2020安庆二模理科数学试题参考答案.pdf

1 2020 年安庆市高三模拟考试年安庆市高三模拟考试 数学试题（理科）参考答案数学试题（理科）参考答案 第第 I 卷卷 一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 题号123456789101112 答案ACAABDDBCCCD 1.A.解析：1xxA，16xxB，所以AB =11xx.故选 A. 【考查目标】考查集合的表示方法和集合交集的运算，同时也考查一元一次不等式、一元【考查目标】考查集合的表示方法和集合交集的运算，同时也考查一元一次不等式、一元 二次不等式解集的计算方法二次不等式解集的计算方法. 2.C.解析：i1 i1 2 i1 2 3 z，其虚部为1，A 错； 22 112z ，B 错； 2) i1)(i1 (zz，C 正确；2i 2) i1 ( 22 z，D 错误.故选 C. 【考查目标】考查复数的概念、运算及其性质【考查目标】考查复数的概念、运算及其性质. 3.A.解析：p：12x，q：0 x ，而 120 xxx x ，所以p是q成立的充 分不必要条件.故选 A. 【考查目标】考查对数函数、指数函数的性质，简单的逻辑用语【考查目标】考查对数函数、指数函数的性质，简单的逻辑用语.考查考生的计算能力考查考生的计算能力. 4.A.解析：函数)(xf的定义域为1xRx，且为偶函数，排除选择支,C D；当 1，x时，( )0f x ，排除 B，故选 A. 【考查目标】考查函数的概念、奇偶性，考查考生对函数图像的分析及计算能力【考查目标】考查函数的概念、奇偶性，考查考生对函数图像的分析及计算能力. 5.B.解析：设公比为q，则 2 554 2aaa，所以 2 1 4 5 a a q， 2 15 1 )1 ( 4 1 q qa ，解得4 1 a， 2 2 a， 2 1 4 a， 2 5 42 aa，故选 B. 【考查目标】考查等比数列的概念、通项公式与前【考查目标】考查等比数列的概念、通项公式与前n项和公式等基础知识，考查学生的逻项和公式等基础知识，考查学生的逻 辑思维能力和运算求解能力辑思维能力和运算求解能力. 6.D.解析：从图中可以看出，农村居民人均生活消费支出呈增长趋势，故 A 正确；根据“农 村居民人均食品支出总额=农村居民人均生活消费支出恩格尔系数”， 计算可得农村居民人 2 均食品支出总额呈增长趋势，故 B 正确； 年份1983198719911995199920032007201120152017 农村居民人均生活消费支出2122834927368959422016340874869050 恩格尔系数67616156525052494243 农村居民人均食品支出总额142.0172.6300.1412.2465.44711048.3 1669.9 3144.1 3891.5 农村居民人均生活消费支出 比较上一统计数据的增长量 71209244159471074139240781564 2011 年至 2015 年农村居民人均生活消费支出增长 4078 元，为最快；故 C 正确；2015 年到 2017 年农村居民人均生活消费支出增长比率为%892.20 7486 74869050 ，人均食品支出总 额增长比率为%771.23 %42. 07486 %42. 07486%43. 09050 ，故 D 错误.选 D. 【考查目标】考查统计图的应用，考查学生【考查目标】考查统计图的应用，考查学生“读图识图读图识图”的能力和从统计图中提取数据的能的能力和从统计图中提取数据的能 力力. 7.D 解析： 方法一： 折起的如图所示， 其中 1 O， 2 O分别为正方形AEFD 和BCFE的中心,O为过A，B，C，D，E，F六点的球的球心， G为EF中点，则 1 OO， 2 OO分别垂直于这两个平面，且 12 60OGOOGO ，所以 111 tan3OOOGOGO， 而 1 1 2 2 O AAF，所以 22 11 5OAOOO A，所以球的表面积为 2 420OA. 方法二：易知折叠后图形为三棱柱，将其补形为四棱柱，底面为菱形， 且 120AEB，2HDHFHCGAGEGB，因此球心 为GH的中点， 22 =5DODHHO，所以球的表面积为 2 420OA.故应选 D. 【考查目标】考查了直棱柱和球的相关概念，考查了考生逻辑推理能力、运算求解能力以【考查目标】考查了直棱柱和球的相关概念，考查了考生逻辑推理能力、运算求解能力以 及分析问题和解决问题的能力及分析问题和解决问题的能力. 8.B.解析：12cos)(xxf， 由其最小正周期为， 有1， 所以12cos)(xxf， 将其图象沿x轴向右平移m（0m）个单位，所得图象对应函数为 1)22cos(mxy，其图象关于 3 x 对称，则有1)2 3 2 cos( m， 3 Zkkm,2 3 2 ，Zk k m, 2 3 ，由0m，实数m的最小值为 3 .选 B. 【考查目标】本题考查考生对正弦型三角函数的图像与性质（对称性、周期性、单调性）【考查目标】本题考查考生对正弦型三角函数的图像与性质（对称性、周期性、单调性） 的掌握情况的掌握情况.考查考生对三角函数三种表征考查考生对三角函数三种表征（零点零点、对称轴对称轴、单调性单调性）的理解与转换的理解与转换.考查考考查考 生对三角函数的数形结合思想、基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力生对三角函数的数形结合思想、基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力. 9.C.解析：根据框图可知，判断是闰年的条件是年份能被 4 整除但不能被 100 整除，或者能 被 400 整除由2000(1) 43000n，得251n ，所以在 20003000 年中，年份能 被 4 整除个数是 250. 同理可得，在 20003000 年中，年份能被 100、400 整除个数分别是 10 和 3，所以闰年的个数为250 103243，故应选 C. 【考查目标】本题考查考生对程序框图基本逻辑结构的理解和掌握，考查算法的含义和算【考查目标】本题考查考生对程序框图基本逻辑结构的理解和掌握，考查算法的含义和算 法思想法思想. 10.C.解析：连接FA，因为F就是圆 2 2 2 24 pp xy 的圆心， 所以FAKA，且 2 p FA . 又KFp，所以30AKF，那么60AKB， 所以AKB是等边三角形，所以 3 2 ABAKp . 又3AB ，所以2p .故应选 C. 【考查目标】考查抛物线的标准方程、焦点、准线以及圆有关的概念，考查数形结合的思【考查目标】考查抛物线的标准方程、焦点、准线以及圆有关的概念，考查数形结合的思 维方法和考生对数量关系的分析能力维方法和考生对数量关系的分析能力. 11.C.解析： 如图 1， 取AD中点M， 连接 1 MD与MQ， 则 11 /CDMQ，B 平面 11 MQC D， 则PQ与 1 BD异面， 矛盾， 故错误； 如图 2， 取CD中点R， 易得平面/PQR平面DDBB 11 ， 4 故正确； 若正确， 则CBPQ 1 ,则CBQC 11 ， 矛盾， 故错误； （另解： 由结论 1 BD 平面CAB1和知 1 PQBD，不平行也可判断错误）.如图 2， 111 11111 (1) 322224 DPQBCPQBP C QB VVV 三棱锥三棱锥三棱锥 ，故正确.（也可以 这样判断： 如图 3， 过点B作 1 C Q的垂线， 垂足为H， 11 BHC D， 因此，BH平面 1 DPQ， 5 5 BH， 1 5 2 CQ， 11 11 1 1551 33 2 22524 DPQD PQB VSBH 三棱锥 . 或者 QBCPQBCDPQBD VVV 1111 三棱锥三棱锥三棱锥 24 1 2 1 4 1 3 1 3 1 1 1 PDS QBC ）.故选 C. 【考查目标】本题侧重于考查考生对立体几何中的直线与直线、直线与平面的位置关系以【考查目标】本题侧重于考查考生对立体几何中的直线与直线、直线与平面的位置关系以 及空间几何体的体积的计算，考查考生的空间想象能力和转化能力及空间几何体的体积的计算，考查考生的空间想象能力和转化能力. 12.D.解析： 方法一： 当0a时， 不符合题意； 当0a时， 考查函数xxgln)(与axxh)( 图象易知，)(xg与)(xh图象在区间) 10( ，上必有一个交点，则在区间)1 (，上有且仅有一 个公共点，当)1 ( ，x时，axxxf ln)(， x ax xf 1 )( ， 则)(xf在) 1 0( a ，上单调递增，在) 1 (， a 上单调递减，所以 1 1 ln) 1 ()( max aa fxf，则只需01 1 ln a ，故 e 1 a，当 ) 10( ，x时，xxxf e 1 ln)(，易知0 e 1 1) e 1 ( 2 f， 0 e 1 ) 1 (f，可知），（1 e 1 1 x. 方法二：令( )ln0f xxax， x x a ln ，令 10 ln 1 ln ln )( x x x x x x x x xg ， ， ，作出 图象如下， 可知函数)(xg在e1，上单调递增， 在，e单 调递减，在10，上单调递减，由题意可知， lne1 ee a ， 而 3 3 e3 e 1 g 2 2 e2 e 1 g e 1 e e 1 g，故应选 D. 【考查目标】本题考查对数函数的概念与性质，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力【考查目标】本题考查对数函数的概念与性质，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力 以及综合运用数学知识灵活解决问题的能力，考查数形结合的思想以及综合运用数学知识灵活解决问题的能力，考查数形结合的思想. 5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.3.解析：由于2a，160cos baabaa，所以1 2 baa，所以3ba. 【考查目标】本题考查平面向量的概念，代数运算以及向量模的基础知识，考查考生的逻【考查目标】本题考查平面向量的概念，代数运算以及向量模的基础知识，考查考生的逻 辑思维能力和运算求解能力辑思维能力和运算求解能力. 14.16.解析：方法 1：设公差为d，由 111162 32aaaa得dad30231 1 ，故 015 116 daa，0312 11716 daaa，即0 1617 aa，所以16n时， n S取 得最大值. 方 法 2 ： 设 公 差 为d， 由 111162 32aaaa得dad30231 1 ， 故0d， 且 2 31 15 1 d a ， 又因为n d an d Sn) 2 ( 2 1 2 ， 其对应为二次函数x d ax d y) 2 ( 2 1 2 的 图像开口向下，对称轴为 d a x 1 2 1 16 2 31， ，故16n时， n S取得最大值. 【考查目标】考查等差数列的概念，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力【考查目标】考查等差数列的概念，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力. 15. 4 9 . 解析：设 12 2 ,2ACr BCr，则 12 22ABrr， 21 2rr ，于是阴影部分的面积为 21 2 2 2 1 2 21 2 2 2 )( rr rrrr ，于是所求概率为 9 4 )3( 4 )( 2 2 )( 2 2 2 2 2 21 21 2 21 21 r r rr rr rr rr P. 【考查目标】本题考查几何概型与几何概率的计算，考查学生的逻辑思维能力、运算求解【考查目标】本题考查几何概型与几何概率的计算，考查学生的逻辑思维能力、运算求解 能力以及分析问题和解决问题的能力能力以及分析问题和解决问题的能力. 16.51.解析： 延长 2 F P交直线tan(0) 2 yx 于点M,则由角平分线的性质可 得P为 2 MF的中点， 2 OMOFc，易得( , )M a b， 22 bca P，代入双曲线 22 22 :1 xy C ab 有 22 22 ()( ) 22 :1 acb C ab ，解得51 c e a . 【考查目标】本题考查双曲线的定义、标准方程、焦点等相关概念，考查数形结合的思维【考查目标】本题考查双曲线的定义、标准方程、焦点等相关概念，考查数形结合的思维 方法和考生对数量关系的分析能力方法和考生对数量关系的分析能力. 三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为必考题， 6 每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 17.（本小题满分 12 分） 解析： （）由 sin sinsin bcA acBC ，根据正弦定理得 222222 bca bcaacacbac acbc ， 根据余弦定理得 222 1 cos 22 acb B ac ，由0 B，所以 2 3 B . 5 分 （）由 1315 3 sin 244 ABC SacBac ，得15ac . 又15abc， 由（）知 22222 ()15(15)15bacacacb，所以7b ， 化简得8ac.得35ac，或者53ac，. 所以37,5abc，或者57,3abc，. 12 分 【考查目标】考查正弦定理、余弦定理和考生对面积公式的合理选用情况，考查考生的运【考查目标】考查正弦定理、余弦定理和考生对面积公式的合理选用情况，考查考生的运 算求解能力算求解能力. 18.（本小题满分 12 分） 解析： （）取线段BD的中点F，连接EF，CF. 因为E是线段AD的中点，所以/ /EFAB又ABBD，所以EFBD 因为BCDC，F是BD的中点，所以CFBD 因为EF 平面ECF，CF 平面ECF，EFCFF， 所以BD 平面ECF， 而CE 平面ECF ，所以BD EC 5 分 （）令BCDCECa，则2ABBDa，那么 12 22 EFABa， 12 22 CFBDa，所以 2222 EFCFaEC，所以EFCF 又EFBD，CFBD，故可以点F为原点，射线FC、FD、 FE分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示 则 2 00 2 Ba ， 2 00 2 Ca ， 2 00 2 Da ， 2 0 0 2 Ea ， 7 所以 22 0 22 BCaa ， 22 0 22 DCaa ， 22 0 22 ECaa ， 设平面BEC、平面DEC的法向量分别为 111 mxyz ， ， 222 nxyz ， ， 由 0 0 m BC m EC ，得 11 11 22 0 22 22 0 22 axay axaz ，取 1 1 1 1 1 1 x y z ，则11 1m ， ，. 由 0 0 ECn DCn ，得 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 22 22 azax ayax ，取 1 1 1 1 1 1 x y z ，则1 1 1n ，. 所以 222 1 1 1 1 1 11 cos 1113 m n m n m n ，. 故平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值为 1 3 .12 分 解法二： 令BCDCECa， 由已知及 （） 得aEDBE ， 所以BCE，CDE均为棱长为a的正三角形. 取CE中点G，则CEBG ,CEDG ，故BGD为二面角 DCEB的平面角，在BDG中，aDGBG 2 3 ， aBD2，由余弦定理可得： 3 1 2 cos 222 DGBG BDDGBG BGD, 故平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值为 1 3 .12 分 【考查目标】本题综合考查立体几何的基本知识、基本思想和基本方法，通过空间的直线【考查目标】本题综合考查立体几何的基本知识、基本思想和基本方法，通过空间的直线 与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力， 通过二面角的概念及计算考查考生的运算求解能力通过二面角的概念及计算考查考生的运算求解能力. 19.（本小题满分 12 分） 解析：（I） 由题意， 事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取 1 户， 购买量在)43 ，” 发生的概率为 4 1 p.1 分 8 记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取5户， 则至少有两户购买量在)43 ，” 为A，则 128 47 ) 4 1 1 () 4 1 1 ( 4 1 1 541 5 CAP）（ . 3 分 随机变量所有可能的取值为 0，1，2.则 10 1 )0( 3 5 3 3 C C P, 5 3 ) 1( 3 5 1 2 2 3 C CC P, 10 3 )2( 3 5 2 2 1 3 C CC P, 012 ）（P 10 1 5 3 10 3 所以 5 6 10 3 2 5 3 1)(E.7 分 （II）每天对甲类物资的购买量平均值为 5 . 315. 05 . 520. 05 . 425. 05 . 330. 05 . 210. 05 . 1（kg） 8 分 则购买甲类物资为“迫切需求户”的购买量为64 ，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切 需求户”的概率为35. 0p，若从小区随机抽取 10 户，且抽到X户为“迫切需求户”，则 )35. 0 ,10( BX，故10, 1 , 0,)1 ()( 10 10 kppCkXP kkk ，若 k 户的可能性最大， 则 ) 1()( ) 1()( kXPkXP kXPkXP ，得 kkkkkk kkkkkk CC CC 911 10 10 10 1111 10 10 10 )65. 0()35. 0()65. 0()35. 0( )65. 0()35. 0()65. 0()35. 0( ， 解得85. 385. 2k，由于 * Nk ,故3k. 12 分 【考查目标】本题考查统计与概率的基础知识和基本思想方法、二项分布的知识和应用、【考查目标】本题考查统计与概率的基础知识和基本思想方法、二项分布的知识和应用、 样本估计总体的思想与方法样本估计总体的思想与方法、随机事件概率的计算以及随机变量期望的概率的计算与应用随机事件概率的计算以及随机变量期望的概率的计算与应用， 考查考生应用所学的统计与概率知识分析问题、解决问题的能力考查考生应用所学的统计与概率知识分析问题、解决问题的能力. 20.（本小题满分 12 分） 解析： （）由 1 2 c e a ，得 1 2 ca，所以 22 3 2 baca 因为直线AB经过点F，且 12 0y y ， 9 当直线AB与x轴垂直时， 12 1 2 xxca，则ayy 4 3 21 ，且 21 yy， 所以ayAB 2 3 2 1 ，故3 2 3 a，得2a ，所以3b，1c 所以椭圆E的方程为 22 1 43 xy 4 分 （）由（）有直线4:xl，故)0 , 4(G，因为1 0F，则线段FG的中点为 5 0 2 ，. 当直线AB与x轴垂直时，1 21 xx，0 21 yy，且 2 3 21 yy， 故)1 ( 1 yA ，)1 ( 1 yB， 1 4yC， 这时直线AC的方程为1 14 11 1 x yy yy，即) 1( 3 2 11 xyyy 令0y ，得 5 2 x ，所以直线AC过线段FG的中点 当直线AB不与x轴垂直时，可设其方程为1yk x，代入 22 1 43 xy ， 整理得 2222 348430kxk xk 所以 2 12 2 8 34 k xx k ， 2 12 2 43 34 k x x k 因为 11 A xy， 22 B xy， 2 4Cy， 所以直线AC的方程为 21 11 1 4 yy yxxy x 因为 11 1yk x， 22 1yk x， 所以 21 21 1111 11 55 1 4242 k xxyy xyxk x xx 21 11 1 5 1 42 xx kxx x 21111 1 5 41 2 4 xxxxx k x 1212 1 5 4 2 4 xxx x k x 2 2 22 1 43 58 4 2 3434 4 k k kk k x 10 0 434 4343420 2 1 222 kx kkk k，这说明直线AC过点 5 0 2 ， 综上，可知直线AC过线段FG的中点 12 分 【考查目标】本题主要考查椭圆的方程、离心率以及直线与椭圆的位置关系，考查数形结【考查目标】本题主要考查椭圆的方程、离心率以及直线与椭圆的位置关系，考查数形结 合的数学思想和考生的逻辑思维能力与运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何合的数学思想和考生的逻辑思维能力与运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何 问题的能力问题的能力. 21.（本小题满分 12 分） 解析解析： （） 2 1 ( )1 axaa fxax xx （0 x ） （1）当1a时，( )0fx，( )f x在0 ，上单调递增； （2）当01a时， 1 11 ( ) aa axx aa fx x ， 所以当 1 a x a 时，( )0fx，当0 1 a x a 时，( )0fx， 所以( )f x在0 1 a a ，上单调递增，在 1 a a ，上单调递减； （3）当0a时，( )0fx，( )f x在0 ，上单调递减. 5 分 （）当1a 时，1ln)( 2 xxxf,不妨设 21 0 xx ，则 21 21 1221 )()( xmx xx xfxxfx 等价于)( )()( 12 1 1 2 2 xxm x xf x xf ， 考察函数 x xf xg )( )(， 得 2 2 2ln )( x xx xg ，令 2 2 2ln )( x xx xh ， 3 ln25 )( x x xh ，则)e0( 2 5 ，x时， 0)( xh，)e ( 2 5 ，x时，0)( xh，所以)(xh在区间)e0( 2 5 ，上是单调递增函数，在 区间)e ( 2 5 ，上是单调递减函数.故01 e2 1 )e ( )( 5 2 5 gxg，所以)(xg在), 0( 上 单调递减. 从而)()( 21 xgxg，即 1 1 2 2 )()( x xf x xf ，故)( )()( 12 2 2 1 1 xxm x xf x xf ， 11 所以 2 2 2 1 1 1 )()( mx x xf mx x xf ，即 2211 )()(mxxgmxxg恒成立， 设mxxgx)()(，则)(x在), 0( 上恒为单调递减函数， 从而0)( )( mxgx恒成立！故mxgx)( )( m1 e2 1 5 0 故m 5 e2 1 1.12 分 【考查目标】本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想，考查考生灵活运用导【考查目标】本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想，考查考生灵活运用导 数工具分析问题、解决问题的能力，综合考查考生的分类讨论思想以及逻辑推理能力、运数工具分析问题、解决问题的能力，综合考查考生的分类讨论思想以及逻辑推理能力、运 算求解能力