矩阵的等价,合同,相似的联系与区别

目录摘要I引言1一矩阵间的三种关系11.1矩阵的等价关系11.2矩阵的契约关系21.3 .矩阵的相似关系2二矩阵的等价，与合同类似的关系3三矩阵的等价，与合同相似的区别6结语6参考文献6摘要：等价，与合同类似是矩阵中三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有重要地位。 矩阵可逆性、矩阵对角化问题、矩阵特征根与特征向量、二次型标准形等多种问题的解决依赖于这三种等价关系关键字：矩阵的等效矩阵相似矩阵的契约等效条件序言：在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别是矩阵的等价关系、矩阵的类似关系和矩阵的契约关系等。 本文介绍了这三个关系与各关系的定义、性质、相关定理分别存在的条件，并介绍了这三个矩阵关系之间的联系，即类似矩阵、合同矩阵必须是等价矩阵，类似为正交类似，合同为正交合同时类似与合同一致。 也有矩阵的相似和合同的等价条件。 并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量。一矩阵间的三种关系1.1矩阵的等价关系定义一个两个矩阵等价的满足条件是存在可逆的阶矩阵和可逆的阶矩阵，根据矩阵的等价关系，可以得到与矩阵等价所需的两个条件(1)和矩阵必然是同型矩阵(不能求矩阵)。(2)由于存在步骤可逆矩阵和步骤可逆矩阵性质1(1)反身体性：即(2)对称性：如果是这样的话(3)传递性：即定理1是矩阵，且必定存在可逆矩阵(阶)和(阶)，因此这里设为阶单位矩阵.假设推论1是两个矩阵，只有当时1.2矩阵的契约关系定义2都是数域上的阶梯方阵，若存在数域上的阶梯可逆矩阵，则将矩阵称为合同矩阵(若数域上的阶梯可逆矩阵为正交矩阵)，根据矩阵的合同关系，能够容易地得到矩阵和合同必须同时具备的两个条件(1)矩阵不仅是同型矩阵，还是正方阵(2)存在数域上的阶矩阵，性质2(1)反身体性：任意行列与自己签约(2)对称性：如果是契约，也可以是契约(3)传达性：合同，合同，如有合同，合同和因此，矩阵的契约关系也是等价关系，可以根据定义直接推定：契约矩阵的等级等定理2区域f中两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵契约定理3多域中的秩为二次型，可以用适当的全秩进行线性变换作为标准形1.3 .矩阵的相似关系定义3都是数域的上位方阵，当存在数域的上位可逆矩阵时，称为矩阵和类似矩阵(如果级可逆矩阵是正交矩阵，则称为正交类似矩阵)。从矩阵的类似关系中，很难得到与矩阵的类似，必须同时具备两个条件(1)不仅是矩阵和同型矩阵，而且是正方阵(2)在数域的上位可逆矩阵中性质3(1)反身性(2)对称性即得(3)传递性和即得性也就是说，契约是一个矩阵间的等价关系，而且经过不退化的线性置换，新的二次型矩阵和原二次型矩阵是契约。(4) (此处为任意常数)(5)与(6)相似则相似(正整数)(7)类似矩阵具有相同的秩，并且如果是全秩矩阵也就是说，如果全秩矩阵类似，则它们的逆矩阵也类似(8)类似矩阵具有相同的行列式如果是这样的话(9)相似的矩阵既可逆也可不可逆的逆矩阵相似可逆则为可逆，并且类似。不可逆不可逆，即不可逆.下面的性质是重要的结论，所以把它写在下面的定理里了定理4相似矩阵特征值相同推论3类似矩阵有相同的痕迹双矩阵的等价、与合同类似的关系(1)从以上3种矩阵间关系的定义可知，各个矩阵关系具有必要的条件，但这3种关系相互有密切的关系定理5类似矩阵必须是等价矩阵，等价矩阵不一定是类似矩阵证明：如果楼梯的方阵相似，则由于从定义3知道存在楼梯的可逆矩阵，因此在这种情况下，如果有，则从定义1开始楼梯的方阵变得等价相反，对于矩阵，等价，但不相似，即等价矩阵不一定相似.对于定理6阶平方矩阵，存在阶可逆矩阵的使用(即，等效于)，且类似于阶单位矩阵.证明：如果存在步骤正方阵和步骤可逆矩阵，则其等价。 另外，如果存储，即矩阵也相似.定理7契约矩阵必定是等价矩阵，等价矩阵不一定是契约矩阵证明：设定阶方的契约，有定义2，存在阶可逆矩阵，所以记录下来，就可以从定义1得到阶方的等价相反，关于矩阵是等价的，但是没有签约，也就是说不一定和等价矩阵签约定理8正交类似矩阵必须是合同矩阵，正交合同矩阵必须是类似矩阵证明：只要有一个正交矩阵，即使可以，也有合同同样，如果存在正交矩阵，即使签订合同这样可以得到1 .类似阵、合同阵必须是等价阵，但必须成立2 .相似矩阵为正交相似，合同矩阵为正交合同时，相似与合同一致(2)但是，类似矩阵与契约矩阵有一定的内在关系，如果两者具有反身性、对称性和传递性，则两者是等价关系。 此外，在一定条件下，两者是等价的。 如果矩阵和正交相似，即使相似也是合同性的。 相似和合同矩阵的等价条件有以下定理定理9和都是阶实对称矩阵，且如果有相同特征的根，则类似地签约证明：如果和的特征根全部是阶数和实际对称矩阵，则必定存在阶数正交矩阵q，同样可以找到正交矩阵在上式的两侧乘以左右因为有。 因此，正交矩阵，从定理8可知相似定理10次矩阵和中若有一个正交矩阵，则类似且合同。证明：作为正交矩阵，因为知道是可逆的、有的、类似的、正交矩阵，所以可以类似地签约定理11类似且合同，类似且合同，则类似且有合同。因为证明：类似，所以可逆矩阵是存在的、使用、指令和类似的另外，为了契约，存在着可逆矩阵令然后呢故意签约三矩阵的等价、与合同相似的区别1、矩阵等价： a .关于同型矩阵b .一般与初等变换有关c .秩是矩阵等价的不变量，其次两同态矩阵类似的本质是秩相等2、矩阵相似： a .对方阵来说b .等级相等是必要条件c .本质是两者有相等的不变因子3、矩阵合同： a .对方阵来说，一般是对称矩阵b .等级相等是必要条件c .本质上等级相等，正惯性指数相等，即标准类型相同综上所述，秩是与矩阵等价的不变量，不变系数是矩阵相似的不变量，特征量是可对角矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵契约的不变量，等价关系最弱，与契约类似是特殊的等价关系。 从类似和合同中一定可以出等价，但相反不成立。 类似和合同不能相互推断，需要一定条件的类似不一定类似于对角矩阵。 类似矩阵可以看作是同一线性变换不同基底下的矩阵的契约可以通过二次型的非退化的线性交替来理解结语：矩阵中的这三个关系，在高等代数中很重要，他们包含着联系和差别。 类似矩阵、合同矩阵必须是等价矩阵，等价矩阵不一定是类似矩阵也不是合同矩阵的类似是正交类似，合同是正交合同时，类似与合同一致的等级是与矩阵等价的不变量的不变因子是矩阵类似的不变量，特征值是可对角化矩阵类似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量参考文献：1张稻科瑞.高等代数M .北京：高等教育出版社，19832姚慕生.高等代数学M .复旦：复旦大学出版