解排列组合问题的常用技巧

解排列组合问题的常用技巧排列组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础，事实上，许多概率问题也归结为排列组合问题，这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧。解答排列组合的问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法和技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解，下面介绍几种常用的解题技巧。一、 特殊元素“优先安排法”对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑元素，在考虑其他元素。例用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）个 个个个分析：由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为不能排在首位，故就是其中的特殊元素，应优先安排按排在末尾和不排在末尾分为两类：排在末尾时，有个，0不排在末尾时，则有个，由分类计数原理，共有偶数个，选B二、 总体淘汰法对于含有否定字眼的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时，应注意既不能多减也不能少减。例100件产品中有3件是次品，从中任取三件，其中不全是正品的选法有多少种？分析：从100件产品中选3件产品的选法有种，选好后发现3件产品都是正品的选法不符合题意，因此把这种排法除去，故有种。三、 合理分类与准确分布法解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清晰，不重不漏。例将5列火车停放在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b不停在第二条轨道上，那么不同的停放方法有多少种？分析：由题意，可先安排a列车，并按其进行分类讨论：若a列车在第二轨道上，则剩下4辆列车可自由停放，有种方法，若a列车停第三或第四或第五轨道上，则根据分布计数原理有种停法，再用分类计数原理，不同的停放方法共有种。例某帆船上有10名水手，他们分别在船左、右两侧，每侧4人，其中有2名水手只会划左侧浆，1名只会划右侧浆，问这些水手不同的安排方法共有的种数为多少？分析：根据题意，可根据选的水手中含有这三名特殊水手的情况分类：若被选出的4名水手中仅有1名只会右手侧的水手，有种选法；若被选出的4名水手中有只会右手侧的水手和只会左手侧的水手各1名，有种选法；若被选出的4名水手中有只会右手侧的水手1名和只会左手侧的水手2名，有种选法；若被选出的4名水手中仅有只会左手侧的水手1名，有种选法；若被选出的4名水手中有只会左手侧的水手2名，有种选法，根据分类计数原理，不同的选法有种。四、 相邻问题“捆绑法”对于某几个元素要求相邻的排列问题，可以先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个大的元素与其他的元素排列，然后再对相邻的元素内部之间在进行排列。例人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种不同的排法？分析：把甲，乙，丙三人“捆绑”起来看成一个元素，与其他的4人共5个元素作全排列，有种排法，而甲，乙，丙三人之间又有种排法，根据分步计数原理，共有=7200种排法。五、 不相邻问题“插空法” 对某几个元素不相邻的排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素已排好的元素之间及两端的空隙中插入即可。例7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种不同的排法？分析：先让其余4人站好有种排法，再在这4人之间及两端的5个“间隙”中选3个位置让甲，乙，丙插入，则有种方法，这样共有种不同的排法。六、 等价转化法一些常见类型方法为自己熟知之后，对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难的问题，后者有些问题从正面入手情况较多，不易解决，这是可考虑能否进行等价转化，从反面入手，或构造模型，将其转化为一个较简单的问题来处理。例马路上有12只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？分析：关第一只灯的方法有10种，关第二只、第三只灯时要分类讨论，情况较复杂。若换一个角度，从反面入手考虑，因每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件亮灯与暗灯的排列，于是问题就转化为等价的“在9只亮灯产生的8个空档中插入3只暗灯”问题，故所求方法种数为。 例四面体顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有多少种？ 分析：从10个点中任取4个点取法有种，其中4点共面的情况如下图 图（1） 图（2） 图（3）4点共面的取法共有个，把这些不符合条件的情况除去，所以，取4个不共面的点的取法共有种。七、 顺序固定问题用“除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可以先把这几个元素与其它元素一同进行排列，然后又总排列数除以这几个元素的全排列数。例由数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数，其中个位数小于十位数的共有多少个？分析：若不考虑附加条件，组成的六位数字共有个，而其中个位数与十位数的种排法中只有一种符合条件，故符合条件的六位数共有个。八、 混合应用问题“先选后排法” 对于排列与组合的混合问题，可采用先选出元素，然后再进行排列的方法。 例4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，恰好有一个空盒的放法有多少种？ 分析：因有一个空盒，故必有一个盒子放2个球，第一步先选：从4个小球中选出2个小球的方法有种，从4个盒子中选3个盒子的方法有种，第二步排列，把选出的2个小球看成一个元素与其余的2个小球共3个元素，对选出的3个盒子作全排列有种排法，故所求的放法共有种九、 “小团体”问题“先整体后局部法”对于“小团体”排列问题，与“相邻问题”相似，可先将小团体看作一个元素与其它元素排列，最后再进行小团体内部的排列。例7个人站成一排照相，要求甲、乙之间恰好相隔2人的站法有多少种?分析: 甲、乙及间隔的2人组成一个“小团体”,这2人可从其余5人中任选出来,有种不同选法,这个小团体与其余3人共4个元素全排列有种方法,它的内部甲、乙2人有种不同排法,中间的2人也有种不同排法,因而符合要求的不同站法共有种。十、 构造“隔板”模型法对较复杂的排列问题，可通过设计另外一情景，构造一个“隔板”模型来帮助解决问题。例方程有多少组正整数解？分析：建立“隔板”模型法：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，而每一种分法所得