数学人教版八年级上册角平分线的性质.ppt

角平分线的性质,已知:AOB,求作：AOB的平分线,（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。,（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在AOB的内部交于点C。,（3）作射线OC。射线OC即为所求。,A,0,B,M,N,C,做法：,A,O,仔细观察步骤,将AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?,可以看一看,第一条折痕是AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到AOB两边的距离,这两个距离相等.,折一折,探究2：,按照做一做的顺序画AOB的折痕OC,过点P的垂线段PD、PE，并度量所画PD、PE是否等长？,画一画,同学甲、乙谁的画法是正确的?,议一议：由折一折和画一画你可得到什么猜想？,能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话请填下表：,PD=PE,OC平分AOB，PDOA,PEOB,D、E为垂足,于是我们得角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等,角平分线的性质定理：,定理1角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,定理应用所具备的条件：,定理的作用：,证明线段相等。,应用定理的书写格式：,OP是的平分线,PD=PE,（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。,如图，AD平分BAC（已知）,=，(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BDCD,（）,练习：,AD平分BAC,DCAC，DBAB（已知）,=，（）,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,如图，DCAC，DBAB（已知）,=，(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BDCD,（）,反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？,已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上,思考,证明:QDOA，QEOB（已知），QDOQEO90（垂直的定义）在RtQDO和RtQEO中QOQO（公共边）QD=QERtQDORtQEO（HL）QODQOE点Q在AOB的平分线上,已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上,这样，我们又可以得到一个结论：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。,证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足分别为D、E、F,BM是ABC的角平分线，点P在BM上PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等,想一想，点P在A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？,，,B,如图所示OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?,PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等.,思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺1：20000）,如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上,证明：,过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M,G,H,M,点F在BCE的平分线上，FGAE，FMBC,FGFM,又点F在CBD的平分线上，FHAD，FMBC,FMFH,FGFH,点F在DAE的平分线上,利用结论，解决问题,练一练1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?,拓展与延伸,2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有: