2020年中考数学压轴题突破专题与圆有关的综合问题.doc

2020年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练 专题8 与圆有关的综合问题【真题再现】1（2018年镇江中考第26题）如图1，平行四边形ABCD中，ABAC，AB6，AD10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的P与对角线AC交于A，E两点（1）如图2，当P与边CD相切于点F时，求AP的长；（2）不难发现，当P与边CD相切时，P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围 2（2019年镇江中考第26题）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的O）人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角的大小是变化的【实际应用】观测点A在图1所示的O上，现在利用这个工具尺在点A处测得为31，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得为67PQ是O的直径，PQON（1）求POB的度数；（2）已知OP6400km，求这两个观测点之间的距离即O上AB的长（取3.1）3（2019苏州中考第26题）如图，AB为O的直径，C为O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F（1）求证：DOAC；（2）求证：DEDADC2；（3）若tanCAD=12，求sinCDA的值4（2019扬州中考第25题）如图，AB是O的弦，过点O作OCOA，OC交AB于P，CPBC（1）求证：BC是O的切线；（2）已知BAO25，点Q是AmB上的一点求AQB的度数；若OA18，求AmB的长5（2019盐城中考第25题）如图，在RtABC中，ACB90，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NEAB，垂足为E（1）若O的半径为52，AC6，求BN的长；（2）求证：NE与O相切6（2018年南京中考第26题）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE过点A作AFDE，垂足为F，O经过点C、D、F，与AD相交于点G（1）求证：AFGDFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE1，求O的半径【专项突破】【题组一】1（2020连云港模拟）如图，矩形ABCD中，AB4，BC6，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PFAE于F，设PAx（1）求证：PFAABE；（2）当点P在线段AD上运动时，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件： 2（2020陆丰市模拟）如图，ABC中，以AB为直径作O，交BC于点D，E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE，交BD于点F（1）若CADAED，求证：AC为O的切线；（2）若DE2EFEA，求证：AE平分BAD；（3）在（2）的条件下，若AD4，DF2，求O的半径3（2020播州区校级模拟）如图，RtABC中，ACB90，AC6，AB10，C与AB相切于点D，延长AC到点E，使CEAC，连接EB过点E作BE的垂线，交C于点P、Q，交BA的延长线于点F（1）求AD的长；（2）求证：EB与C相切；（3）求线段PQ的长4（2020萧山区一模）如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，ABC的平分线交O于E，D为BE延长线上一点，且DEFE（1）求证：AD为O切线；（2）若AB20，tanEBA=34，求BC的长【题组二】5（2019亭湖区二模）如图，OA、OB是O的两条半径，OAOB，C是半径OB上一动点，连接AC并延长交O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA6（1）求证：ECDEDC；（2）若BC2OC，求DE长；（3）当A从15增大到30的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积6（2020长春模拟）如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使DCBD，连接AC，E为AC上一点，直线ED与AB延长线交于点F，若CDEDAC，AC12（1）求O半径；（2）求证：DE为O的切线；7（2020宿州模拟）如图，点O是ABC的边AB上一点，O与边AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F，且DEEF（1）求证：C90；（2）当BC3，sinA=35时，求AF的长8（2020海门市一模）如图，ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DFAC于点F，交AB的延长线于点G（1）若AB10，BC12，求DFC的面积；（2）若tanC2，AE6，求BG的长【题组三】9（2020朝阳区校级二模）如图，在ABC中，C90，点D是AB边上一点，以BD为直径的O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EHAB于点H，连接BE（1）求证EHEC；（2）若AB4，sinA=23，求AD的长10（2020西城区校级模拟）如图，AB为O的直径，C、D为O上不同于A、B的两点，ABD2BAC，连接CD，过点C作CEDB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点（1）求证：CF是O的切线；（2）当BD=185，sinF=35时，求OF的长11（2020海门市校级模拟）如图1，O是ABC的外接圆，连接AO，若BAC+OAB90（1）求证：AB=BC（2）如图2，作CDAB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO3，AE4，求线段AC的长12（2020镇江模拟）如图，O的直径AB26，P是AB上（不与点A、B重合）的任一点，点C、D为O上的两点，若APDBPC，则称CPD为直径AB的“回旋角”（1）若BPCDPC60，则CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；（2）若CD的长为134，求“回旋角”CPD的度数；（3）若直径AB的“回旋角”为120，且PCD的周长为24+133，直接写出AP的长【题组四】13（2020海门市校级模拟）如图，在ABC中，ACB90，O是边AC上一点，以O为圆心，以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D，在BC的延长线上取点F，使得BFEF（1）判断直线EF与O的位置关系，并说明理由；（2）若A30，求证：DG=12DA；（3）若A30，且图中阴影部分的面积等于23-23，求O的半径的长14（2020滨湖区模拟）如图，AB为O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作O的切线，交BA的延长线于点E（1）求证：ACDE；（2）连接CD，若OAAE2时，求出四边形ACDE的面积15（2020海门市一模）定义：在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形M，如果线段OP与图形M有公共点时，就称点P为关于图形M的“亲近点”已知平面直角坐标系xOy中，点A（1，3），B（5，3），连接AB（1）在P1（1，2），P2（3，2），P3（5，2）这三个点中，关于线段AB的“亲近点”是 ；（2）若线段CD上的所有点都是关于线段AB的“亲近点”，点C（t，23t-33）、D（t+6，23t-33），求实数t的取值范围；（3）若A与y轴相切，直线l：y=-3x+b过点B，点E是直线l上的动点，E半径为2，当E上所有点都是关于A的“亲近点”时，直接写出点E横坐标n的取值范围16（2020绵阳模拟）如图，直径为10的O经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OAOB）的长分别是方程x2+kx+480的两根（1）求线段OA、OB的长；（2）已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2CDCB时，求C点的坐标；（3）在O上是否存在点P，使SPODSABD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【题组五】17（2020张家港市模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（5，0），以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使CDBC，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足，连结OF（1）当BAC30时，求ABC的面积；（2）当DE8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由18（2019靖江市校级一模）如图，矩形ABCD中，AB8，BC12，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PFAE于F，设PAx（1）求证：PFAABE；（2）当点P在线段AD上运动时，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出DP满足的条件： 19（2019洪泽区二模）在AOB中，ABO90，AB3，BO4，点C在OB上，且BC1，（1）如图1，以O为圆心，OC长为半径作半圆，点P为半圆上的动点，连接PB，作DBPB，使点D落在直线OB的上方，且满足DB：PB3：4，连接AD请说明ADBOPB；如图2，当点P所在的位置使得ADOB时，连接OD，求OD的长；点P在运动过程中，OD的长是否有最大值？若有，求出OD长的最大值：若没有，请说明理由（2）如图3，若点P在以O为圆心，OC长为半径的圆上运动连接PA，点P在运动过程中，PA-34PB是否有最大值？若有，直接写出最大值；若没有，请说明理由20（2019江都区三模）如图，矩形OABC顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，点B的坐标为（8，6），点D是BC边上一点，且D为BC中点，OB与AD相交于点E，动点P从点O沿y轴向点C运动，运动速度为1单位长/秒，过点P的直线与x轴平行分别交OB、AD、AB于点M、N、Q，设点P的运动时间为t秒（1）求点D的坐标和直线AD的解析式；（2）设线段MN的长度为l，求l与t的函数关系式，写出t的取值范围；（3）若点G为过三点O、M、N的圆的圆心（当M、N重合时，规定点G在过M点且与y轴平行的直线上），当动点P从点O运动到点C，点G也随之运动，求点G的运动路径长【题组六】21（2019宿迁模拟）在平面直角坐标系xOy中，C的半径为r（r1），点P是圆内与圆心C不重合的点，C的“完美点”的定义如下：过圆心C的任意直线CP与C交于点A，B，若满足|PAPB|2，则称点P为C的“完美点”，如图点P为C的一个“完美点”（1）当O的半径为2时点M（32，0） O的“完美点”，点（-32，-12） O的“完美点”；（填“是”或者“不是”）若O的“完美点”P在直线y=34x上，求PO的长及点P的坐标；（2）设圆心C的坐标为（s，t），且在直线y2x+1上，C半径为r，若y轴上存在C的“完美点”，求t的取值范围22（2019苏州二模）如图，ABC内接于O，AC是直径，点D是AC延长线上一点，且DBCBAC，tanBAC=12（1）求证：BD是O的切线；（2）求DCAC的值；（3）如图，直径AC5，AF=CF，求ABF面积23（2019常熟市二模）已知：BD为O的直径，点A为圆上一点，直线BF交DA的延长线于点F，点C为O上一点，ABAC，连接BC交AD于点E，连接AC，且ABFABC（1）如图1，求证：BF作O的切线；（2）如图2，点H为O内部一点，连接OH，CH如果OHCHCA90，猜想CH与DA的数量关系，并加以证明；（3）在（2）的条件下，若OH6，O的半径为10记AEC面积为S1，ABE面积为S2求S1S2的值24（2019丹阳市一模）如图，点C是线段AB上一点，AC=13AB，BC为O的直径（1）在图（1）直径BC上方的圆弧上找一点P，使得PAPB；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）连接PA，求证：PA是O的切线；（3）在（1）的条件下，连接PC、PB，PAB的平分线分别交PC、PB于点D、E求AEAD的值参考答案【真题再现】1（2018年镇江中考第26题）如图1，平行四边形ABCD中，ABAC，AB6，AD10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的P与对角线AC交于A，E两点（1）如图2，当P与边CD相切于点F时，求AP的长；（2）不难发现，当P与边CD相切时，P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围409AP245或AP5【分析】（1）连接PF，则PFCD，由ABAC和四边形ABCD是平行四边形，得PFAC，可证明DPFDAC，列比例式可得AP的长；（2）有两种情况：与边AD、CD分别有两个公共点；P过点A、C、D三点【解析】（1）如图2所示，连接PF，在RtABC中，由勾股定理得：AC=102-62=8，设APx，则DP10x，PFx，P与边CD相切于点F，PFCD，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABAC，ACCD，ACPF，DPFDAC，PFAC=PDAD，x8=10-x10，x=409，AP=409；（2）当P与BC相切时，设切点为G，如图3，SABCD=12682=10PG，PG=245，当P与边AD、CD分别有两个公共点时，409AP245，即此时P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，P过点A、C、D三点，如图4，P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP5，综上所述，AP的值的取值范围是：409AP245或AP5故答案为：409AP245或AP5点评：本题是圆与平行四边形的综合题，考查了圆的切线的性质、勾股定理、平行四边形性质和面积公式，第2问注意利用分类讨论的思想，并利用数形结合解决问题2（2019年镇江中考第26题）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的O）人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角的大小是变化的【实际应用】观测点A在图1所示的O上，现在利用这个工具尺在点A处测得为31，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得为67PQ是O的直径，PQON（1）求POB的度数；（2）已知OP6400km，求这两个观测点之间的距离即O上AB的长（取3.1）【分析】（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HDBC于D，CHBH交BC于点C，则DHC67，证出HBDDHC67，由平行线的性质得出BEOHBD67，由直角三角形的性质得出BOE23，得出POB902367；（2）同（1）可证POA31，求出AOBPOBPOA36，由弧长公式即可得出结果【解析】（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HDBC于D，CHBH交BC于点C，如图所示：则DHC67，HBD+BHDBHD+DHC90，HBDDHC67，ONBH，BEOHBD67，BOE906723，PQON，POE90，POB902367；（2）同（1）可证POA31，AOBPOBPOA673136，AB=366400180=3968（km）点评：本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键3（2019苏州中考第26题）如图，AB为O的直径，C为O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F（1）求证：DOAC；（2）求证：DEDADC2；（3）若tanCAD=12，求sinCDA的值【分析】（1）点D是BC中点，OD是圆的半径，又ODBC，而AB是圆的直径，则ACB90，故：ACOD；（2）证明DCEDCA，即可求解；（3）AEDE=3，即AEC和DEF的相似比为3，设：EFk，则CE3k，BC8k，tanCAD=12，则AC6k，AB10k，即可求解【解析】（1）因为点D是弧BC的中点，所以CADBAD，即CAB2BAD，而BOD2BAD，所以CABBOD，所以DOAC；（2）CD=BD，CADDCB，DCEDAC，CD2DEDA；（3）tanCAD=12，连接BD，则BDCD，DBCCAD，在RtBDE中，tanDBE=DEBD=DECD=12，设：DEa，则CD2a，而CD2DEDA，则AD4a，AE3a，AEDE=3，而AECDEF，即AEC和DEF的相似比为3，设：EFk，则CE3k，BC8k，tanCAD=12，AC6k，AB10k，sinCDA=35点评：本题为圆的综合运用题，涉及到三角形相似等知识点，本题的关键是通过相似比，确定线段的比例关系，进而求解4（2019扬州中考第25题）如图，AB是O的弦，过点O作OCOA，OC交AB于P，CPBC（1）求证：BC是O的切线；（2）已知BAO25，点Q是AmB上的一点求AQB的度数；若OA18，求AmB的长【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到OABOBA，CPBPBC，等量代换得到APOCBP，根据三角形的内角和得到CBO90，于是得到结论；（2）根据等腰三角形和直角三角形的性质得到ABO25，APO65，根据三角形外角的性质得到POBAPOABO40，根据圆周角定理即可得到结论；根据弧长公式即可得到结论【解答】（1）证明：连接OB，OAOB，OABOBA，PCCB，CPBPBC，APOCPB，APOCBP，OCOA，AOP90，OAP+APO90，CBP+ABO90，CBO90，BC是O的切线；（2）解：BAO25，ABO25，APO65，POBAPOABO40，AQB=12（AOP+POB）=1213065；AQB65，AOB130，AmB的长=AQB的长=23018180=23点评：本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，弧长的计算，圆周角定理，熟练正确切线的判定和性质定理是解题的关键5（2019盐城中考第25题）如图，在RtABC中，ACB90，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NEAB，垂足为E（1）若O的半径为52，AC6，求BN的长；（2）求证：NE与O相切【分析】（1）由直角三角形的性质可求AB10，由勾股定理可求BC8，由等腰三角形的性质可得BN4；（2）欲证明NE为O的切线，只要证明ONNE【解析】（1）连接DN，ONO的半径为52，CD5ACB90，CD是斜边AB上的中线，BDCDAD5，AB10，BC=AB2-AC2=8CD为直径CND90，且BDCDBNNC4（2）ACB90，D为斜边的中点，CDDADB=12AB，BCDB，OCON，BCDONC，ONCB，ONAB，NEAB，ONNE，NE为O的切线点评：本题考查切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型6（2018年南京中考第26题）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE过点A作AFDE，垂足为F，O经过点C、D、F，与AD相交于点G（1）求证：AFGDFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE1，求O的半径【分析】（1）欲证明AFGDFC，只要证明FAGFDC，AGFFCD；（2）首先证明CG是直径，求出CG即可解决问题；【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，ADC90，CDF+ADF90，AFDE，AFD90，DAF+ADF90，DAFCDF，四边形GFCD是O的内接四边形，FCD+DGF180，FGA+DGF180，FGAFCD，AFGDFC（2）解：如图，连接CGEADAFD90，EDAADF，EDAADF，EAAF=DADF，即EADA=AFDF，AFGDFC，AGDC=AFDF，AGDC=EADA，在正方形ABCD中，DADC，AGEA1，DGDAAG413，CG=DG2+DC2=5，CDG90，CG是O的直径，O的半径为52点评：本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型【专项突破】【题组一】1（2020连云港模拟）如图，矩形ABCD中，AB4，BC6，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PFAE于F，设PAx（1）求证：PFAABE；（2）当点P在线段AD上运动时，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件：x=65或0x1【分析】（1）根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当PEFEAB时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；当PEFAEB时，再结合（1）中的结论，得到等腰APE再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解（3）首先计算圆D与线段相切时，x的值，在画出圆D过E时，半径r的值，确定x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x的取值范围【解答】（1）证明：如图1中，矩形ABCD，ABE90，ADBC，PAFAEB，又PFAE，PFA90ABE，PFAABE（2）解：分二种情况：若EFPABE，如图1，则PEFEAB，PEAB，四边形ABEP为矩形，PAEB3，即x3，如图2，若PFEABE，则PEFAEB，ADBCPAFAEB，PEFPAFPEPAPFAE，点F为AE的中点，RtABE中，AB4，BE3，AE5，EF=12AE=52，PFEABE，PEAE=EFBE，x5=523，PE=256，（8分）满足条件的x的值为3或256（3）如图3，当D与AE相切时，设切点为G，连接DG，APx，PDDG6x，DAGAEB，AGDB90，AGDEBA，ADAE=DGAB，65=6-x4，x=65，当D过点E时，如图4，D与线段有两个公共点，连接DE，此时PDDE5，APx651，当以D为圆心，DP为半径的D与线段AE只有一个公共点时，x满足的条件：x=65或0x1；故答案为：x=65或0x1x满足的条件：x=65或0x12（2020陆丰市模拟）如图，ABC中，以AB为直径作O，交BC于点D，E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE，交BD于点F（1）若CADAED，求证：AC为O的切线；（2）若DE2EFEA，求证：AE平分BAD；（3）在（2）的条件下，若AD4，DF2，求O的半径【分析】（1）由圆周角定理可得BDA90，可得DBA+DAB90，可证BAC90，由切线的判定可证AC为O的切线；（2）通过证明DEFAED，可得EDFDAE，可得BAEDAE，即AE平分BAD；（3）过点F作FHAB，垂足为H，由角平分线的性质可得DFFH2，由面积法可求AB2BF，由勾股定理可求BF的长，即可求O的半径【解答】证明：（1）AB是直径，BDA90，DBA+DAB90，CADAED，AEDABD，CADABD，CAD+DAB90，BAC90，即ABAC，且AO是半径，AC为O的切线；（2）DE2EFEA，DEEF=EADE，且DEFDEA，DEFAED，EDFDAE，EDFBAE，BAEDAE，AE平分BAD；（3）如图，过点F作FHAB，垂足为H，AE平分BAD，FHAB，BDA90，DFFH2，SABF=12ABFH=12BFAD，2AB4BF，AB2BF，在RtABD中，AB2BD2+AD2，（2BF）2（2+BF）2+16，BF=103，BF2（不合题意舍去）AB=203，O的半径为1033（2020播州区校级模拟）如图，RtABC中，ACB90，AC6，AB10，C与AB相切于点D，延长AC到点E，使CEAC，连接EB过点E作BE的垂线，交C于点P、Q，交BA的延长线于点F（1）求AD的长；（2）求证：EB与C相切；（3）求线段PQ的长【分析】（1）sinABC=ACAB=35=sin，则tan=34，ADACsin=185；（2）过点C作CFBE交BE于点F，则CFCD圆的半径BCsin=245，即可求解；（3）证明四边形EGCF为矩形，CGEFFCtan，PQ2PG，即可求解【解答】解：（1）连接CD，则CDAB，CEAC，ACB90，ACDCBA，AC6，AB10，BC8，sinABC=ACAB=35=sin，则tan=34，ADACsin=185；（2）过点C作CKBE交BE于点K，ACB90，CEAC，CBACBKCKCD圆的半径BCsin=245，EB与C相切；（3）过点C作CGFE交FE于点G，BEF90，CGEF，CFBE，四边形EGCF为矩形，CGEFFCtanBCsintan83534=185，PQ2PG2PC2-CG2=2(245)2-(185)2=12754（2020萧山区一模）如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，ABC的平分线交O于E，D为BE延长线上一点，且DEFE（1）求证：AD为O切线；（2）若AB20，tanEBA=34，求BC的长【分析】（1）先利用角平分线定义、圆周角定理证明42，再利用AB为直径得到2+BAE90，则4+BAE90，然后根据切线的判定方法得到AD为O切线；（2）解：根据圆周角定理得到ACB90，设AE3k，BE4k，则AB5k20，求得AE12，BE16，连接OE交AC于点G，如图，解直角三角形即可得到结论【解答】（1）证明：BE平分ABC，12，AB为直径，AEBD，DEFE，34，13，42，AB为直径，AEB90，2+BAE904+BAE90，即BAD90，ADAB，AD为O切线；（2）解：AB为直径，ACB90，在RtABC中，tanEBA=34，设AE3k，BE4k，则AB5k20，AE12，BE16，连接OE交AC于点G，如图，12，AE=CE，OEAC，32，tanEBAtan3=34，设AG4x，EG3x，AE5x12，x=125，AG=485，OGBC，AC2AG=965，BC=AB2-AC2=285【题组二】5（2019亭湖区二模）如图，OA、OB是O的两条半径，OAOB，C是半径OB上一动点，连接AC并延长交O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA6（1）求证：ECDEDC；（2）若BC2OC，求DE长；（3）当A从15增大到30的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积【分析】（1）连接OD，由切线的性质得出EDC+ODA90，由等腰三角形的性质得出ODAOAC，得出EDCACO，即可得出结论；（2）设DEx，则CEDEx，OE2+x，在RtODE中，由勾股定理得出方程，解法长即可；（3）过点D作DFAO交AO的延长线于F，当A15时，DOF30，得出DF=12OD=12OA3，DOA150，S弓形ABDS扇形ODASAOD159，当A30时，DOF60，S弓形ABDS扇形ODASAOD1293，即可得出结果【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：DE是O的切线，EDC+ODA90，OAOB，ACO+OAC90，OA、OB是O的两条半径，OAOB，ODAOAC，EDCACO，ECDACO，ECDEDC；（2）解：BC2OC，OBOA6，OC2，设DEx，ECDEDC，CEDEx，OE2+x，ODE90，OD2+DE2OE2，即：62+x2（2+x）2，解得：x8，DE8；（3）解：过点D作DFAO交AO的延长线于F，如图2所示：当A15时，DOF30，DF=12OD=12OA3，DOA150，S弓形ABDS扇形ODASAOD=15062360-12OADF15-1263159，当A30时，DOF60，DF=32OD=32OA33，DOA120，S弓形ABDS扇形ODASAOD=12062360-12OADF12-12633=1293，当A从15增大到30的过程中，AD在圆内扫过的面积（159）（1293）3+93-96（2020长春模拟）如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使DCBD，连接AC，E为AC上一点，直线ED与AB延长线交于点F，若CDEDAC，AC12（1）求O半径；（2）求证：DE为O的切线；【分析】（1）证明ADBC，可得ABAC12，则半径可求出；（2）连接OD，由平行线的性质，易得ODDE，则结论得证【解答】解：（1）AB为O的直径，ADB90，ADBC，又BDCD，ABAC12，O半径为6；（2）证明：连接OD，CDEDAC，CDE+CDAC+C，AEDADB，由（1）知ADB90，AED90，DCBD，OAOBODACODFAED90，半径ODEFDE为O的切线7（2020宿州模拟）如图，点O是ABC的边AB上一点，O与边AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F，且DEEF（1）求证：C90；（2）当BC3，sinA=35时，求AF的长【分析】（1）连接OE，BE，因为DEEF，所以DE=EF，从而易证OEBDBE，所以OEBC，从可证明BCAC；（2）设O的半径为r，则AO5r，在RtAOE中，sinA=OEOA=r5-r=35，从而可求出r的值【解答】解：（1）连接OE，BE，DEEF，DE=EF，OBEDBE，OEOB，OEBOBE，OEBDBE，OEBC，O与边AC相切于点E，OEAC，BCAC，C90；（2）在ABC，C90，BC3，sinA=35，AB5，设O的半径为r，则AO5r，在RtAOE中，sinA=OEOA=r5-r=35，r=158，AF52158=548（2020海门市一模）如图，ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DFAC于点F，交AB的延长线于点G（1）若AB10，BC12，求DFC的面积；（2）若tanC2，AE6，求BG的长【分析】（1）连接AD，由AB是O的直径，得到ADBC，根据等腰三角形的性质得到DFAC，根据射影定理得到CD2CFAC，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）连接BE，由AB是O的直径，得到BEAC，根据已知条件得到BE2DF，设CFEFx，则DF2x，得到BE4x，ABAC6+2x，根据勾股定理列方程得到AB10，BE8，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：（1）连接AD，AB是O的直径，ADBC，ABAC10，DFAC，BDCD6，DFAC，由射影定理得，CD2CFAC，6210CF，CF3.6，DF=CD2-CF2=4.8，DFC的面积=12CFDF=123.64.88.64；（2）连接BE，AB是O的直径，BEAC，DFAC，tanC2，BEDF，DF2CF，BDCD，CFEF，BE2DF，设CFEFx，则DF2x，BE4x，ABAC6+2x，AB2AE2+BE2，（6+2x）262+（4x）2，x2，x0（舍去），AB10，BE8，BEFG，ABEAGF，ABAG=AEAF，1010+BG=68，BG=103【题组三】9（2020朝阳区校级二模）如图，在ABC中，C90，点D是AB边上一点，以BD为直径的O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EHAB于点H，连接BE（1）求证EHEC；（2）若AB4，sinA=23，求AD的长【分析】（1）根据切线的性质可得ACOE，即可得OEBC，可证CBEEBO，根据角平分线的性质可得CEEH；（2）设OE2a，AO3a，（a0），根据AB4，可求a的值，根据ADABDH44a，可求AD的值【解答】解：（1）如图，连接OE，AC与O相切，OEAC，且BCAC，OEBCCBEOEB，EOOB，EBOOEBCBEEBO，且CEBC，EHAB，CEEH（2）sinA=23=OEAO，设OE2a，AO3a，（a0）OB2a，ABAO+OB3a+2a4a=45ADABBD44aAD=4510（2020西城区校级模拟）如图，AB为O的直径，C、D为O上不同于A、B的两点，ABD2BAC，连接CD，过点C作CEDB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点（1）求证：CF是O的切线；（2）当BD=185，sinF=35时，求OF的长【分析】（1）连接OC先根据等边对等角及三角形外角的性质得出321，由已知421，得到43，则OCDB，再由CEDB，得到OCCF，根据切线的判定即可证明CF为O的切线；（2）连接AD由圆周角定理得出D90，证出BADF，得出sinBADsinF=BDAB=35，求出AB=53BD6，得出OBOC3，再由sinF=OCOF=35即可求出OF【解答】解：（1）连接OC如图1所示：OAOC，12又31+2，321又421，43，OCDBCEDB，OCCF又OC为O的半径，CF为O的切线；（2）连接AD如图2所示：AB是直径，D90，CFAD，BADF，sinBADsinF=BDAB=35，AB=53BD6，OBOC3，OCCF，OCF90，sinF=OCOF=35，解得：OF511（2020海门市校级模拟）如图1，O是ABC的外接圆，连接AO，若BAC+OAB90（1）求证：AB=BC（2）如图2，作CDAB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO3，AE4，求线段AC的长【分析】（1）连BO并延长BO交AC于T只要证明BTAC，利用垂径定理即可解决问题；（2）延长AO并交O于F，连接CF在RtAFC中，求出CF，AF即可解决问题；【解答】（1）证明：连BO并延长BO交AC于TAOBO，OABOBA，又BAC+OAB90，BAC+OBA90，BTA90，BTAC，AB=BC（2）延长AO并交O于F，连接CFCDAB于D，CDA90，OAB+AED90，OAB+BAC90，AEDBACFEC，AF为O直径，ACF90，同理：FCEBAC，FECFCE，FEFC，AO3，AE4，OE1，FEFC2，在RtFCA中AC=62-22=4212（2020镇江模拟）如图，O的直径AB26，P是AB上（不与点A、B重合）的任一点，点