选修2-1课件3.2.3 立体几何中的向量方法三).ppt

3.2.3立体几何中的向量方法（三）,空间“角度”问题,一、复习引入,用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。,（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；,（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。,（化为向量问题）,（进行向量运算）,（回到图形）,向量的有关知识：,两向量数量积的定义：ab=|a|b|cosa,b,两向量夹角公式：cosa,b=,直线的方向向量：与直线平行的非零向量,平面的法向量：与平面垂直的向量,(课本第107页练习2)如图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB4，AC6，BD8，求CD的长.,二面角的平面角,方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角的大小为其中AB,例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。,解：如图，,化为向量问题,根据向量的加法法则,进行向量运算,于是，得,设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。,因此,所以,回到图形问题,库底与水坝所成二面角的余弦值为,例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。,思考：,（1）本题中如果夹角可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？,分析：,可算出AB的长。,（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？,分析：如图，设以顶点为端点的对角线长为，三条棱长分别为各棱间夹角为。,（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,分析：,二面角,平面角,向量的夹角,回归图形,解：如图，在平面AB1内过A1作A1EAB于点E，,E,F,在平面AC内作CFAB于F。,可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。,空间“夹角”问题,1.异面直线所成角,l,m,l,m,若两直线所成的角为,则,例2,解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：,所以：,所以与所成角的余弦值为,练习：,在长方体中，,方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角的大小为其中AB,2、二面角,注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角,将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量，则二面角的大小,2、二面角,若二面角的大小为,则,法向量法,例2正三棱柱中，D是AC的中点，当时，求二面角的余弦值。,故,则可设=1，则B(0,1,0),作于E,于F，则即为二面角的大小,在中，即E分有向线段的比为,由于且，所以,在中，同理可求,即二面角的余弦值为,解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,在坐标平面yoz中,设面的一个法向量为,同法一，可求B(0,1,0),由得,解得,所以，可取,即二面角的余弦值为,方向朝面外，方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角,1.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M