09---代数式的取值范围1教师版

12教育初一竞赛进阶进度一春季班09.代数式的取值范围（1） 四平路校区：65107076；浦东校区：68869972第09讲 代数式的取值范围（1）【知识点】1. 基本不等式：对正数a,b：（等号当且仅当时取得.）即：两个正数和一定，则相等时积最大；两个正数积一定，则相等时和最小.在使用基本不等式首先要判断组成代数式的两部分是以下哪种情况：和不变、积不变、倒数和不变、平方和不变. 接下来再选用合适的不等式. 第二点，使用基本不等式一定要确定等号成立的条件. 例如：代数式的值的范围 2. 基本方法(1) 配方法：针对二次型代数式可以使用配方法. (2) 主元法多元函数的取值问题，常常通过消元，留一个字母称为主元，再处理. (3) 判别式法二次型的代数式，则以一个变量为主元，将代数式看做是主元的二次方程，进而用配方或判别式来限定其他字母.或者利用韦达定理，构造二次方程，再利用判别式求解. (4) 基本不等式法(5) 逐步调整法【例题讲解】1. 两个正数x、y的和为8，试求以下代数式的最值. （1） （2） （3） 2. 两个正数x、y的积为8，试求以下代数式的最值. （1） （2） （3） 3. 已知正数满足，则的最大值是 . 4. 已知两个正数的积为10，则的最小值是 . 5. 代数式的最小值是 .6. 正数a、b满足，则的最小值为 . 7. 两个电阻的和为8欧，这样两个电阻并联后的总电阻，最大值为 . 8. P是线段AB上的一个动点（不与两端点重合）. 试问，当P点在线段上何处时，以线段AP、BP为直角边构成直角三角形的斜边最长.9. 设x为正实数，则代数式的最小值是 .【解答】1【毕】.10. 关于的方程没有实数根，试求的最小整数值。解：，最小为3。11. 已知方程是实数）没有实数根，求证：。12. 已知是关于的方程的两个实数根。求最小值。13. 当在什么范围内取值时，方程有且只有相异两实数根？解：当时，解得或 当时，方程无解； 当时，原方程为或 由题意得 或 即 或 解得 或，又，综上所述，当或时，原方程有且只有相异两实数根.14. 设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的三角形只有一个时，求的范围. 解：设，当时，只有一个三角形，得；当时，也只有一个，得，当或时，满足条件. 15. 设是实数且，求的取值范围. 16. 已知为实数且使关于的二次方程有实根，试求该方程根所能取得的最小值. 解：把方程看成是关于的方程，当时，则有，当时，解得，当时，所以. 已知实数、满足，证明：. 17. 已知实数满足：，. （1） 求中最大者的最小值. （2） 求的最小值. 【解答】 故 （2）618. 设为正数，证明：方程和中，至多有一个方程有实根. 证：设两个方程的判别式分别为和，；. 如果第一个方程有实根，则，此时有，于是，即第二个方程无实数根；反之，如果第二个方程有实根，则，此时有，于是，即第一个方程无实数根. 综合上述两种情况可知，两个方程中至多有一个方程有实根. 19. 若满足，那么代数式的最大值和最小值分别是多少？【解答】最大27，最小0.20. （2013年新知杯）已知关于x的一元二次方程 对于任意的实数a均有实数根，求实数a的取值范围. 故 【课后作业】1. 试用基本不等式说明，所有周长相等的长方形中，正方形的面积最大. 2. 已知关于的方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 解：由题意知，当时，原方程化为，解得，当时，原方程化为，解得. 由题意可知，原方程两根为. 则或. 综上可知. 3. 已知三个关于的方程和，若其中至少有两个方程有实数根，求实数的范围. 4. 已知实数满足，求的值. 解：由题意可知，所以是方程的两个根，由即解得，方程化为，5. 方程（1）与方程（2）都有相