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平行四边形复习,平行四边形复习,1、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形如图：ABCD对边分别为ABCD，ADBC,2、平行四边形的性质：对边平行且相等（AB=CD，AD=BC，ABCD，ADBC）对角相等（A=C，B=D）对角线互相平分（BO=DO,AO=CO）,3、平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（AB=CD，AD=BC四边形ABCD为平行四边形）,两组对角分别相等的四边形是平行四边形（BAD=DCB，ABC=ADC四边形ABCD为平行四边形）,对角线互相平分的四边形是平行四边形（AO=CO，BO=DO四边形ABCD为平行四边形）,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（AB=CD且ABCD四边形ABCD为平行四边形）（AD=BC且ADCD四边形ABCD为平行四边形,两组对边分别平行的四边形是平行四边形（ABCD，ADBC四边形ABCD为平行四边形）,学习检测,1、如图，ABCD中，A=120，则1=。,60,2、如图19-6,设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（）,C,3平行四边形ABCD中，AB=6cm，AC+BD=14cm，则AOB的周长为_,4在平行四边形ABCD中，A=70，D=_,BCD=_,ABCD为平行四边形BO=OD，AO=OCAC+BD=14BO+OD+AO+OC=14BO+AO=7AOB的周长=AO+BO+AB=7+6=13,ABCD为平行四边形，A=70ABCD，A=BCD=70A+D=180D=180-A=180-70=110,13,110,70,5、点A、B、C、D在同一平面内，从AB/CD；ABCD；BC/AD；BCAD四个条件中任意选两个，不能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）ABCD,B,6、平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（）A大于2，B小于14C大于2且小于14D大于2或小于12,C,解析：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边设第三边为x8-6x6+8，2x14,解析：平行四边形的判定方法,7、如图，ABCD中，AB=5，AD=8，BAD、ADC的平分线分别交BC于点E、F上，则EF=。,2,解析：BC平分BAD，DF平分ADC,BAE=DAE，ADB=CDF,ABCD是平行四边形,ADBC，AB=CD=5,DAE=AEBADF=DFC,AB=5,AD=8,AB=BE=5，CD=FC=5,EC=BC-BE=8-5=3，BF=BC-FC=8-5=3,EF=BC-BF-EC=8-3-3=2,8、如图，ab点，点A、D在直线a上，点B、C在直线b上，如SABC=5cm2，则SBCD=。,5cm2,解析：ABC和BCD的底边都为BC，高位a和b之间的距离，面积相同,4，如图，在ABCD中，点E为AD的中点，CE交BA的延线于点F，若BC=2AB，FBC=70，求EBC的度数,解：由ABCD可知AB=CDDCABDCF=EFA，AEF=DCFE为AD中点AE=EDDECAEFCDAF,CE=EFBC=2AB，AB=CDAB=AFBF=BCEBC=FBC=70=35,5：如图：已知ABCD，EAD=BAF（1）试证明：CEF是等腰三角形（2）猜测CE与CF的和与ABCD周长关系，并说明理由。,解（1）四边形ABCD是平行四边形ADBCABCDEAD=FBAFE又EAD=BAFE=FCECFCEF是等腰三角形,4、如图，在ABCD中，AE、BF分别平分DAB和ABC，交CD于点E、F，AE、BF相关于点M（1）请说明：AEBF（2）判断线段DF和CE的大小关系，并加以证明,证明(1)四边形ABCD是平行四边形ADBCDABDAC180又AE、BF分别平分DAB和ABCBAEDABABFABCBAE+ABF=（DAB+ABC）=90AEBF,(2)四边形ABCD是平行四边形AD=BCABCDBAE=BFC又AE、BF分别平分DAB和ABCBAE=AEDABF=CBFDAF=AEDCBF=BFCDE=ADCFBCDE=CF即DE+EFCDEFDF=CE,5.在ABCD中，AC6、AB4，则BD的范围是_6在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+4），（x-4）和(2x-1),则这个四边形的周长是,7.已知ABCD的周长为36CM,AB=8CM,BC=;当B=60时，ADBC间的距离AE=,ABCD的面积=,2x14,20,10,三角形的中位线,1、连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。(E为AC的中点，F为AB的中点，EF为ABC中位线)2、三角形的中位线平行三角形的第三边，且等于第三边的一半.(EF为ABC中位线EF=BC，EFBC)3、一个三角形有三条中位线。,1.在ABC中，D、E分别是边AB、AC的中若BC=5，则DE的长是2.已知：三角形的各边分别为8cm、10cm和12cm，连结各边中点所成三角形的周长为_3ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE4，AD3，AE2，则ABC的周长为_,2.5,10cm,18,学习检测,4已知：ABC中，点D、E、F分别是ABC三边的中点，如果DEF的周长是12cm，那么ABC的周长是cm,24,特殊的平行四边形矩形,1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形（四边形ABCD为平行四边形，A=90四边形ABCD为矩形）,2、矩形的性质：对边平行且相等（AB=CD，AD=BC，ABCD，ADBC）四个角都是直角（BAD=ABC=BCD=CDA=90）对角线相等且互相平分（AC=BD，BO=DO,AO=CO）,3、注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半BCD中，BCD=90，CO是BD中线CO=BD（或CO=BO=OD）,矩形的判定：1、有一个角是直角的平行四边形是矩形四边形ABCD是平行四边形，ABC=90四边形ABCD为矩形2、对角线相等的平行四边形是矩形四边形ABCD为平行四边形，AC=BD四边形ABCD为矩形3、有三个角是直角的四边形是矩形ABC=BCD=CDA=90四边形ABCD为矩形,学习检测,1.RtABC中，两条直角边分别为6和8，则斜边上的中线长为。,2已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120，则矩形的边长分别为_cm，cm，cm，cm,3下列说法错误的是（）A、矩形的对角线互相平分B、矩形的对角线相等C、有一个角是直角的四边形是矩形D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.,5,5,5,C,4.如图，在矩形ABCD中，BAD的平分线交BC于O为对角线AC、BD的交点，且CAE15，（1）求证：AOB为等边三角形；（2）求BOE的度数,AB=BEOB=BEBOE=BEO又EBO=ABC-ABO=90-60=30BOE=,5.将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，再折叠使AD与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=8，BC=6，求AG的长。,解:矩形纸片ABCDDAB=90AD=BC,AB=CDBD=,42+x2=（8-x）2解得：x=3AG=3,6.如图，在平行四边ABCD中，E.F为BC上的两点，且BE=CF,AF=DE.求证：(1)ABFDCE;(2)四边形ABCD是矩形,(2)由（1）的结论知B=C平行四边形ABCD,ABCDB+C=180B=90四边形ABCD是矩形,7.（2011中考题）如图，在ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MNBC.设MN交BCA的平分线于点E,交BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。,当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形证明：CE平分BCA,1=2，又MNBC,1=3，3=2，EO=CO.同理，FO=COEO=FO又OA=OC,四边形AECF是平行四边形又1=2，4=5，1+5=2+4.又1+5+2+4=1802+4=90四边形AECF是矩形,2,特殊的平行四边形菱形,1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形四边形ABCD为平行四边形，AB=BC四边形ABCD为菱形,2、菱形的性质：四条边平行且相等（AB=CD=AD=BC，ABCD，ADBC）对角相等（BAD=BCD，ABC=CDA）对角线互相垂直，且平分对角（ACBD，OAD=OAB=OCD=OCB）,3、菱形的判定：1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形四边形ABCD是平行四边形，AB=BC四边形ABCD为菱形2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形四边形ABCD为平行四边形，ACBD四边形ABCD为菱形3、四条边相等的四边形是菱形AB=BC=DC=AD四边形ABCD为菱形,1、菱形的的两邻角之比为12，且较短的对角线长3，则菱形的周长是（）A、8B、9C、12D、152、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AB=5，AO=4，则对角线AC的长为_、BD的长为_。3、菱形的面积是20，它的一条对角线长5，则另一条对角线长_。,学习检测,C,8,6,8,4、如图,四边形ABCD是菱形，ACD30BD=6cm（1）BAD,ABC的度数。（2）边AB及对角线AC的长（精确到0.01cm）.,解：（1）四边形ABCD是菱形BCA=DCA,DAB=BCD,ABC+BCD=180ACD30BAD=DCB=60，ABC=180-BCD=120四边形ABCD是菱形ACBDOA=OC,OD=OB,BC=CD,又BCD=60BCD为等边三角形BC=BA=BD=CD=AD=6cmBO=DO=3cm,5.如图，已知：在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。过点C作CGEA交AF于H，交AD于G，BAE=25，BCD=130，求AHC的度数。,6.（2014中考题）已知：如图，在梯形ABCD中，ABCD，BC=CD，ADBD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形,证明：ADBD，ABD是RtE是AB的中点，BE=,AB，DE=AB,BE=DE，EDB=EBD，CB=CD，CDB=CBD，ABCD，EBD=CDB，EDB=EBD=CDB=CBD，BD=BD，EBDCBD（SAS），BE=BC，CB=CD=BE=DE，菱形BCDE（四边相等的四边形是菱形）,7.（2011中考题）如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD，BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE,（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若ABC=60，CE=2BE，试判断CDE的形状，并说明理由,（1）证明：如图，AE平分BAD，1=2，AB=AD，AE=AE，BAEDAE，BE=DE，ADBC，2=3=1，AB=BE，AB=BE=DE=AD四边形ABED是菱形,理由：如图，过点D作DFAE交BC于点F，则四边形AEFD是平行四边形，DF=AE，AD=EF=BE，,CE=2BE，BE=EF=FC，DE=EF，又ABC=60，ABDE，DEF=60，DEF是等边三角形，DF=EF=FC，CDE是直角三角形,1.正方形既是_图形，又是_图形正方形有_条对称轴。2.正方形既是_形,又是_形，它既具有_的性质，又具有_的性质。3.在判断四边形是正方形时，可以先证该四边形是_形，再证该四边形是_形。4.正方形的四条边_，并且对边_.邻边_5.正方形的四个角都是_.6.正方形的两条对角线_且_,并且每条对角线平分_.,特殊的平行四边形正方形,中心对称,轴对称,四,矩形,菱形,矩形,菱形,矩形,菱形,相等,平行,互相垂直,直角,相等,互相垂直平分,一组对角,学习检测,1.判断：（1）两条对角线互相垂直的矩形是正方形.（）（2）对角线相等的矩形是正方形。（）（3）四边都相等的四边形是正方形。（）（4）矩形包括长方形和正方形。（）（5）四角相等且两边相等的四边形是正方形.（）,2.正方形ABCD,对角线的交为O，E是OB上的一点，DGAE于G,DG交OA于F.求证：OE=OF.,3、(2014年中考题)如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂足分别为M、N。(1)求证：ADB=CDB；(2)若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形。,4.（2014中考题）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且GCE=45，则GE=BE+GD成立吗？为什么？,解答：（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，B=CDF，BE=DF，CBECDF（SAS）CE=CF（2）解：GE=BE+GD成立理由是：由（1）得：CBECDF，BCE=DCF，BCE+ECD=DCF+ECD，即ECF=BCD=90，又GCE=45，GCF=GCE=45CE=CF，GCE=GCF，GC=GC，ECGFCG（SAS）GE=GFGE=DF+GD=BE+GD,5、（