导数的应用——函数的极值.ppt

导数的应用函数的极值,利用函数的导数判断函数的单调性的基本步骤为:,求函数的定义域;,求函数的导数;,解不等式0得f(x)的单调递增区间;解不等式0).,当x变化时,f(x)的变化情况如下表:,练习:求函数的极值.,解:,令=0,解得x1=-1,x2=1.,当x变化时,y的变化情况如下表:,因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3;而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=-3.,课堂练习,课本P130练习,1.设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称极值.,2.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:,课堂小结,(1):如果在x0附近的左侧那么,f(x0)是极大值;,(2):如果在x0附近的左侧那么,f(x0)是极小值.,3.理解函数极值的定义时应注意:,(1)函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间内部的点而不会是端点.,(2)若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.,(3)极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.,(4)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.,课堂小结,(6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.,4.确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利用导数判断函数极值的基本方法.,(5)导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.,例:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,求a、b的值.(2)若,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜率为k,试讨论k-1成立的充要条件.,解:(1)由得x=0或x=4a/3.4a/3=4,a=6.,由于当x0时,故当x=0时,f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1.,(2)等价于当时,-3x2+2ax-1恒成立,即g(x)=3x2-2ax-10对一切恒成立.,由于g(0)=-10,故只需g(1)=2-2a0,即a1.,反之,当a1时,g(x)0对一切恒成立.,所以,a1是k-1成立的充要条件.,例题讲解,例题讲解,例:已知函数f(x)满足条件:当x2时,;当x2,由条件可知,即:,当时,x20,列表如下:,由表可得,即.,又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.,例题讲解,(2)若a0,列表如下:,由表可得,即.,又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.,例:已知f(x)=ax5-bx3+c在x=1处有极值,且极大值为4,极小值为0.试确定a,b,c的值.,例题讲解,练习:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.,解:=3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.,又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.,由、解得或,当a=-3,b=3时,此时f(x)在x=1处