人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.5 平面向量应用举例课件.ppt

2.5.1平面几何中的向量方法,所以，平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍.,几何问题向量化,向量运算关系化,向量关系几何化,利用向量解决平面几何问题举例,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,简述：几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。,例2如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？,A,B,C,D,E,F,R,T,利用向量解决平面几何问题举例,简述：几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化,例2如图，在ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于点R、T两点.你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？,解：,由图可猜想：AR=RT=TC.,证明如下：,则由,得,又,而,由向量基本定理得,同理可证：,于是,故猜想：AR=RT=TC成立.,2.5.2向量在物理中的应用举例,探究（一）：向量在力学中的应用,|F1|=|F2|=10N,F1+F2+G=0,思考2：两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？,夹角越大越费力.,思考3：假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为，那么|F1|、|G|、之间的关系如何？,上述关系表明，若重力G一定，则拉力的大小是关于夹角的函数.并且拉力大小和夹角大小成正比例关系.,0，180),探究（二）：向量在运动学中的应用,思考2：如果船沿与上游河岸成60方向行驶，那么船的实际速度v的大小是多少？,思考3：船应沿什么方向行驶，才能使航程最短？,与上游河岸的夹角为78.73.,思考4：如果河的宽度d500m，那么船行驶到对岸至少要几分钟？,“向量法解决几何问题”的两个角度：非坐标角度和坐标角度,例3.如图，正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量证明：（1）PA=EF（2）PAEF,A,B,C,D,P,E,F,1、已知：AD、BE、CF是ABC的三条中线；求证：AD、BE、CF交于一点2、已知ABC的三个顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则重心G的坐标为_3、用向量法证明：三角形三条高线交于一点,1、已知：AD、BE、CF是ABC的三条中线；求证：AD、BE、CF交于一点,证明：如图AD、BE相交于点G，联结DE,1、已知：AD、BE、CF是ABC的三条中线；求证：AD、BE、CF交于一点,因此C、G、F三点在同一直线上,所以，AD、BE、CF交于一点,2、已知ABC的三个顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则重心G的坐标为_,解：设原点为O，则,3、用向量法证明：三角形三条高线交于一点,证明：设H是高线BE、CF的交点，,所以，三角形三条高线交于一点,三角形四心的向量表示,外,重,三角形四心的向量表示,内,垂,例1、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足,则P点的轨迹一定通过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心,点拨：由,得出,由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过ABC的重心。,C,变式1、已知P是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，点O满足,则O点一定是ABC的（）A外心B内心C重心D垂心,点拨：由,得出,故O是ABC的重心。,C,变式2、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足,则P点的轨迹一定通过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心,点拨：在ABC中，由正弦定理有,令,则,由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过ABC的重心。,C,例2、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足,则P点的轨迹一定通过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心,点拨：取BC的中点D，则,由已知条件可得,又因为,所以,所以DP是BC的垂直平分线，所以P点的轨迹一定经过ABC的外心。,A,外心的向量表示,结论2：ABC所在平面一定点O，动点P满足P点轨迹经过ABC的外心,结论1：O是三角形的外心,或,例3、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足,则P点的轨迹一定通过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心,点拨：由已知等式可知,在等式的两边同时乘以,即,故点P的轨迹一定通过ABC的垂心。,D,变式3、已知O是平面上一点，A,B,C是平面上不共线的三个点，点O满足,则O点一定是ABC的（）A外心B内心C重心D垂心,点拨：,同理可得,D,垂心的向量表示,结论1：O是ABC的垂心的充要条件是,结论2、动点P满足P点的轨迹经过ABC的垂心,例4、已知O是平面上一点,A、B、C是平面上不共线的三个点,(a,b,c是ABC的A,B,C所对的三边)点O满足,则O点一定是ABC的（）A外心B内心C重心D垂心,点拨：由已知条件可得,同理可得,则O点一定是ABC的内心,B,例5、已知非零向量与满足,且,，则ABC为（）A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形,点拨：从可知的平分线垂直对边BC，故ABC为等腰三角形；,可知cosA=，所以=60，故ABC为等边三角形。,从,D,例6、已知O是平面上一点,A、B、C是平面上不共线的三个点,点O满足,则O点一定是ABC的（）A外心B内心C重心D垂心,则O点一定是ABC的内心,四心逐个突破,B,证：设,例7、已知O为ABC所在平面内一点，且满足:,问：O是ABC的_心。,化简：,同理：,从而,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。,小结,1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,简述：几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化,2.利用向量