矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算,矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规则与技巧。,1.定义由mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的m行n列的数表,称m行n列矩阵，简称mn矩阵。记作,一、概念：,这mn个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元。以数aij为(i,j)元的矩阵可简记作(aij)或(aij)mn，mn矩阵A也记作Amn。元素是实数的矩阵，称为实矩阵；元素是复数的矩阵称为复矩阵。行数与列数都等于n的矩阵称之为n阶方阵，记作An。,2.行矩阵、列矩阵与方阵只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。行数与列数都等于n的矩阵叫方阵，记为An。3.同型矩阵与矩阵相等:如果两个矩阵的行数相等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。如果两个同型矩阵的对应元素相等，那么就称这两个矩阵相等。记作：A=B4.零矩阵:元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。不同型的零矩阵是不相等的。,5.对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵如果n阶方阵除主对角线上的元素不全为零外，其余元素全为零，这样的n阶方阵称为对角矩阵。记作A=diag(1,2,n)如果n阶方阵如果满足主对角线上的元素全为1，其余元素全为零，这样的n阶矩阵称为n阶单位矩阵。记作En或E。如果n阶方阵主对角线上的元素全为k，其余元素全为零，这样的n阶矩阵称为n阶数量矩阵。,二、矩阵的运算,1.矩阵的加法:设有两个同型的mn阶矩阵A=(aij)、B=(bij)，则矩阵A与B的和记为A+B，并规定,注：矩阵的加法只能在两个同型矩阵之间进行；两个矩阵相加时，对应元素进行相加。,矩阵加法的运算律：(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)设矩阵A=(aij)，记A=(aij)，称A为矩阵A的负矩阵。由矩阵加法的定义，显然有A+(A)=O，由此，矩阵的减法可定义为B=+(B),2.矩阵的数乘：数与矩阵的乘积记为A或A，并规定：,由此可见，矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵同型的矩阵，并且，是用数与矩阵的每一个元素相乘。,矩阵数乘的运算律：,矩阵的加法与数乘合起来通称为矩阵的线性运算。3.矩阵的乘法：设矩阵A为mn阶矩阵、矩阵B为np阶矩阵，A=(aij)mn、B=(bij)np，则矩阵A与B的乘积为一mp阶矩阵C=(cij)mp，记C=AB，且,就是说，矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的所有元素与矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和。,矩阵A与矩阵B做乘法必须是左矩阵的列数与右矩阵的行数相等；矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；,AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义，也不一定相等；AB=O不一定有A=O或B=O；A(XY)=O且AO也不可能一定有X=Y,只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：(1)AnAm=An+m(2)(An)m=Anm(3)(AB)kAkBk,4.矩阵的乘幂：设A是n阶方阵，定义：,5.矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到的一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT。如果A是一个mn阶矩阵，那么AT就是一个nm阶矩阵。且A的行一定就是AT中同序数的列,证明：设矩阵A为ms阶矩阵，矩阵B为sn阶矩阵，那么：(AB)T与BTAT是同型矩阵；又设C=AB，因为CT的第i行第j列的元素正好是C的cji，即cji=aj1b1i+aj2b2i+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+bsiajs而b1i，b2i，bsi正好是BT的第i行，aj1,aj2,ajs正好是AT的第j列，因此cji是BTAT的第i行第j列的元素。故(AB)T=ATBT,6.方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵A的行列式，记为|A|或detA。注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它们的记号也是不同的。方阵的行列式满足以下运算规律(设A、B为n阶方阵，为实数),2.上(下)三角矩阵：,1.数量矩阵：矩阵kE称为数量矩阵。,三、几类特殊的矩阵,3.行阶梯矩阵与行最简矩阵：一个mn阶矩阵A=(aij)它的第i行的第一个非零元素记为,如果当ik时,有jijk时，称A为行阶梯矩阵。若矩阵B满足以下条件(1)B是行阶梯矩阵；(2)B的每一非零行的第一个非零元素为1；(3)每一非零行的第一个非零元素所在的列除它自身外其余元素全为零。称矩阵B为行最简矩阵。,4.对称矩阵与反对称矩阵：设A为n阶方阵，若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,n)，称矩阵A为对称矩阵；若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,n)，称矩阵A为反对称矩阵。,5.正交矩阵：若n阶方阵A满足AAT=ATA=E称A为正交矩阵。6.幂等、幂零、幺幂矩阵：若n阶方阵A满足：A2=A，称A为幂等矩阵Ak=O，称A为幂零矩阵Ak=E，称A为幺幂矩阵7.伴随矩阵：设A=(aij)nn，矩阵A中元素aij的代数余子式Aij构成的如下矩阵,称矩阵A的伴随矩阵，记为A,设对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使得AB=BA=E恒成立，则称矩阵A可逆；B称为A的逆矩阵，记为A1=B。,1.若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。证明：设A有两个逆矩阵B1、B2，则B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2,一、可逆矩阵的定义,二、可逆矩阵的判断,2.若|A|0，则A可逆，且,证明：由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有：AA*=A*A=|A|E，又|A|0,3.对于n阶方阵A、B若有AB=E则：A、B均可逆，且它们互为可逆矩阵。证明：AB=E|A|B|=1故|A|0且|B|0，A、B均可逆，且A1=B,1.若A可逆，则|A|0证明：A可逆AA1=A1A=E故|A|A1|=1，即|A|0同时还有,三、可逆矩阵的性质,奇异矩阵与非奇异矩阵：若n方阵的行列式|A|0，称矩阵A为非奇异矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。,2.如果A、B均可逆，那么AT与AB都可逆，且(AT)1(A1)T(AB)1B1A1证明：A、B均可逆AA1=A1AE故(AA1)T=(A1)TATET=E(AT)1=(A1)T同理(AB)(B1A1)(B1A1)(AB)E(A)1=1A1,本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块。以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些小矩阵当做一个数来处理。,即Aij与Bij有相同的列数与行数，则：A与B的和就是以Aij与Bij为元素的形式矩阵相加。,一、分块矩阵的加法：设矩阵A、B是同型矩阵，且A与B有相同的分块方法,二、分块矩阵的乘法：设矩阵Amn、Bnp且矩阵A列的分法与矩阵B的行的分法相同。,三、分块矩阵的转置,它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称A为准对角矩阵（或分块对角矩阵）。对于准对角矩阵，有以下运算性质：若A与B是具有相同分块的准对角矩阵，且设,四、准对角矩阵若矩阵A的分块矩阵具有以下形式,则：,若准对角矩阵A的主对角线上