考研曲线积分和曲面积分

,第十章,积分学定积分二重积分三重积分,积分域区间域平面域空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,.,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,机动目录上页下页返回结束,对弧长的曲线积分,第十章,.,内容小结,1.定义,2.性质,(l曲线弧的长度),机动目录上页下页返回结束,.,3.计算,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,机动目录上页下页返回结束,.,如果曲线L的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,推广:设空间曲线弧的参数方程为,则,机动目录上页下页返回结束,.,其中L1是曲线L在x轴右侧的那一部分；关于y轴对称也有类似结论。,对称性的应用：1.如果曲线关于x轴对称，函数f(x,y)关于y为奇偶函数，则,.,2.设f(x,y)在曲线连续，曲线L关于原点对称，函数f(x,y)关于（x,y）为奇偶函数，则,其中L1是曲线L在右半平面或上半平面的那一部分。,.,例1.计算,其中L为双纽线,解:在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性,得,机动目录上页下页返回结束,.,例2.计算,其中为球面,解:,化为参数方程,则,机动目录上页下页返回结束,.,思考与练习,已知椭圆,周长为a,求,提示:,原式=,利用对称性,机动目录上页下页返回结束,.,第二节,1、对坐标的曲线积分的概念与性质,2、对坐标的曲线积分的计算法,3、两类曲线积分之间的联系,机动目录上页下页返回结束,对坐标的曲线积分,第十章,.,1.定义,性质,(1)L可分成k条有向光滑曲线弧,(2)L表示L的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,机动目录上页下页返回结束,.,2.计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,机动目录上页下页返回结束,.,3、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧L以弧长为参数的参数方程为,已知L切向量的方向余弦为,则两类曲线积分有如下联系,机动目录上页下页返回结束,.,第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,机动目录上页下页返回结束,格林公式及其应用,第十章,.,区域D分类,单连通区域(无“洞”区域),多连通区域(有“洞”区域),域D边界L的正向:域的内部靠左,定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有,(格林公式),函数,在D上具有连续一阶偏导数,一、格林公式,机动目录上页下页返回结束,.,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2.设D是单连通域,在D内,具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有,(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分,(3),(4)在D内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在D内是某一函数,的全微分,即,机动目录上页下页返回结束,.,说明:,根据定理2,若在某区域内,则,2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,取定点,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,定理2目录上页下页返回结束,.,真题研讨,.,.,.,.,第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,机动目录上页下页返回结束,对面积的曲面积分,第十章,.,1.定义:,2.计算:设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式,简化计算的技巧.,机动目录上页下页返回结束,对面积的曲面积分的概念、性质和计算,.,对称性的应用,.,例3.计算,其中是球面,利用对称性可知,解:显然球心为,半径为,利用重心公式,机动目录上页下页返回结束,.,第五节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,机动目录上页下页返回结束,对坐标的曲面积分,第十章,.,其方向用法向量指向,方向余弦,0为前侧0为右侧0为上侧0为下侧,外侧内侧,设为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:,其面元,在xoy面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,机动目录上页下页返回结束,.,引例中,流过有向曲面的流体的流量为,称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;,称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.,称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;,若记正侧的单位法向量为,令,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,机动目录上页下页返回结束,.,时，,（上侧取“+”,下侧取“”),类似可考虑在yoz面及zox面上的二重积分转化公式.,机动目录上页下页返回结束,.,若,则有,若,则有,(前正后负),(右正左负),机动目录上页下页返回结束,.,性质:,联系:,机动目录上页下页返回结束,.,例5.设S是球面,的外侧,计算,解:利用轮换对称性,有,机动目录上页下页返回结束,.,例6.计算曲面积分,其中,解:利用两类曲面积分的联系,有,原式=,旋转抛物面,介于平面z=0,及z=2之间部分的下侧.,机动目录上页下页返回结束,.,原式=,机动目录上页下页返回结束,.,一、高斯(Gauss)公式,定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲,上有连续的一阶偏导数,函数P,Q,R在,面所围成,的方向取外侧,则有,(Gauss公式),高斯目录上页下页返回结束,.,1.高斯公式及其应用,公式:,应用:,(1)计算曲面积分,(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧),(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:,机动目录上页下页返回结束,.,例7.利用Gauss公式计算积分,其中为锥面,解:作辅助面,取上侧,介于z=0及,z=h之间部分的下侧.,所围区域为,则,机动目录上页下页返回结束,.,利用重心公式,注意,机动目录上页下页返回结束,.,一、斯托克斯(Stokes)公式,定理1.设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,(斯托克斯公式),个空间域内具有连续一阶偏导数,的,侧与的正向符合右手法则,在包含在内的一,则有,简介目录上页下页返回结束,.,为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:,或用第一类曲面积分表示:,定理1目录上页下页返回结束,.,例9.为柱面,与平面y=z的交线,从z,轴正向看为顺时针,计算,解:设为平面z=y上被所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,公式目录上页下页返回结束,.,2.通量与散度,设向量场,P,Q,R,在域G内有一阶连续,偏导数,则,向量场通过有向曲面的通量为,G内任意点