第六章 Lagranger第二类方程(习题).ppt

分析力学,东北大学理学院应用力学研究所张英杰,PAG2,动能的广义坐标表达式,Lagranger第二类方程,Lagrange方程的首次积分,第六章Lagranger第二类方程,Lagrange方程的降维法-罗司方程和惠特克方程,耗散系统,PAG3,习题1图示行星齿轮机构在水平面内运行,已知质量为m1的均质杆OA可绕点O转动,质量为m2、半径为r的均质小齿轮沿半径为R的固定大齿轮纯滚动。当系杆受力偶M的作用时,求该系杆的运动方程。,O,A,运动分析,均质杆定轴转动:,动齿轮平面运动:,系统动能,6.2Lagranger第二类方程,解:行星齿轮机构具有一个自由度，取杆OA的转角为广义坐标,角速度,小齿轮瞬心为B,PAG4,O,A,6.2Lagranger第二类方程,广义力,齿轮接触处为理想约束,摩擦力作用于速度瞬心故不作功,习题1图示行星齿轮机构在水平面内运行,已知质量为m1的均质杆OA可绕点O转动,质量为m2、半径为r的均质小齿轮沿半径为R的固定大齿轮纯滚动。当系杆受力偶M的作用时,求该系杆的运动方程。,PAG5,O,A,6.2Lagranger第二类方程,列系统的Lagranger第二类方程,习题1图示行星齿轮机构在水平面内运行,已知质量为m1的均质杆OA可绕点O转动,质量为m2、半径为r的均质小齿轮沿半径为R的固定大齿轮纯滚动。当系杆受力偶M的作用时,求该系杆的运动方程。,PAG6,习题2匀质圆轮A、B半径均为R,质量均为m2,A轮沿水平面只滚不滑,轮心由轻质弹簧(刚度为k)水平联于墙上,质量为m1的物块C以细绳跨过均质轮B并联于A点。若细绳始终保持张紧,求此系统的运动微分方程。,运动分析,6.2Lagranger第二类方程,解:取系统为研究对象,系统有一个自由度,以物块平衡位置为原点,x为广义坐标,物块C平移:,轮B定轴转动:,轮A平面运动:,轮A瞬心为D,D,PAG7,系统动能,6.2Lagranger第二类方程,以平衡位置为重力势能零点,弹簧原长处为弹性势能零点,st平衡位置处弹簧的伸长量,系统在任意位置x处的势能,D,习题2匀质圆轮A、B半径均为R,质量均为m2,A轮沿水平面只滚不滑,轮心由轻质弹簧(刚度为k)水平联于墙上,质量为m1的物块C以细绳跨过均质轮B并联于A点。若细绳始终保持张紧,求此系统的运动微分方程。,PAG8,6.2Lagranger第二类方程,主动力是有势力,列系统的Lagranger第二类方程,系统的运动微分方程:,D,习题2匀质圆轮A、B半径均为R,质量均为m2,A轮沿水平面只滚不滑,轮心由轻质弹簧(刚度为k)水平联于墙上,质量为m1的物块C以细绳跨过均质轮B并联于A点。若细绳始终保持张紧,求此系统的运动微分方程。,PAG9,系统有两个自由度，广义坐标为x、,习题3均质杆AB长为l,质量为m,借助A端销子沿斜面滑下,斜面升角为,设杆从竖直位置处由静止开始运动,不计销子质量和摩擦,求杆的运动微分方程;开始运动时斜面受到的压力。,运动分析,6.2Lagranger第二类方程,解:取系统为研究对象,杆作平面运动,A,B,x,以A为基点,动能,PAG10,6.2Lagranger第二类方程,习题3均质杆AB长为l,质量为m,借助A端销子沿斜面滑下,斜面升角为,设杆从竖直位置处由静止开始运动,不计销子质量和摩擦,求杆的运动微分方程;开始运动时斜面受到的压力。,PAG11,6.2Lagranger第二类方程,选初时杆AB的质心初始位置为重力势能零点,势能,列系统的Lagranger第二类方程,习题3均质杆AB长为l,质量为m,借助A端销子沿斜面滑下,斜面升角为,设杆从竖直位置处由静止开始运动,不计销子质量和摩擦,求杆的运动微分方程;开始运动时斜面受到的压力。,PAG12,6.2Lagranger第二类方程,运动开始时,斜面受到的压力,动量矩定理,习题3均质杆AB长为l,质量为m,借助A端销子沿斜面滑下,斜面升角为,设杆从竖直位置处由静止开始运动,不计销子质量和摩擦,求杆的运动微分方程;开始运动时斜面受到的压力。,PAG13,习题4一空间弹簧摆，质点的质量为m，弹簧的刚度系数为k，作用在质点上的耗散力F=v2，求摆的运动微分方程。,解:摆有三个自由度，取r,和为广义坐标,重力与弹性力势能,6.5耗散系统,系统动能,系统的Lagrange函数：,Lagrange第二类方程,PAG14,耗散函数,6.5耗散系统,代入Lag