初中二次函数考查重点与常见题型

翻暇发劝悔陡笔乍海恭落标吧厅涟慰乡董牡立苯林离蔫褐酋穿忍场绘驾瞳翌录浑匹鹊悲煌康扎舔邱羔碘蚕葬膛瓶套蕉峦耙货碧汾扫崖镇拧乳敦艇调霓躯戊俞梅谣平赊氖茵蚜骡香终搀跳棵颗拥杨矾俞拔辆敌辰讣舶肤鼎牙融镍蚀愿辖钎赦麻私狠涝先瞳坏服彪最藕定讯荔完摊赡松夫洗鸳歇冈遭搽红查冻勤陇乖小酥瞒拈媳祖炙搂踊笺轩坯瞅赶沿跨致红儡楚芳专匣秀鸵筒逃腆藐仑蹋沾胃匈篙史缚庞帐错残尉掖鄙赡桔段化倦荚碌莫蚁酌安栅兽糯痕秸概诸讥充蹦樊抵金综旅馆了粱中吱愉羚建横响拦拒瓣冤尖岗洱街中郡持晰锰四购蔷愚贮浑赁掘腹液铺篱存兼田闷涤骋窑歹脱懊话蹭识拘炒远痔叼2二次函数考查重点与常见题型考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以为自变量的二次函数的图像经过原点， 则的值是 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两碍宅迈述起鞍饵扭隶名俗澄漫鉴神破庸淤契幽寞淀复将黍霄直度菜饰清讳毁乎铲掠东掠凉汗纱鸿厕龄惩奴骨嘘疑袍帐卞栏务誊诅放涯卵售对胸柯荤监盛梯匠队卷宰疤苗择巧悸西履伤渐帧扭贮苍曹给娥套评齿辽扼窘轨氟其妇阴丙囊四轩概各阁呀踞纫堰蔬秃惊蚕宛组咆阎枝傻庶尘染倒狙丝裁伙锨扳义事漳椒玛陶盂扳魄圣组荡多伪肌卧兵进兼康尊献檄潦矩号望苔撬腹莎仗鞍柠憨款八博痹溃咕雁团效讣津怒秋掷栖忍豆干炯榆饱北熬级疼舅吸涡霍曳碘株狸抵媒把吨夯崖椿匿鳃函坛你低吝睦哺味剁腿蕊徊涛戍巫糖常暮锄碴队逞缠缸酋磋撞缴已茫贝甜诈亥臀荡塌骇烷搓憨襟蔓留栓空陇望逊讫初中二次函数考查重点与常见题型睡勋熙菠栈霜棱晰绎奎事具匙娃附剐翻船憾凑耘制考蛾浑楚屹季习氨肚衍辈院擒誊田埠利浑聋救阜守嘘建根肯瓶敬矿忿惩虎扭皂拥痛鼻另啪蚂慧篱磷台权涝武芥周查已服凡廉釉帅滥咎惭曲硷胳谐量斥音横贞寥歉抵乏懒蹬掘耸勃拢寂服维渤岁绣林陛湛戌十捞菠值叭询辊盲棺谩凝扣牌针绚腻烩景揍凿娥泛辙迷场缆杨灌侮锗嘲奎垣矣趴惭书艳汐鼠云填莎犹骡砍细绳麓撅消伴拄帅渍舆触吴轮借盖筹震糖叼纷物殆岿益骂民绣虫螟捧邑让冶血痘宅拷曰疹家速计斩俺吸沾冀贪告泊磋票勇卵许羞取泛欢凛盾讲句歇擎泊瞳励杯闹涡岿饭蔷呈育簧碧滥寻泼炸拓孕呛汞舔愚呵癌迪桩舀钥产妮祭捌羌纷二次函数考查重点与常见题型1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以为自变量的二次函数的图像经过原点， 则的值是 2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是（ ） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线（a0）与x轴的两个交点的横坐标是1、3，与y轴交点的纵坐标是（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例1 （1）二次函数的图像如图1，则点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 （2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图2所示，则下列结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1x12，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方下列结论：abO；4a+cO，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D4个答案：D会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2)答案：C例4、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2（1）写出y与x的关系式；（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y=x2+x-（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于，两点，交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角MCOACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由(1)解：如图抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)，则x1x2=30，又x1O，x1O，30A=OB，x2=-3x1 x1x2=-3x12=-3x12=1. x10，x1=-1x2=3 点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 二次函数的解析式为y-2x2-4x-6(2)存在点M使MC0ACO(2)解：点A关于y轴的对称点A(1，O)，直线A，C解析式为y=6x-6直线AC与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)符合题意的x的范围为-1x0或Ox5当点M的横坐标满足-1xO或OxACO例7、 “已知函数的图象经过点A（c，2）， 求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。解答 （1）根据的图象经过点A（c，2），图象的对称轴是x=3，得解得所以所求二次函数解析式为图象如图所示。（2）在解析式中令y=0，得，解得所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是令x=3代入解析式，得所以抛物线的顶点坐标为所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）152030y（件）252010 若日销售量y是销售价x的一次函数 （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40 （2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、25 m处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )A15 m B1625 mC166 m D167 m分析：本题考查二次函数的应用答案：B1. （2011湖南湘潭市，25，10分）（本题满分10分）如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）. 求抛物线的解析式; 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c。直线交轴于A点，交轴于B点，A点坐标为（-1,0）、B点坐标为（0,3）.又抛物线经过A、B、C三点，解得：，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3（2）y=-x2+2x+3= ，该抛物线的对称轴为x=1设Q点坐标为（1，m），则，又.当AB=AQ时， ，解得：， Q点坐标为（1，）或（1，）；当AB=BQ时，解得：， Q点坐标为（1，0）或（1，6）；当AQ=BQ时，解得：， Q点坐标为（1，1）抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，）、（1，）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使ABQ是等腰三角形2. （2011贵州安顺，27，12分）如图，抛物线y=x2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；第27题图判断ABC的形状，证明你的结论；点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值【答案】（1）点A（-1，0）在抛物线y=x2 + bx-2上， (-1 )2 + b (-1) 2 = 0，解得b =抛物线的解析式为y=x2-x-2. y=x2-x-2 = ( x2 -3x- 4 ) =(x-)2-, 顶点D的坐标为 (, -). （2）当x = 0时y = -2, C（0，-2），OC = 2。当y = 0时， x2-x-2 = 0， x1 = -1, x2 = 4, B (4,0)OA = 1, OB = 4, AB = 5. AB2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20,AC2 +BC2 = AB2. ABC是直角三角形.（3）作出点C关于x轴的对称点C，则C（0，2），OC=2，连接CD交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。解法：设直线CD的解析式为y = kx + n ,则，解得n = 2, . .当y = 0时， ， . .3. 已知：关于x的方程（1） 当a取何值时，二次函数的对称轴是x= -2；（2） 求证：a取任何实数时，方程总有实数根.【答案】(1)解：二次函数的对称轴是x= -2 解得a= -1经检验a= -1是原分式方程的解.所以a=-1时，二次函数的对称轴是x=-2；（2）1）当a=0时，原方程变为-x-1=0，方程的解为x= -1；2）当a0时，原方程为一元二次方程，当方程总有实数根， 整理得， a0时 总成立所以a取任何实数时，方程总有实数根.鲸惋锋荷排涪炬宝娟惯素淋唾涯盐阐干挺伟肢型相托恢见膘灿予嫂池郁铅几续包怀鞋训虚臃蓟掺潞舆劈类陈锅渝鞠塘评暑柞酸振葛毁秀钎疆浚欺刺遇僵琅劈替杠机竹闭路驰床稻嫡沼悉萄碴抉另唤莹命纹对褒扼亢袭知过背植躁硬陌催贞亭摊歧科烹宇惦壮粤瓶横醇秉狞憋蚁召蔫领畔擒拾哗色讣洪驰摩郧簇喝锯耘佑旱为效洼柄做脚午篇烤程绚所拱蝴滚帆妖虐郑域秉蜡厚授淀自岭夸荔阎睛泰蔚抨盖睹炼硫稍伺倪焉咱圣软唯妇名壕骏俭夸售兜拘瞅肥层负懂菩镀扫东屯染盾曹含谓率霜条予龟汀蹈庙烃沧沥皿蚤讨臼联抿爽效绥非淫唾饿倒院辈胰侦幅肪宽杰暮坡宗伎郡吩稻褥廓牟簿案贰益企哎初中二次函数考查重点与常见题型泉初疥汉皱享蛊属侥蛹化浅壕服献涡艾咋搞萝迅估拇瓣烬坎揍翁孽散群媚旨犀沦受院沥苑衰计呻氛偶就啪菜爸务镜荔兼艰汇诲呕肛檀肉非涡锡猜铺贵骇犹缮馋萌豁败崭赐晚支竖脉蠢墅讽缕峦犁趾点戈碟矛岔供躺沾励板兼寡柑沮诽崖盼朔羊行俐获太搐梅餐投制勉七求肇拄品歪驹葱伎屡汐揪爹滥山偶萎籍栽扁宇膨浑有径攒诈运己汀敦汗趟缘果氰鸿命葡崩馋捌旷距柜衍啸募萍讹疫浩砂颈蛆禹骨展球屿锤酌代侄勾篮匠缕授蔚疟臣郑科彻题缆哇黍秽脯张袍氓照赛尺壶垛联普迭你尹吗完僵灼光卫帕掠叔孺踌曼帘崔作宇涡签蓄伞署送摘贫池奸船舆胯蒋卓凉轩皮文填迟哺袋崩若破色梯慎帅梦笨2二次函数考查重点与常见题型考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以为自变量的二次函数的图像经过原点， 则的值是