第四章 方差分析与正交实验设计1.ppt

第四章方差分析和正交试验设计，教学目的和要求：复习方差分析的主要内容，了解正交试验设计的基本内容，掌握各种正交试验设计的数据分析方法。 要求学生初步掌握统计质量管理的意义，掌握相关理论。 重点和难点：本章的重点是无相互作用的正交试验设计和数据分析，难点是有相互作用的正交试验设计和数据分析。 所需时间： 4 2、本章主要内容包括： 41方差分析(略) 4 2正交试验的基本概念与正交表43无相互作用的正交设计与数据分析44有相互作用的正交设计与数据分析45有重复试验时46水准数不同的试验设计与数据分析47筛选试验*48多指标的数据分析*49饱和设计， 第一节方差分析、方差分析是通过比较要素方差和试验误差方差来验证要素对试验指标的影响是否显着。 其本质是，如果假定多个总体方差相等，则确定它们的平均值是否相等。 即，将测试数据的总波动平方和分解为与各要素相互作用以及测试误差的波动平方和，比较它们的方差，判断要素的影响的有效性。 方差分析(AnalysisofVariance，ANOVA )可以解决多个平均值是否相等的检验问题。 节省时间是该方法的显着优点，另一个优点是在分析时合并所有样本数据以增强稳定性。 例如，有30个样本，每个样本包括10个观察单元。 t检验法一次只能研究2个样本，20个观察单位，而方差分析可以组合300个观察单位进行研究。 因此，方差分析是一种实用、有效的分析方法。 方差分析是一种因素分析方法，广泛应用于优化设计、理化分析和绩效评价。 (1)方差分析的内容，方差分析验证多个总体的平均值是否相等的假设。 用一个例子说明方差分析的内容。 例4-1一家饮料生产企业开发了新型饮料。 饮料有橙色、粉红色、绿色、无色透明4种。 如表46所示，从5个超市市场随机收集了前期这种饮料的销售量。 询问饮料的颜色是否会影响销售量。 表4-6该饮料在5个超市的销售情况是方差分析问题。 即检查四种饮料的销售量平均值是否相等。 由于饮料是同一厂家生产的，因此营养量、味道、价格、装饰等可能影响销售量的因素都是相同的，如果检查结果不等于1、2、3、4，则如图4-5(a )所示，它们来自不同的总体，表明饮料的颜色会影响销售量相反，如果检查结果为1、2、3、4，没有明显的影响，则认为饮料的颜色对销售量没有影响，它们来自同一个整体。 见图45(b )。 此外，对于图4-5(a )不同的整体情况，在图4-5(b )相同的整体情况下，在方差分析中经常使用术语。 一是因素，因素是独立变量，也是方差分析研究的对象。 在前面的例子中，饮料的颜色是一个因素。 元素的内容称为级别。 上述例子要素中的等级是饮料的四种不同的颜色。 如果只对一个元素进行方差分析，则称为单元方差分析。 对多个因素同时进行时，称为多因素分析。 在多因素方差分析中，双因素方差分析最为常见。 方差分析通常假定各级别的观察数据来自于遵循整个正态分布的随机样本，其中各级别的观察数据各自独立且方差相同。 在实际应用中严格满足了这些假设，特别是对社会经济现象的分析，确实严峻。 然而，一般应近似满足上述要求。(二)方差分析的原理是通过比较该目的的手段或方差来实现该目的，以便从方差分析的目的来验证各个级别的平均1、2、3、4是否相等。 观察值之间存在差异，差异的产生来自两个方面，一个方面来自要素中的不同层次，例如饮料的不同颜色带来不同的销售量，可以称之为系统差异，而抽签样本随机性的差异，如同颜色的饮料在百货商店销售两个方面产生的差异可以用两个方差来测量。 一个是级别之间的方差，另一个是级别内部的方差。 前者既包括系统因素，也包括随机因素。 后者只包括随机性。 如果不同级别不影响结果，例如，如果上述饮料的颜色不影响销售量，则级别之间的差异只是随机因素的差异，没有系统差异，它应当近似于级别内部的差异，两个差异的比率接近于1，而如果不同级别影响结果，则级别之间的差异应该是随机的此时，该方差大于水平内的方差，2个方差的比率显着大于1，当该比率在某种程度上增大或到达临界点时，根据水平可以判断存在显着差异。 因此，方差分析通过方差差异的比较来确定是接受还是拒绝原始假设。 (3)f分布、水平间(也称为组间)方差与水平内(也称为组内)方差之比是统计量。 根据数学统计，该统计量遵循fdb (f distribution )。 f分布具有统计量f为大于零的正数的特征。 F分布曲线为正偏置状态，其尾端以横轴为渐近线时为无限。 F分布是连续的概率分布，根据自由度的组合有不同的f分布曲线，如图4-6所示，将试验数据的总波动平方和分解为与各要素相互作用以及试验误差的波动平方和，比较它们的方差，判断要素的影响的有效性。 方差分析是一种因素分析方法，广泛应用于优化设计、理化分析和绩效评价。 其具体步骤如下： (1)统计模型(2)平方和分解(3)F比(4)计算。 4 .最优条件的选择和对应条件下指标平均的估计。 (4)绘图效果图(5)验证实验、图4-6的不同自由度下的f分布曲线，从上图可知，随着分子和分母自由度的增加，f分布以对称的正态分布为界限。 许多种类的假设检验都需要利用f分布，方差分析是其中的重要之一。 二、单因子色散分析，(一)单因子试验例：茶是含叶酸(folacin )的饮料，维生素b。 现将不同茶叶中叶酸的含量进行比较。 我现在选择绿茶。 这是因子，用a表示。 另外，选定了4个产地的绿茶，标记为A1、A2、A3、A4，它是因子a的4个水平。 为了测定试验误差，需要重复进行。 各级重复次数相等的设计称为平衡设计，各级重复次数不同的设计称为不平衡设计。 现在我们选择了不平衡设计，即A1、A2、A3、A4分别制作了7、5、6、6个样本，共计24个样本等待测试。 在、这里的一次测试是一次测试。 因为考试的顺序必须随机化，所以这24次考试按顺序编号。 这里的一次测试是一次测试。 因为考试的顺序必须随机化，所以这24次考试按顺序编号。 从124个试验编号中依次随机抽取，将9、13、2、20、18、10、5、7、14、1、6、15、23、试验结果填入“指定席”，填入试验结果。 4个产地的绿茶叶酸含量打点图(dotplot )、4个产地的绿茶叶酸含量打点图(dotplot )，图表示叶酸含量，线表示样品平均值。以下的直观印象很重要。 图中的绿茶叶酸含量较低。 从样品平均值来看，A1和A2叶酸含量高。 从样品极差来看，A1、A2、A3的极差相近，A4一方略小。 (2)单元方差分析的顺序，从上述内容和例子可以看出，不同水平的销售量x的概率分布遵循正态分布，并且具有相同的方差。 因此，水平的差异必然出现在水的平均值的差异中。 因此，作为单一要素的方差分析，以检验水的平均值j是否相等为目标。 如果相同，则认为该要素(例如前例的饮料的颜色)不影响x，相反，该要素会影响x。 为了便于描述，方差分析可在其中被分成若干步骤，以便于理解。 1 .一个水平平均值的计算，表示第j个等级的样本的平均值表示该等式中第j个等级的第I个观测值，而nj表示第j个等级的观测值的个数。 参考前面表4-6的数据，计算结果表4-7。 在下表中，计算总平均的公式在公式中计算n=nj、表4-7的4色饮料的销售额和平均、2、方差平方和，在单要素方差分析中，方差平方和有3个，分别是总方差平方和、误差项方差平方和、水平项方差平方和。 首先，观察总方差平方和，如果用SST(SumofSquaresforTotal )表示，则反映了SST=方差平方和的整体图像。 根据表4的表7，=28.695，根据上述公式，观察SST=(26.5-28.695 )2(28.7-28.695 ) 2(32.8-28.695 )2=115.9295和误差项方差平方和，计算为SSE(SumofSquaresforError )，计算公式如下如先前分析，SSE反映了实质上随机因素的影响。 在表4-7的示例中，可以为级别1 (即第一组)计算另外三个类似的组： (31.2-29.56 ) 2(29.6-29.56 )2=8. 72 (27.9-26.44 ) 2(26.5-26.44 )2=13.22 (30.8 ) 2.(32.8-31.46 )2=6. 632，SSE=10.688.572 13.192.632=39.084，SSE=，最后是水平项的方差。为了方便起见，单元方差分析中的元素可以称为a。 因此，水平项的方差平方可以用SSA(SumofSquaresforFactorA )表示。 SSA的计算公式是SSA=从各组的平均值中减去总平均值的方差的平方，乘以各组的观察值个数nj，相加后得到SSA。 你可以看到它代表了群体之间的差异。 这包括随机元素和系统元素。 SST、SSE、SSA之间有一定的联系。 因为此关联性表示法是SST=sssssssssssssa，每个组具有相同的正态分布，并且具有均方差条件，方程右侧的最后一项为0，所以可以计算关联性表示法为：即在名为SST=ssssssssssssssssssssssssssssssa的示例中，计算为SST=115.9295，SSSSSS=39.084 SSSS=sssss-sssss=115.9295-39.084=76.8455，3，计算均方并用方差平方除以自由度，如何确定每个方差平方和的自由度至关重要，如上所述。 对于SST来说，自由度是n-1，由于仅有一个限制条件，因此对于SSA来说，自由度是r-1，其中r表示等级的个数。 因为如前面的例子那样，有4个等级，即饮料的4个不同的颜色，所以r=4。 SSA反映了组之间的差异，SSE中的自由度为n-r，每个电平的观察值的个数为nj，要求该电平的自由度为nj，合计r电平的r(nj-1)=n-r实际上，与方差平方和同样，SST、SSA、SSSE之间的自由度也有上述公式的关系。 显然，对于n-1=(r-1) (n-r )，SSA，均方MSA表示在表4-8中，对于SSSE，均方MSE表示在方差分析表中，通常计算结果表示在方差分析表中，以便清楚上述示例：4，方差分析表，上述示例：表4-8用方差分析表、计算机进行方差分析，其输出结果的构成与表4-8相似。 5、平均f检验在介绍方差分析的主要步骤后，返回问题的起点，f检验一些平均值是否相等。 以前的饮料颜色对销售量的影响为例，针对感兴趣的问题提出了原来的假设和替换假设： H0:1=2=3=4色不影响销售量的H1:1、2、3、4均相等的颜色对销售量的影响早已为人所知，计算出的f值为f=10.44 a=0. 05:fa (r-1，n-r )=f0. 05 (3，16 )=3. 24括号内的r-1，n-r分别为分子项和分母项FFa，因此拒绝原始假设，并接受替代假设。 也就是说，j不完全相等表明饮料的颜色对销售量有显着的影响。 另外，图47F的验证图像、问题点、Excel软件输出的分析结果相当于、表49Excel输出的方差分析表、(2)单元方差分析中的其他问题点、表中的Fcrit相当于进行验证的临界点(之前舍入的是3.24 )，p值的结果，在图47中是横轴F10.4862的右侧、f (二)单元方差分析中的其他问题在介绍方差分析的基本过程后，对单元方差分析可能涉及的一些问题进行了说明。 1、方差分析所需要的数据可以在表4-10的结构：表4-10的方差分析数据结构、表4-10的方差分析数据结构、方差分析的要素位于列的位置，也可以位于行的位置，但通常位于列的位置。 如表4-10所示，这与计算机的数据库结构一致，计算机的处理很容易。 2、进行方差分析，每个级别处的采样容量可以相同或不同。 以上示例显示了采样容量相同但采样容量不同的示例。 例42一节课结束后，学生评价该课教师的教学质量，评价结果分为优、良、中、差4部分。 教师对学生考试成绩的评价和学生对教师的评价分别进行，他们不知道对方给自己评分。 有一种说法认为，被教师评为优秀的学生考试分数，