03 矩形教师版初一竞赛进度一

1 第第 0303 讲讲 矩形矩形 【矩形的定义】 有一个内角是直角的平行四边形叫矩形 【矩形的性质】 具有平行四边形的所有性质 四个角都是直角 对角线相等 【矩形的判定】 有三个直角的四边形 有一个直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 【例题讲解】【例题讲解】 【矩形的性质】 【例题【例题1】如图，已知矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AEBD，垂足为 E， DAE：BAE=3：1，那么EAC 的度数是多少？ （性质） E O D C B A 2 【例题【例题2】如图，矩形 ABCD 中，AD=13cm，DC=5cm，在 DC 上取一点 E，沿直线 AE 把 AED 折叠使点 D 恰好落在 BC 上，设此点为 F，求折叠的ADE 的面积。 （性质） 【例题【例题3】如图，在矩形 ABCD 中，它的面积为 S，E 是 AB 的四等分点，F 是 BC 的三等分 点，G 是 CD 的中点，求EFG 的面积。 解：由题意可设 AB=4a，AD=3b，即S12ab。 连结 DE，可先求得矩形内另外四个三角形面积，进而求得 EFG 的面积。 EFGADEEDGBEFCFG S-() 1 12(3634) 2 4 1 3 SSSSS ababababab ab S 【例题【例题4】如图，将矩形 ABCD 沿着对角线 BD 折叠，使点 C 落在 C处，BC交 AD 于 E， 若 AD=8，AB=4，求BED 的面积。 （性质） F E A B C D C EA B C D F G E DC BA 3 【例题【例题5】如图，四边形 ABCD 中，A=BCD=90 ，BC=CD，CEAD，垂足为 E， 求证：AE=CE 考点：全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质 分析：过点 B 作 BFCE 于 F，根据同角的余角相等求出BCF=D，再利用“角角边”证明 BCF 和 CDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BF=CE，再证明四边形 AEFB 是矩 形，根据矩形的对边相等可得 AE=BF，从而得证， 解答：证明：如图，过点 B 作 BFCE 于 F， CEAD， D+DCE=90 ， BCD=90 ， BCF+DCE=90 ， BCF=D， 在 BCF 和 CDE 中， BCFCDE（AAS） ， BF=CE， 又A=90 ，CEAD，BFCE， 四边形 AEFB 是矩形， AE=BF， AE=CE 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，难度中等，作辅助线构造 出全等三角形与矩形是解题的关键 4 【例题【例题6】如图，已知矩形 ABCD，对角线 AC,BD 相交于 O，ABC 的平分线交 AC 于 E， 交 CD 于 F，且DBF=15，连 OF，求证：COF 和EOF 为等腰三角形。 【矩形的判定】 【例题【例题7】如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行 线交 CE 的延长线于点 F，且 AF=BD，连结 BF. （1）求证：BD=CD; （2）如果 AB=AC，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论。 O F E D C B A 5 （判定） 【例题【例题8】如图，平行四边形 ABCD 的四个内角的角平分线分别交于 点 E,F,G,H.求证：四边形 EFGH 是矩形。 （判定） 6 【例题【例题9】如图， ABCD 中，点 O 是 AC 与 BD 的交点，过点 O 的直线与 BA、DC 的延长 线分别交于点 E、F （1）求证： AOECOF； （2）请连接 EC、AF，则 EF 与 AC 满足什么条件时， 四边形 AECF 是矩形，并说明理由 考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定 分析： （1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可； （2）请连接 EC、AF，则 EF 与 AC 满足 EF=AC 是，四边形 AECF 是矩形，首先证 明四边形 AECF 是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明 解答： （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AO=OC，ABCD E=F 又AOE=COF AOECOF（ASA） ； （2）连接 EC、AF，则 EF 与 AC 满足 EF=AC 时，四边形 AECF 是矩形， 理由如下： 由（1）可知 AOECOF， OE=OF， AO=CO， 四边形 AECF 是平行四边形， EF=AC， 四边形 AECF 是矩形 7 点评： 本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及矩形的判定，首先 利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题 【例题【例题10】如图，矩形 ABCD 中，CEBD 于点 E，延长 EC，与BAD 的平分线 AF 相交 于点 F，求证：CF=BD。 【例题【例题11】如图所示，过矩形ABCD的顶点C作CEBD于点E，延长EC至点F，使 CFBD，连接AF求证：DAFBAF 解：如图所示，连接AC，由矩形对角线的性质，易证2ACEDBC AB C D E F 8 易知DACACBDBC 由CEBD于E，可得90BCEDBC，即ACBACEDBC2 DAC 290CAF 所以 90 45 2 DAFDACCAFBAF 【例题【例题12】 如图，ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点，过 O 作直线 MNBC设 MN 交 ACB 的平分线于点 E，交ACB 的外角平分线于点 F （1）求证：OE=OF； （2）若 CE=12，CF=5，求 OC 的长； （3）当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时， 四边形 AECF 是矩形？并说明理由 考点： 矩形的判定；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线 分析： （1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出1=2，3=4，进而得出答案； （2）根据已知得出2+4=5+6=90 ，进而 利用勾股定理求出 EF 的长，即可得出 CO 的长； （3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出 即可 解答： （1）证明：MN 交ACB 的平分线于点 E，交ACB 的外角平分线于点 F， 2=5，4=6， MNBC， 9 1=5，3=6， 1=2，3=4， EO=CO，FO=CO， OE=OF； （2）解：2=5，4=6， 2+4=5+6=90 ， CE=12，CF=5， EF=13， OC=EF=6.5； （3）答：当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形 证明：当 O 为 AC 的中点时，AO=CO， EO=FO， 四边形 AECF 是平行四边形， ECF=90 ， 平行四边形 AECF 是矩形 点评： 此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已 知得出ECF=90 是解题关键 10 【例题【例题13】如图， 工人师傅要把一块三角形的铁片经过切割， 再焊接成一个与其面积相等的 矩形。请你帮他在图中画出切割与焊接线，并说明理由 11 【例题【例题14】设 ABCD 是矩形，ABBC3 ， P、Q 是 BC 上两个三等分点 （P 在 B、Q 之间） 。 求证：DQCDPCDBC 证明：ABBC3 ，P、Q 是 BC 上两个三等分点 PBQPCQDC ， 45 DQC 作 PMAD 交 AD 于 M，并延长到 N，使 MN=MP，连接 NB、ND 可证得PDMNDMBNP， DPCPDMNDPBNP ，NB=ND 90 BND， 45 NDN 又ADBDBC ，NDMADPDPC 45 NDBNDMADBDPCDBC DQCDPCDBC 【例题【例题15】将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形 EFGH，若3EH ，4EF 求 AD AB 的值 解如图所示，根据图形翻折的性质，可知四边形EFGH是矩形 由四边形EFGH是矩形及全等三角形的判定定理，得RtAHERtCFG 图 79 由RtAHERtCFG及勾股定理，可得5ADHF， （此时，AEEMBE，E 为AB中点，同理，DGNGCG，G为CD的中点，故EGADHF ） 由直角三角形的面积公式可知HE EFHF EM，得2.4EM 再根据图形翻折的性质，可得24.8ABEM 所以， 525 4.824 AD AB A BC D QP M A BC D N QP 12 【例题【例题16】如图，正三角形ABC中，D是AC的中点，F是CB的中点，DBE是正三 角形， 求证：四边形AFBE是矩形。 解：在正三角形ABC中， 0 ,60ABBCACABCCAB D是AC的中点，F是CB的中点 000 1 19 0 ,9 0 ,23 0 2 ADBABC 11 , 22 BFBC ADAC BFAD 在DAB和FBA中， BFAD FBADAB ABBA DABFBA AFDB 在正三角形DBE中， 0 ,60DBBEDBE 0 0 ,90 1180 / / AFBEEBF EBF AFEB 四边形AFBE是平行四边形 0 190 所以平行四边形AFBE是矩形 21 D C F B E A D C F B E A 13 作业 1.一个人绕操场两邻边走，而取捷径沿对角线走可省 1 2 矩形长边的距离，求矩形长边与短边 之比。 答案： 4 3 。设长为 x，宽为 y，由题意得 22 2 x xyxy，解得 4 3 x y 。 2. 如图， 把矩形ABCD沿EF翻折， 点B恰好落在AD边的B处， 若AE=2， DE=6， EFB=60 ， 则矩形 ABCD 的面积是 解析：由两直线平行内错角相等，知DEFEFB=60 ，又AEF=AEF120 ，所以， AEB=60 ，AEAE2，求得2 3A B ，所以，AB23，矩形 ABCD 的面 积为 S23 8163 14 备用 1. 小明家准备建造长为 28 米的蔬菜大棚，示意图如图。它的横截面为图所示的四边 形 ABCD，已知 AB=3 米，BC=6 米，BCD=45，ABBC，D 到 BC 的距离 DE 为 1 米。矩形棚顶 ADDA及矩形 DCCD由钢架及塑料薄膜制作，造价为每平方米 120 元， 其他部分（保温墙体等）造价共 9250 元，则这个大棚的总造价为多少元？（精确到 1 元） （下列数据可供参考： 21.41, 31.73, 52.24, 295.39, 345.83） 15 2. 如图所示，工人师傅做铝合金 窗框分下面三个步骤进行， （1） 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图所示） ，使 AB=CD，EF=GH （2） 摆放成如图的四