江苏省无锡市锡山区天一中学20182019学年高一数学下学期期末考试试题.pdf

精品文档，欢迎下载！ - 1 - 精品文档，欢迎下载！ 江苏省无锡市锡山区天一中学江苏省无锡市锡山区天一中学 2018-20192018-2019 学年高一数学下学期期末考学年高一数学下学期期末考 试试题（含解析）试试题（含解析） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 题，共题，共 6060 分）分） 1.直线350 xy的倾斜角为（） A. -30B. 60C. 120D. 150 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据直线方程求斜率，再求倾斜角. 【详解】因为350 xy，所以斜率为 3 3 ，倾斜角为 150,选 D. 【点睛】本题考查直线斜率倾斜角，考查基本转化求解能力，属基础题. 2.等比数列 n a的前n项和为 n S，若 23 0aS ，则公比q （） A.1B.1C.2D.2 【答案】A 【解析】 【分析】 将 23 0aS转化为关于q的方程，解方程可得q的值 【详解】 231123 0aSaaaa， 2 2 12311 21 210aaaaqqaq， 又 1 0a ， 1q 故选 A 【点睛】本题考查等比数列的基本运算，等比数列中共有 1, , , , nn a q n a S五个量，其中 1, a q是 基本量，这五个量可“知三求二”，求解的实质是解方程或解方程组 精品文档，欢迎下载！ - 2 - 3.已知经过两点(5,)m和( ,8)m的直线的斜率大于 1，则m的取值范围是（） A.(5,8)B.(8,)C. 13 (,8) 2 D. 13 (5,) 2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两点斜率公式解分式不等式。 【详解】由题意得 8 1 5 m m ，即 213 0 5 m m ，解得 13 5 2 m.故选 D. 【点睛】直线斜率两种计算方法：1、斜率的两点坐标公式；2、直线斜率等于直线倾斜角的 正切。 4.设 ,m n是两条不同的直线， ，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A. 若mnn ， ，则m n B. 若mn ，则m n C. 若mnnm，则n D. 若mmnn， ，则 【答案】D 【解析】 【分析】 根据线面平行的性质、面面平行的性质、面面垂直的性质、面面垂直的判定定理对四个选项， 逐一判断，最后选出正确答案. 【详解】选项 A：直线m，n还可以异面、相交，故本命题是假命题； 选项 B：直线m，n可以是异面直线，故本命题是假命题； 选项 C:当时，若m，n，nm，才能推出n，故本命题是假命题； 选项 D：因为m，/ /mn，所以n，而n，所以有，故本命题是真命题， 因此本题选 D. 精品文档，欢迎下载！ - 3 - 【点睛】本题考查了线面平行的性质、面面平行的性质、面面垂直的判定与性质，考查了空 间想象能力. 5.在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且 222 bcabc若 2 sinB sinCsin A ，则ABC的形状是（） A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角 三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理得到：bc，最后判断出三角形 的形状 【详解】在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 且b 2+c2a2+bc 则： 222 1 222 bcabc cosA bcbc ， 由于：0A， 故：A 3 由于：sinBsinCsin 2A， 利用正弦定理得：bca 2， 所以：b 2+c22bc0， 故：bc， 所以：ABC为等边三角形 故选：C 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算 能力和转化能力，属于基础题型 6.若直线220(0,0)axbyab被圆 22 2410 xyxy 截得弦长为4，则 精品文档，欢迎下载！ - 4 - 41 ab 的最小值是（ ） A.9B.4C. 1 2 D. 1 4 【答案】A 【解析】 圆 22 xy2x4y 10 的标准方程为： （x+1） 2+（y2）2 =4， 它表示以（1，2）为圆心、半径等于 2 的圆； 设弦心距为 d，由题意可得 2 2+d2=4，求得 d=0， 可得直线经过圆心，故有2a2b+2=0， 即 a+b=1，再由 a0，b0，可得 41 ab =（ 41 ab ） （a+b）=5+ 4ba ab 5+2 4 9 ba ab 当且仅当 4b a = a b 时取等号， 41 ab 的最小值是 9 故选：A 点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内 接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关 系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值； 三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 7.已知圆柱的上、下底面的中心分别为 1 O， 2 O，过直线 12 OO的平面截该圆柱所得的截面是 面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为 A.12 2B.12C. 8 2 D.10 【答案】B 【解析】 分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱 的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积. 详解：根据题意，可得截面是边长为2 2的正方形， 结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是 2的圆，且高为2 2， 精品文档，欢迎下载！ - 5 - 所以其表面积为 2 2 ( 2)22 2 212S，故选 B. 点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确 定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要 注意是两个底面圆与侧面积的和. 8.已知关于x的不等式 2 680kxkxk 对任意xR恒成立，则k的取值范围是（） A.01kB.01kC.k0或1k D.0k 或 1k 【答案】A 【解析】 【分析】 按0k ，0k ，k0分类讨论. 【详解】当0k 时，不等式为80恒成立，符合题意； 当0k 时，若不等式 2 680kxkxk 对任意xR恒成立， 则 2 364 (8)0kk k ，解得01k； 当k0时，不等式 2 680kxkxk 不能对任意xR恒成立。 综上，k的取值范围是01k. 【点睛】二次型不等式恒成立问题，要按二次项的系数分类，再结合二次函数的性质分类讨 论. 9.已知数列为等差数列， 若 11 10 1, a a 且它们的前n项和 n S有最大值， 则使得0 n S 的n 的最大值为（ ） A. 11B. 19C. 20D. 21 【答案】B 【解析】 试题分析： 根据 111011 1010 1,0 aaa aa ， 由它们的前 n 项和 Sn有最大可得数列的 d0， a10 精品文档，欢迎下载！ - 6 - 0，a11+a100，a110，a1+a19=2a100，a1+a20=a11+a100，使得 Sn0 的 n 的最大值 n=19， 故选 B 考点：本题主要考查了考查了等差数列的性质在求解和的最值中应用. 点评：解题的关键是由已知 11 10 1, a a 及它们的前 n 项和 Sn有最大,a100，a11+a100，a110， 灵活利用和公式及等差数列的性质得到 a1+a19=2a100，a1+a20=a11+a100 是解决本题的另外关 键点. 10.已知点( , )P x y是直线240 xy上一动点，直线,PA PB是圆 22 :20C xyy的 两条切线，,A B为切点，C为圆心，则四边形PACB面积的最小值是（） A. 2B. 5 C.2 5D. 4 【答案】A 【解析】 圆 22 :20C xyy即 22 (y 1)1x ,表示以C(0,-1)为圆心，以 1 为半径的圆。 由于四边形PACB面积等于 1 2 2 PAACPA，而 2 1PAPC . 故当PC最小时，四边形PACB面积最小. 又PC的最小值等于圆心C到直线240 xy的距离d,而 2 2 0 14 5 21 d ， 故四边形PACB面积的最小的最小值为 5 12 ， 故选 A. 点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法： （）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定 理可以建立等量关系； （）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小 11.数列 n a是各项均为正数的等比数列，数列 n b是等差数列，且 56 ab，则（） 精品文档，欢迎下载！ - 7 - A. 3748 aabbB. 3748 aabb C. 3748 aabbD. 3748 aabb 【答案】B 【解析】 分析：先根据等比数列、等差数列的通项公式表示出 5 a、 6 b，然后表示出 37 aa和 48 bb， 然后二者作差比较即可 详解：an=a1q n1，b n=b1+（n1）d， 56 ab，a1q4=b1+5d， 37 aa=a1q2+a1q6 48 bb=2（b1+5d）=2b6=2a5 37 aa2a5= a1q2+a1q62a1q4=a1q2（q21）20 所以 37 aa 48 bb 故选：B 点睛：本题主要考查了等比数列的性质比较两数大小一般采取做差的方法属于基础题 12.已知点( ,1),P t ttR， 点E是圆 22 1 4 xy上的动点， 点F是圆 22 9 (3)(1) 4 xy 上的动点，则PFPE的最大值为（） A.2B. 5 2 C.3D.4 【答案】D 【解析】 【分析】 由于两圆不在直线的同侧，先做出圆O关于直线对称的圆 1 O，把PFPE转化为 PF PE ，若PF PE 最大，必须PF最大， PE 最小. 【详解】如图： 精品文档，欢迎下载！ - 8 - 依题意得点( ,1),P t ttR在直线1yx上， 点E关于直线1yx对称的点 E , 点 E 在圆 22 1 4 xy关于直线1yx对称的圆 22 1 1 :(1)(1) 4 Oxy上， 则PE PE ，设圆 22 9 (3)(1) 4 xy的圆心为 2 O， 因为 11 PEPOEO， 22 PFPOFO， 所以 22112112 ()()224PFPEPFPEPOFOPOEOPOPOOO ，当 12 ,P E F O O五点共线， E 在线段 1 O上， 2 O在线段PF上时“=”成立. 因此，PFPE的最大值为 4. 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，距离和差的最值问题对称 变换是常采用的方法. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 2020 分）分） 13.在ABC中，角ABC、 、所对的边分别为abc、 、.若 2,2,absincos2BB,，则角A的大小为_. 【答案】 6 【解析】 本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问 精品文档，欢迎下载！ - 9 - 题的能力。由sincos2sin()2 4 BBB 得sin()1 4 B ，所以 4 B 由正弦定理 sinsin ab AB 得 2.sin sin1 4 sin 22 aB A b ，所以 A= 6 或 5 6 （舍去） 、 14.已知正四棱锥的底面边长为4cm，侧面积为 2 24cm，则该四棱锥的体积是_ 3 cm. 【答案】16 5 3 【解析】 【分析】 先算侧面三角形的高，再算正四棱锥的高，最后算四棱锥的体积. 【详解】如图： 由已知得， 1 424 2 AD PE,所以3PE ；所以四棱锥的高 22 5POPEOE ； 因此四棱锥的体积 116 5 33 ABCD VSPO . 【点睛】本题考查了锥体体积的计算，几何体体积问题要结合图形. 15.过点 1 ( ,1) 2 M的直线与圆 22 :(1)4Cxy交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小 时，直线的方程为_ 【答案】 【解析】 当ACB最小时，弦长AB最短，此时CPAB. 由于C(1,0)，P( 1 2 ，1)，kCP2，kAB 1 2 ，直线l方程为y1 1 2 (x 1 2 )， 精品文档，欢迎下载！ - 10 - 即 2x4y30. 16.以(0,)m间的整数为分子(1,)mmN，以m为分母组成分数集合 1 A，其所有元素和为 1 a；以 2 (0,)m间的整数为分子，以 2 m为分母组成不属于集合 1 A的分数集合 2 A，其所有元素 和为 2 a； ， 依次类推以(0,) n m间的整数为分子， 以 n m为分母组成不属于 121 , n A AA， 的分数集合 n A，其所有元素和为 n a；则 12n aaa_. 【答案】 1 2 n m 【解析】 【分析】 先得出 123 , n a a aa的规律，再根据等差数列的和求解。 【详解】由题意得： 1 121m a mmm 2 2 2222222 121121211mmmmm a mmmmmmm 2 222 121121 mm mmmmmm 2 1 222 121 m a mmm 3 321 333 121m aaa mmm 121 121 n nn nnn m aaaa mmm 12 1211 2 nn n nnn mm aaa mmm 【点睛】非常见数列的求和的突破在于规律，由特殊到一般是找规律的常用方法。 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分 精品文档，欢迎下载！ - 11 - 17.在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知 2 A ，sin26cossinbAAB. （1）求a的值； （2）若 3 A ，求ABC周长的取值范围. 【答案】 （1）3； （2）6,9. 【解析】 【分析】 （1）先用二倍角公式化简sin26cossinbAAB，再根据正弦定理即可解出a； （2）用正弦定理分别表示, b c，再用三角形内角和及和差公式化简，转化为三角函数求最值. 【详解】 （1）由sin26cossinbAAB及二倍角公式得sin3sinbAB， 又 sinsin ab AB 即sinsinbAaB，所以3a ； （2）由正弦定理得 sin 2 3sin sin aB bB A ， sin 2 3sin sin aC cC A ABC周长： 2 32 3sin2 3sin32 3sin2 3sin() 3 abcBCBB 33 32 3sincos36sin 226 BBB ， 又因为 2 (0,) 3 B ，所以 1 sin( ,1 2 B. 因此ABC周长的取值范围是6,9. 【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，三角形求边长取值范围常用的方法：1、转化为三 角函数求最值；2、基本不等式. 18.如图，在三棱锥ABCD中，,E F分别为棱,BC CD上的中点. 精品文档，欢迎下载！ - 12 - （1）求证：EF 平面ABD； （2）若,BDCD AE平面BCD，求证：平面AEF 平面ACD. 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据线面平行的判定定理，在平面ABD中找EF的平行线，转化为线线平行的证明； （2）根据面面垂直的判定定理，转化为CD 平面AEF. 【详解】 （1）E，F分别是BC，CD的中点，EFBD； 又EF 平面ABD，BD 平面ABD， EF 平面ABD. （2）BDCD，EFBD，EFCD； AE Q平面BCD，AECD； 又EF 平面AEF，AE 平面AEF， CD平面AEF，又CD 平面ACD， 平面AEF 平面ACD. 【点睛】本题考查了面面垂直的证明，难点在于转化为线面垂直,方法：结合已知条件，选定 其中一个面为垂面，在另外一个面中找垂线，不行再换另外一个面. 19.设直线 123 :210,:20,:360lxylxylxmy . （1）若直线 123 , ,l l l交于同一点，求m的值； 精品文档，欢迎下载！ - 13 - （2）设直线l过点 (2,0)M ，若l被直线 12 ll，截得的线段恰好被点M平分，求直线l的方程. 【答案】 （1） 21 = 5 m （2）11220 xy 【解析】 试题分析： （1）先求直线 1 l， 2 l交点，再代入 3 l得m的值； （2）设 1 l上一点 A(a，1- -2 a)，则 得 B (4- -a，2 a- -1) 在 2 l上，解方程组可得 a= 7 3 ，再根据两点式求直线l的方程 试题解析： （1）解 210 20 xy xy ， ，得交点 1 5 , 3 3 C 直线 123 lll， ，交于同一点，则点 C 在直线 3 l上， 则 15 36=0 33 m ，解得 21 = 5 m （2）设 1 l上一点 A(a，1- -2 a)，则点 A 关于 M（2，0）的对称点 B (4- -a，2 a- -1) 由点 B 在 2 l上，代入得42120aa，a= 7 3 ， 711 33 A ， 直线 l 过两点 A、M，斜率为- -11， 直线 l 的方程为11220 xy 20.已知函数 2 ( )4f xxax ，( )11g xxx . （1）当1a 时，求不等式( )( )f xg x的解； （2）若不等式( )( )f xg x的解集为A， 1,1A，求a的取值范围. 【答案】 （1） 117 1, 2 ； （2） 1,1 . 【解析】 【分析】 （1）按1,x， 1,1x ， 1,1x 分段解不等式； （2）不等式( )( )f xg x的解集包含 1,1 ，即不等式( )( )f xg x在 1,1 上恒成立，再转 化为含有a的不等式组求解. 精品文档，欢迎下载！ - 14 - 【详解】 （1）当1a 时， 2 ( )4f xxx 是开口向下，对称轴为 1 2 x 的二次函数， 2 ,1 ( )112, 11 2 ,1 x x g xxxx x x ， 当1,x时，令( )( )f xg x，即 2 42xxx ，解得 171 1, 2 x ； 当 1,1x 时，令( )( )f xg x，即 2 42xx ，解得 1,1x ； 当, 1x 时，令( )( )f xg x，即 2 42xxx ，解得x. 综上所述，( )( )f xg x的解集为 171 1, 2 x . （2）依题意得 2 42xax 在 1,1 上恒成立， 即 2 20 xax 在 1,1 上恒成立，则只需 2 2 11 20 1120 a a ，解得11a . 故a的取值范围是 1,1 . 【点睛】绝对值不等式通常按零点分段讨论；不等式的恒成立问题要结合二次函数的性质转 化为不等式组. 21.在平面直角坐标系xOy中，已知圆 22 1:( 1)1Cxy，圆 22 2:( 3)(4)1Cxy. （1）若过点 1( 1,0) C 的直线l被圆 2 C截得的弦长为 6 5 ，求直线l的方程； （2）设动圆C同时平分圆 1 C的周长、圆 2 C的周长. 证明：动圆圆心C在一条定直线上运动； 动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由. 【 答 案 】（ 1 ） 4 (1) 3 yx或 3 (1) 4 yx；（ 2 ） 证 明 见 解 析 ； 3333 12,22 , 12,22 2222 . 【解析】 精品文档，欢迎下载！ - 15 - 【分析】 （1）设直线l的方程，根据弦的垂径定理结合点到直线的距离公式求解,注意斜率不存在的情 况. （2）由垂径定理得到圆心C到 1 C、 2 C两点的距离相等，再有两点距离公式建立等式，化 简即可；根据设圆心C的坐标，得到圆C关于参数m的一般形式，由此可得动圆C经过 22 620 xyy与10 xy 的交点，联立解方程组即可. 【详解】 （1）如图： 当直线l与x轴垂直时，直线l与圆 2 C相离，与题意不符； 当直线l与x轴不垂直时，设直线方程为(1)yk x，即0kxyk， 圆心 2:(3,4) C到直线l的距离 22 3444 11 kkk d kk ， 又 2 2 2 2 223 1 5 1 k k ，解得 4 3 k 或 3 4 . 直线l的方程为 4 (1) 3 yx或 3 (1) 4 yx. （2）设动圆C的圆心( , )C x y，半径为r， 若动圆C同时平分圆 1 C的周长、圆 2 C的周长， 则 222 11 rrCC, 222 22 rrCC，所以 12 CCCC， 即 2222 (1)(3)(4)xyxy ，化简得30 xy. 过动圆圆心C在直线30 xy上运动. 动圆C过定点， 精品文档，欢迎下载！ - 16 - 设( ,3)C mm，动圆C的半径 2222 11 1(1)(3)rrCCmm， 整理得 22 622 (1)0 xyym xy ， 由 22 10 620 xy xyy 得 3 2 1 2 3 2 2 2 x y 或 3 2 1 2 3 2 2 2 x y . 所以动圆C过定点，坐标为 3 23 2 (1,2) 22 或 3 23 2 (1,2) 22 . 【点睛】圆及其弦问题借助图形分析十分重要，动圆过定点问题需要把圆方程化为一个定方 程与另一个定方程乘以一个参数的和，联立两个定方程解方程组即可，非解答题也可采用取 特殊值解方程组. 22.已知数列 n a的前n项和为 n A， 对任意 * nN 满足 n 1 1 12 n AA nn ， 且 1 1a ， 数列 n b 满足 * 21 20() nnn bbbnN ， 3 5b ，其前 9 项和为 63. （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）令 nn n nn ba c ab ，数列 n c的前n项和为 n T，若存在正整数n，有2 n Tna，求实数 a的取值范围； （3） 将数列 n a, n b的项按照“当n为奇数时， n a放在前面； 当n为偶数时， n b放在前面” 的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列： 11223344 ,a b b a a b b a，求这个新数列 的前n项和 n S. 【答案】 （1）,2 nn an bn； （2） 4 3 a ； （3） 2 2 * 2 13 ,2 42 63 ,43, 4 65 ,41 4 n nn nk nn SnkkN nn nk 【解析】 精品文档，欢迎下载！ - 17 - 试题分析： （1）由已知得数列 n A n 是等差数列，从而易得 n A n ，也即得 n A，利用 1( 2) nnn aAAn 求得(2) n a n ，再求得 11 aA可得数列 n a通项，利