dr与,数值函数，,设u(t),v(t)为可导的向量值函数，,常数，则有,定理9.2.1,C为常向量(即C的各分量都为常数),k为,f(t)为可导,2向量值函数的求导法则,(7)链式法则：设u(s)为可导的向量值函数，s=f(t),为可导的数值函数，则,例4,设r(t)是可导的向量值函数，且,如果,证因为,则由求导法则(5)知,因此，,几何意义:如果一条曲线位于一个以原点为球心的,例5如果质量为m的质点的位置向量为r(t),角动量,转动力矩为,证明：,证由求导法则（6），知,注意到,则,特别，当M(t)=0时,从而L(t)为常向量.,这就是物理学中的角动量守恒定律,向量为,称过点P且与向量T(t)垂直的平面为空间曲线的,法平面，其方程为,9.2.2空间曲线的切线与法平面,切线方程与法平面方程,且点(1,1,1)与t=1对应,所以，在点(1,1,1)处曲线的切线向量为,因此，所求切线方程为,解因为,所求法平面方程,即,内容小结与作业,作业:教材80-82页1(1)(