3.1.2导数的概念.pptx

第3章导数及应用3.1变化率与导数,早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果微积分的产生。,背景介绍,微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，他们分别从运动学和几何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛的应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连历法、农业都与微积分密切相关。,研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度,导数研究的问题,变化率问题,气球膨胀率:我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?,气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是,如果将半径r表示为体积V的函数,那么,()=,()=,我们来分析一下:,当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为,当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为,显然0.620.16,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小。,思考?,当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?,高台跳水,请计算：,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,平均变化率定义:,若设x=x2-x1,y=f(x2)-f(x1)则平均变化率为,这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2同样y=f(x2)-f(x1),上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,1.x是一个整体符号，而不是与x相乘；式子中x、y的值可正、可负，但x值不能为0，y的值可以为0;因此，平均变化率可正，可负，也可为零；,2.若函数f(x)为常函数时，y=0,3.变式,观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1=x,f(x2)-f(x1)=y,直线AB的斜率,(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?,在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.,计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：,虽然运动员在这段时间里的平均速度为0(m/s)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止,在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10,求2时的瞬时速度？,我们先考察2附近的情况。任取一个时刻2，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当0时，在2之前；当0时，在2之后。,瞬时速度,、函数的平均变化率怎么表示？,导数的作用：,在问题2中，高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度；,在问题1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率.,导数可以描绘任何事物的瞬时变化率,例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.,(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数,(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.,求函数在某处的导数,例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.,例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=