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文档简介

二、矩阵可逆的判定,三、逆矩阵的求法,一、逆矩阵的定义,第五讲矩阵的逆,四、逆矩阵的应用,则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵.,在数的运算中，,当数时，,有,其中为的倒数，,（或称的逆）；,在矩阵的运算中，,单位阵相当于数的乘法运算中,的1，,那么，对于矩阵，,如果存在一个矩阵,使得,一、逆矩阵的定义,例1设,一、逆矩阵的定义,注意：不是任何矩阵都可逆,故不可逆,一、逆矩阵的定义,说明若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.,若设和是的可逆矩阵，,则有,可得,所以的逆矩阵是唯一的,即,证明：,一、逆矩阵的定义,例2设,解,设是的逆矩阵,则,利用待定系数法,又因为,所以,二、矩阵可逆的判定,定义2,称为A的伴随矩阵.,性质：,余子式，矩阵,设是矩阵中元素的代数,定理1矩阵可逆的充要条件是，且,证明,若可逆，,二、矩阵可逆的判定,按逆矩阵的定义得,证毕,奇异矩阵与非奇异矩阵的定义,推论,证明,逆矩阵的运算性质,证明,证明,例3求方阵的逆矩阵.,解,三、逆矩阵的求法,1、伴随矩阵法,故,例4,证:,练习,证:,2、定义法,如果矩阵A经过若干次行初等变换可以化为单位矩阵E，每进行一次行初等变换相当于在矩阵A的左侧乘以一个初等矩阵。,若将这些初等矩阵依次记为,即有,若令,，则,而,即将同样的行初等变换作用在E上，即可得到A的逆矩阵。,3、行初等变换法,在给定的n阶方阵的右边放一个n阶单位矩阵E形成,实施初等行变换，直到将原矩阵A所在部分变成单位矩阵E，原单位矩阵部分经同样的初等变换后，所得,方法,3、行初等变换法,例5,练习,求矩阵,的逆。,解,四、逆矩阵的应用,1、克莱姆法则,若线性方程组AX=b的系数矩阵A的行列式|A|0，则方程组AX=b的解存在，并且唯一。,由|A|0知A可逆，,形如AX=B，XA=B，AXB=C的含有矩阵形式的方程，称之为矩阵方程。,2、矩阵方程,如对AX=B，如果矩阵A可逆，则,（1）先求A的逆矩阵，再计算X；,（2）,例6,2、矩阵方程,（方法一）给方程两端左乘矩阵,解：,（方法二）,练习,解,对XA=B呢？,（1）将XA=B转置，即化为,再利用AX=B的类型的方法进行求解，得到，进而有,（2）对进行初等列变换，即,给方程两端右乘矩阵,得,例7,解：,某工厂检验室有甲、乙两种不同的化学原料，甲种原料分别含锌与镁10%与20%，乙种原料分别含锌与镁10%与30%，现在要用这两种原料分别配制A、B两种试剂，A试剂需含锌、镁各2g、5g，B试剂需含锌、镁各1g、2g问配制A、B两种试剂分别需要甲、乙两种化学原料各多少g？,设配制A试剂需要甲、乙两种化学原料分别为x,yg；配制B试剂需要甲、乙两种化学原料分别为s,tg根据题意，得如下矩阵方程,解,设,则,下面用初
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