椭圆综合测试题含答案.doc

椭圆测试题一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）21、离心率为 ，长轴长为 6 的椭圆的标准方程是（ ）32 2 2 2 2 2x y x y x y（A） （B）1 1或9 5 9 5 5 91（C）2 2x y36 201（D）2 2x y36 201或2 2x y20 3612、动点 P 到两个定点 F1 （- 4，0）、 F2（4，0）的距离之和为 8，则 P 点的轨迹为（ ）A.椭圆 B.线段 F1F2 C.直线 F1F2 D.不能确定3、已知椭圆的标准方程2y2 1x ，则椭圆的焦点坐标为（ ）10A. ( 10,0) B. (0, 10) C. (0, 3) D. ( 3,0)4、已知椭圆2 2x y5 91上一点 P 到椭圆的一焦点的距离为 3，则 P 到另一焦点的距离是（ ）A. 2 5 3 B.2 C.3 D.65、如果2 2x y2 1表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围为（ ）a a 2A. ( 2, ) B. 2, 1 2, C. ( , 1) (2, ) D.任意实数 R6、关于曲线的对称性的论述正确的是（ ）A.方程2 2 0x xy y 的曲线关于 X 轴对称B.方程3 3 0x y 的曲线关于 Y 轴对称C.方程2 2 10x xy y 的曲线关于原点对称D.方程3 3 8x y 的曲线关于原点对称7、方程2 2x y2 2 1（ab0,k 0 且 k1)与方程ka kb2 2x y2 2 1（ab0)表示的椭圆（ ） .a bA.有相同的离心率 B.有共同的焦点 C.有等长的短轴 .长轴 D. 有相同的顶点 .8、已知椭圆2 2x yC : 1(a b 0) 的离心率为2 2a b32，过右焦点 F 且斜率为 k( k0) 的直线与 C 相交于A、B两点若 AF 3FB ，则 k ( )（A）1 （B） 2 （C） 3 （D）29、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( )A.45B.35C.25D.1510、若点 O 和点 F 分别为椭圆2 2x y4 31的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 OP FP 的最大值为 ( ).A2 B3 C6 D 811、椭圆2 2x y2 2 1 ab0 的右焦点为 F，其右准线与 x轴的交点为 A在椭圆上存在点 P 满足线段a bAP 的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是 ( )（A）（0，22 （B）（0，12 （C） 2 1，1） （D） 12，1）12 若直线 y x b与曲线2y 3 4x x 有公共点，则 b 的取值范围是 ( )A. 1 2 2 , 1 2 2 B. 1 2 ,3C.-1, 1 2 2 D. 1 2 2 ,3二、填空题： （本大题共 5 小题，共 20 分.）13 若一个椭圆长轴的长度 . 短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是14 椭圆2 2x y49 241上一点 P 与椭圆两焦点 F1, F2 的连线的夹角为直角，则 RtPF1F2 的面积为 .15 已知 F 是 椭圆 C 的一个焦 点， B 是短轴的 一个 端点 ，线 段 BF 的延长 线交 C 于点 D ， 且BF 2F D ，则 C 的离心率为 .16 已知椭圆2x2c : y 1的两焦点为 F1, F2 , 点 P( x0, y0) 满足22x0 20 y 1 , 则| PF1 |+ PF2 | 的取02值范围为三、解答题： (本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )17. （10 分）已知点 M 在椭圆2 2x y25 91上，MP 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ，并且 M 为线段 PP 的中点，求 P点的轨迹方程 .18. (12 分)椭圆2 2x y45 m1(0 m 45) 的焦点分别是 F1 和 F2 ，已知椭圆的离心率5e 过中心 O作直3线与椭圆交于 A，B 两点， O为原点，若 ABF2 的面积是 20，求：（1）m 的值（ 2）直线 AB 的方程.19（12 分）设 F1，F2 分别为椭圆C2 2x y: 12 2a b(a b 0) 的左、右焦点，过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B两点，直线 l 的倾斜角为 60 ， F1 到直线 l 的距离为 2 3 .（）求椭圆 C的焦距；（）如果 AF2 2F2B,求椭圆 C的方程 .20 （12 分）设椭圆 C：2 2x y2 2 1(a b 0)a b的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60 o, AF 2FB .(I) 求椭圆 C 的离心率；(II) 如果|AB|=154，求椭圆 C 的方程 .21（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1 ）关于原点 O 对称， P 是动点，且直线 AP 与 BP的斜率之积等于13.()求动点 P 的轨迹方程；()设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N，问： 是否存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。22 （12 分）已知椭圆2 2x y2 2 1（ab0）的离心率 e=a b32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4.（）求椭圆的方程；（）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点 A 的坐标为（ -a，0）.（i ）若4 2| |= ，求直线 l 的倾斜角；AB5.（ii ）若点 Q（0，y0）在线段 AB 的垂直平分线上，且 QA QB 4求 y0 的值 .，椭圆参考答案19. 选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B B C C B C A B B C D D8【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义 .【解析】设直线 l 为椭圆的有准线， e 为离心率，过 A，B 分别作 AA1，BB1 垂直于 l，A1，B 为垂足，过 B作 BE 垂直于 AA1 与 E，由第二定义得， ，由 ，得 ，即 k= ，故选 B.910 【解析】由题意， F（-1，0），设点 P(x0, y0) ，则有 2 2x y0 0 14 3, 解得2x2 0y0 3(1 )，4.因为FP ( x 1, y ) ，0 0OP (x ,y ) ，所以0 02OP FP x x y0( 0 1) 0= OP FP x0(x0 1)2x03(1 ) 4=2x04x0 3 ，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0 2 ，因为2 x 2 ，所以当 x0 2时， OP FP 取得最大值02242 3 6，选C。【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。11 解析：由题意，椭圆上存在点 P，使得线段AP 的垂直平分线过点 F ，即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等而| FA| 2 2a b cc c| PF| ac, a c于是2bc ac, ac2 2 2即 ac c b acc2 2 2ac c a c2 2 2a c ac cca1c c 1或a a12又 e(0,1)故 e12,1答案： D12 （2010 湖北文数） 9.若直线 y x b与曲线2y 3 4x x 有公共点，则b 的取值范围是A. 1 2 2 , 1 2 2 B. 1 2 ,3.C.-1, 1 2 2 D. 1 2 2 ,3二、填空题： （本大题共 4 小题，共 16 分.）13 若一个椭圆长轴的长度 . 短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是14 椭圆2 2x y49 241上一点 P 与椭圆两焦点 F1, F2 的连线的夹角为直角，则 RtPF1F2 的面积为 .15 （2010 全国卷 1 文数） (16) 已知 F是椭圆 C 的一个焦点， B 是短轴的一个端点，线段 BF的延长线交uur uurC 于点 D ， 且BF 2FD，则 C 的离心率为 .33【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形y 结合思想、 方程思想 ,本题凸显解析几何的特点： “数B研究形，形助数” ，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径 .x O F【解析 1】如图，2 2|BF | b c a ,D D1uur uur作 DD1 y 轴于点 D1,则由 BF 2FD，得| OF | |BF | 2|DD | | BD | 313 3,所以 1|DD | |OF | c , 2 2即3cx , 由椭圆的第二定义得D22 3 3 2a c c| FD | e( ) a c 2 2a又由 | BF | 2 | FD | ,得23ca 2a ,ae33.【解析 2 】设 椭圆方程 为第一 标准形 式2 2x y2 2 1a b， 设 D x2 ,y2 ，F 分 BD 所 成的比为 2 ，0 2x 3 3 b 2y 3y b 3 0 b b2 2 cx x x c; y y ，代入c 2 c c 21 2 2 2 1 2 2 2 22 29 c 1 b2 24 a 4 b1，e3316 （2010 湖北文数） 15. 已知椭圆2x2c: y 1的两焦点为 F1,F2 ,点 P( x0, y0 )满足2 20x20 y 1 ,则02| PF1|+ PF2 | 的取值范围为 _ 。2,2 2 ,0 【答案】【解析】 依题意知， 点 P 在椭圆内部 .画出图形， 由数形结合可得， 当 P 在原点处时 (| PF1 | | PF2 |)max 2 ，当 P 在椭圆顶点处时，取到 (| PF1 | | PF2 |)max 为( 2 1) ( 2 1) =2 2，故范围为2,2 2( x , y ). 因为 0 0在椭圆2x22 1y的内部， 则直线x x02y y0 1上的点（ x, y ）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为 0 个.二.填空题：133514 24 1533162,2 2 ,0三. 解答题：20. 解：设 p 点的坐标为 p( x, y)， m 点的坐标为(x , y ) ，由题意可知0 0x x0x x0y y 因为点 m 在椭圆2 y0y022 2x y25 91上，所以有 2 2x y0 0 125 9 ， 把代入得2 2x y25 361，所以 P 点的轨迹是焦点在 y 轴上，标准方程为2 2x y25 361的椭圆 .21. 解：（1）由已知eca53， a 45 3 5 ，得 c 5 ，所以2 2 2 45 25 20m b a c（2）根据题意 S ABF2 S F1F2B 20，设 B(x, y) ，则1S F F y ， F1F2 2c 10，所F F B1 2 1 22以 y 4，把 y 4代入椭圆的方程2 2x y45 201，得 x 3，所以 B点的坐标为（ 3，4），所以直线AB 的方程为4 4y x或y x3 319 （2010 辽宁文数）（20）（本小题满分 12 分）设 F1，F2 分别为椭圆 C2 2x y: 12 2a b(a b 0) 的左、 右焦点， 过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B两点，直线 l 的倾斜角为 60 ， F1 到直线 l 的距离为 2 3 .（）求椭圆 C的焦距；（）如果 AF2 2F2B,求椭圆 C的方程 .解：（）设焦距为 2c，由已知可得 F1到直线 l 的距离 3c 2 3, 故c 2.所以椭圆 C 的焦距为 4.（）设 A( x1, y1 ), B( x2, y2 ),由题意知 y1 0, y2 0,直线 l 的方程为 y 3( x 2).y 3( x 2),联立2 2x y2 2a b1得2 2 2 2 4(3a b )y 4 3b y 3b 0.解得2 23b (2 2a) 3b (2 2a)y , y .1 2 2 2 2 23a b 3a b因为 AF2 2F2B,所以 y1 2y2.即2 23b (2 2a) 3b (2 2a)2 .2 2 2 23a b 3a b得2 2a 3.而a b 4,所以b 5.2 2x y故椭圆C 的方程为9 522.20 （2010 辽宁理数） (20)（本小题满分 12 分）设椭圆C：2 2x y2 2 1( 0)a ba b的左焦点为F，过点 F 的直线与椭圆C 相交于 A，B 两点，直线 l的倾斜角为60 o, AF 2FB .(III) 求椭圆C 的离心率；(IV) 如果 |AB|=154，求椭圆C 的方程 .解：设A( x1, y1), B(x2 , y2 )，由题意知y10， y2 0.（）直线 l 的方程为y 3 (x c)，其中2 2c a b .y 3( x c),联立2 2x y2 2a b1得2 2 2 2 4(3a b )y 2 3b cy 3b 0解得2 23b (c 2a) 3b (c 2a)y , y1 2 2 2 2 23a b 3a b因为AF 2FB ，所以 y1 2y2 .即2 23b (c 2a) 3b (c 2a)22 2 2 23a b 3a b得离心率eca23. 6 分1（）因为2 1AB 1 y y ，所以322 4 3ab 1532 23a b 4.由ca23得5b a .所以35 15a ，得 a=3， b 5 .4 42 2x y椭圆C 的方程为9 51. 12 分21 （2010 北京理数）（19）（本小题共14 分）.在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1 ）关于原点 O 对称， P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于13.()求动点 P 的轨迹方程；()设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N，问： 是否存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。（I）解：因为点 B 与 A ( 1,1)关于原点 O对称，所以点 B 得坐标为 (1, 1) .设点 P 的坐标为 (x, y)由题意得y 1 y 1 1x 1 x 1 3化简得2 3 2 4( 1)x y x .故动点 P 的轨迹方程为2 3 2 4( 1)x y x（II）解法一：设点 P 的坐标为 ( x0 , y0) ，点 M ， N 得坐标分别为 (3, yM ) , (3, yN ) .则直线 AP 的方程为y 10y 1 ( x 1)x 10，直线 BP的方程为y 10y 1 ( x 1)x 10令 x 3得yM4y x 30 0x01，yN2y x 30 0x01.于是 PMN 得面积2 1 | x y | ( 3 x )0 0 0S | y y | ( 3 x )P M N M N 0 22 |x 1 |0又直线 AB的方程为 x y 0，| AB | 2 2 ，点 P 到直线 AB 的距离| x y |0 0d .2于是 PAB 的面积1S | AB| d | x y |PAB 0 02当 S PAB S PMN 时，得2| x y | (3 x )0 0 0| x y |0 0 2| x 1|0.又| x0 y0 | 0 ，所以2(3 x ) =02| x 1| ，解得0|5x 。03因为2 2x0 3y0 4 ，所以y0339故存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等，此时点 P 的坐标为5 33( , )3 9.解法二：若存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等，设点 P的坐标为 (x0 , y0)则1 1 | PA| | PB |sin APB | PM | | PN | sin MPN .2 2因为 sin APB sin MPN ,所以| PA| | PN |PM | | PB |所以|x 1| |3 x |0 0|3 x | | x 1|0即2 2(3 x ) | x 1|，解得0 0x053因为2 2x0 3y0 4 ，所以y0339故存在点 P S 使得 PAB 与 PMN 的面积相等，此时点 P 的坐标为5 33( , )3 9.22 （2010 天津文数）（21）（本小题满分 14 分）已知椭圆2 2x y2 2 1（ab0）的离心率 e=a b32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4.（）求椭圆的方程；（）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点 A 的坐标为（ -a，0）.（i）若4 2| |= ，求直线 l 的倾斜角；AB5（ii）若点 Q（0，y0）在线段 AB 的垂直平分线上，且 QA QB=4 . 求 y0 的值 .【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力 .满分 14 分.（）解：由 e=ca32，得2 23a 4c .再由2 2 2c a b ，解得 a=2b.由题意可知122a 2b 4 ，即 ab=2.解方程组a 2b,ab 2,得 a=2，b=1.所以椭圆的方程为2x42 1y .()(i) 解：由（）可知点 A 的坐标是（ -2,0 ）. 设点 B