第四章导数的应用1.ppt

第四章导数的应用,1判断函数的单调性,2求函数的极值和最值,3求函数的凸性和拐点,4求曲线的曲率,一、函数单调性的判别法,定理,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,例1,解,例2讨论函数,的单调性。,注：导数为零的点和不可导的点都有可能,成为函数单调区间的分界点。,注:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,例如,注：若f(x)在某区间内的孤立点处为零（或不存在），,而在其余各点均为正（或均为负），则f(x)在该区间内,仍旧是单调增加（或单调减少）的。,例证明当x0时，,因为仅在孤立点x=2n（n为正整数）处,令,证:,f(x)=0，,故f(x)在0,+)上单调增加。,从而当x0时，,f(x)f(0)=0，,即xsinx0，,于是xsinx.,例,证,证明：,例,解:设,则,由闭区间上连续函数的零值定理,二、函数极值的定义,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,三、函数极值的求法,定理2(必要条件),定义,注意:,例如,例,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,定理3(第一充分条件),(是极值点情形),求极值的步骤:,(不是极值点情形),例,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,定理4(第二充分条件),证,同理可证(2).,例,解,图形如下,注意:,解:因为,根据局部保号性定理知,存在0点的某个去心邻域,在此邻域内有,所以有,小结,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),四、最值的求法,最大值、最小值问题的步骤：,（2）计算区间端点处的函数值；,求连续函数f(x)在a,b上的最大值与最小值：,（1）计算函数驻点与不可导点处的函数值；,（3）对以上两类函数值进行比较即得。,例1,解,计算,比较得,2.如果函数f(x)区间X上连续,若f(x)在X上只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),注1：一般地说，若函数f(x)的最大(小)值是在区间(a,b),内取得，则该最大（小）值必为极大（小）值，,注2：在实际问题中，往往根据问题的性质，就可断定,可导函数f(x)在其区间内部确有最大值（或最小值），,此时，如果确定f(x)在这个区间内部只有一个驻点x0（或导数不存在的点），,那么，这个点就是函数的最值点,例4,敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？,解,(1)建立敌我相距函数关系,敌我相距函数,得唯一驻点,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,例5,某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,解,设房租为每月元，,租出去的房子有套，,每月总收入为,（唯一驻点）,故每月每套租金为350元时收入最高.,最大收入为,例6,解,如图,解得,小结,注意最