(no.1)从2007年数学高考题谈函数的复习-(2)

知识改变命运 百度提升自我本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考从2007年数学高考题谈函数的复习石狮石光华侨联合中学 林建森一、高考概述“函数”是高中数学中起联结和支撑作用的主干知识，也是进一步学习高等数学的基础。其知识、观点、思想和方法贯穿高中代数的全过程，同时也应用于几何问题的解决。近几年各省市高考都对函数进行重点考查，在选择题、填空题、解答题中都有函数试题，所占分值基本在总分的20%左右。其特点表现为：稳中求变，变中求新、求活，试题设计上从传统的套用定义、简单地使用性质，发展到了挖掘本质、活用性质，而且出现了不少创设新情境、给出新定义的信息、与实际密切联系的应用题，以及与其他知识综合交汇的能力题。由于函数知识点多、覆盖面广、思想丰富、综合性强，极易与其它知识（方程、数列等）建立相关联系，相互渗透和交叉。正因如此，历年高考以“函数”为主体内容的压轴题频频出现，且常考常新特别是教材增加了“导数”和“向量”等内容之后，给函数问题注入了新的生机和活力，开辟了许多新的解题途径，同时也拓宽了高考对函数问题的命题空间，且重点考查考生缜密的逻辑推理能力、基本运算能力和综合解决问题的能力，考查等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合、待定系数法、配方法、换元法、构造法等数学思想方法。下面就函数的专题复习进行具体分析。二、高考分析1高考内容（1）映射、函数、函数的单调性、奇偶性；（2）反函数、互为反函数的图象间的关系；（3）指数概念的扩充，有理数幂的运算性质、指数函数；（4）对数、对数的运算性质，对数函数；（5）函数的应用2考试要求（1）了解映射的概念，理解函数的概念。（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单的函数单调性、奇偶性的方法。（3）了解反函数的概念及互为反函数的图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质。（5）理解对数的概念，掌握对指的运算性质，掌握对数函数的概念、图像和性质。（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际应用问题。3考试的重点、难点及热点重点是：一要加深对函数及其概念、性质的理解与应用；二要抓住含参量的函数问题，掌握含参量的分离、集中、代换、化归、分类等解题方法与技巧，从而提高综合解题能力。难点是：函数与方程、不等式、三角、数列、导数等知识的综合问题。热点是：函数的图象、图象的变换及依托二次函数把其他数学知识联系起来的综合题。4考试的题型、分值及难度从近几年的全国各省市高考题来看，一般是“三小一大”的题型格局，分值约占20%，其中选择题、填空题属于容易题，解答题一般都是中等以上难度的综合题，具有较高的区分度和选拔功能。5命题趋向（1）全方位。近几年来的高考题中，函数的所有知识点都考过，虽然近几年不强调知识的覆盖率，但每一年函数知识点的覆盖率依然没有减少。（2）多层次。在每年高考题中，函数题抵档、中档、高档难度都有，且选择、填空、解答题题型齐全，低档题难度一般仅涉及函数本身的内容；中、高档难度题多为综合程度较大的问题，或是多种方法的渗透。（3）巧综合。为了突出函数在中学数学的主线地位，近几年来高考强化了函数对其他知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力的综合程度。（4）变角度。出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大了函数应用题、探索题和信息题的考查力度，从而使函数考题显得新颖、生动、灵活。三、试题评析1立足课本，抓住基本知识的落实，基本方法的再认识，基本技能的掌握例1、（2007天津高考题）设，则（ ）ABCD【评析】高考对有理数指数幂、对数的运算都有较高的要求，但在命题时，很少单独命制考查它们运算的试题，而是把这些运算置于指数函数与对数函数的大环境中来考查，该试题利用指数函数与对数函数的基本性质来比较有理数指数幂、对数的大小，此题型在课本教材例题、习题均出现。例2、（2007安徽高考题）下列函数中,反函数是其自身的函数为（ ）(A)(B)(C) (D) 【评析】以反函数为考点，考查反函数概念，求法和性质，从而补充考查函数的相关性质(在近几年的各地高考无一不考)。例3、（2007北京高考题）对于函数，判断如下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在上是减函数，在上是增函数；命题丙：在上是增函数能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）【解析】：一一验证，即可以作出判断，选（D）【评析】本题虽是常规，但在平平淡淡中全面考查了二次函数、对数、三角函数等重要的基本初等函数，综合考查了这些函数的定义域、单调性、奇偶性等性质。从以上的高考题可以看出，高考函数基础试题常以客观题的形式出现，起点低，重基础，其考查特点一是以基本初等函数为载体，全面考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、函数图象变换和反函数性质的应用等基础知识；二是每道试题至少考查两个知识点，为此，我们应立足教材和基础，搞好以函数概念、性质及其应用为主线的复习。在以思维能力为核心，全面考查各种能力的命题导向下，近几年的高考试题越来越突出贴近教材考双基的风格。许多题目取材于课本的基本题或基本题的改造，即使是综合题也是由若干个基础题的整合加工而成。因此，我们在复习过程中应充分发挥课本教材的导向性和示范性作用，通过对课本题目改变设问方式，增加或减少变动因素和必要的引申、推广来扩大题目的训练功能，现行的课本一般是常规解答题，应从选择、填空、探索等题型功能上作些思考，以背景、现实、来源等方面多做解释。2重视数学思想和数学方法的训练，强化思维过程，提高理性思维能力，注重通性通法。例4、（2007广东高考题） 已知a是实数，函数，如果函数在区间-1，1上有零点，求实数a的取值范围。解析1：函数在区间-1，1上有零点，即方程=0在-1，1上有解， a=0时，不符合题意，所以a0,方程f(x)=0在-1，1上有解或或或或a1.所以实数a的取值范围是或a1.解析2：a=0时，不符合题意，所以a0,又=0在-1，1上有解，在-1，1上有解在-1，1上有解，问题转化为求函数-1，1上的值域；设t=3-2x，x-1，1，则，t1,5,，设，时，此函数g(t)单调递减，时，0,此函数g(t)单调递增，y的取值范围是，=0在-1，1上有解或。【评析】此题是一个含参的一元二次函数零点问题，主要考查二次函数及其性质、一元二次方程、函数应用、解不等式等基础知识，考查数形结合、分类与整合的思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力，对思维的严谨和全面性要求较高，解法多样，通过对参数的讨论和概括，深入地考查了学生的抽象概括能力。因此，我们在复习过程中，应重视知识的形成过程，着重研究解题的思维过程，弄清数学思想方法在解数学问题中的意义和作用，研究运用不同的思维方法解同一数学问题的多种途径。3突出能力，注重整合，构建知识的系统性和整体性，突出知识之间的交叉、渗透和综合的训练例5、（2007山东高考题）设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b0.()当b时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；（）求函数f(x)的极值点；（）证明对任意的正整数n,不等式ln()都成立解：函数的定义域为.，令，则在上递增，在上递减，.当时，在上恒成立.即当时,函数在定义域上单调递增。（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.（2）当时，时，时，时，函数在上无极值点。（3）当时，解得两个不同解，.当时，此时在上有唯一的极小值点.当时，在都大于0 ，在上小于0 ，此时有一个极大值点和一个极小值点.综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点。（III） 当时，令则在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有，对任意正整数，取得【评析】此题以对数函数为载体，内容是函数知识和不等式知识的一个结合体，考查了导熟有关的概念、计算和应用。利用导数工具研究函数的有关性质，不仅体现教材改革的一种理念，也是初等数学与高等数学一个很好的衔接点。该题解答中融合了函数与方程思想，转化与化归思想，分类与整合思想（针对参数的取值对函数单调区间及对函数的极值产生影响的讨论）等这些考试大纲要求较高的数学思想方法，不但突出了能力的考查，同时也注意了高考重点与热点的考查，达到了知识内容考查与思想方法考查相结合之目的。函数的综合应用是每年高考的必考内容。它以基本初等函数知识为载体，融代数推理、导数和其他章节知识等问题于一体，以考查函数性质及其应用为目标，以考查综合解题能力和数学应用意识为宗旨。预计这也是今后函数综合题的考查特点和命题趋势。4关注生活、注重建模，加强数学应用，提高学生的数学实践能力和应用能力例6、（2007福建高考题）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3a5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9x11）时，一年的销售量为（12x）2万件。（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）。解：（）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：（） 令得或（不合题意，舍去），在两侧的值由正变负所以（1）当即时，（2）当即时，所以答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）【评析】本题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力；设计数学建模问题，考查数学应用意识和解题实践能力是高考的又一热点。解决此类问题时，可以从给定的数量关系中选取一